CC BY
24
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м XI 19 8 0 Мб
УДК 533.6.011.35
К ТЕОРИИ ТРАНСЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ОКОЛО ТЕЛ С ПРОТОКОМ
Ю. А. Забелин. Ю. Б. Лифшиц
Устанавливаются некоторые общие свойства невязких трансзвуковых течений около воздухозаборников. Для этой цели используются известные асимптотические теории: трансзвуковая теория малых возмущений и теория тонкого тела. Полученные закономерности проверяются при помощи результатов численного интегрирования полного уравнения для потенциала.
1. В последние годы создан ряд надежных алгоритмов расчета обтекания воздухозабориков сжимаемым газом при дозвуковых и малых сверхзвуковых скоростях набегающего потока |1— 7|. Все они основаны на интегрировании краевой задачи для полного уравнения потенциала при помощи релаксационного метода, ранее успешно примененного при решении задач обтекания профиля [8, 9]. В работах [1—5, 7| рассмотрены плоские и осесимметричные течения. В работе [6] методика распространена на тела вращения, установленные под углом атаки к набегающему потоку. Алгоритмы упомянутых работ различаются в основном конструкцией расчетной сетки и связанной с ней трактовкой разностной аппроксимации краевых условий. В остальном они очень близки друг к другу и мало различаются как по времени счета варианта, так и по фактическим значениям получаемых параметров потока на теле. Сравнение результатов расчетов с данными экспериментов обычно удовлетворительное. Это указывает на существование диапазона скоростей набегающего потока, когда модель невязкого газа достаточна для описания реальных течений около воздухозаборников.
Таким образом, известные численные методы наряду с аэродинамическим экспериментом могут служить надежным инструментом для получения необходимых количественных результатов. Поэтому на первый план выдвигается другая задача — определение характера зависимости аэродинамических коэффициентов от таких параметров, как число М набегающего потока, геометрические размеры афинно-подобных тел и коэффициент расхода.
Для каждого конкретного воздухозаборника эта зависимость может быть установлена серией расчетов. Однако в некоторых предельных случаях изменений параметров ее можно получить аналитически при помощи методов асимптотических разложений. Именно вопросам определения зависимостей такого рода посвящена предлагаемая статья.
2. Рассмотрим осесимметричный воздухозаборник. Ось симметрии -V цилиндрической системы координат л% у направим вдоль вектора скорости набегающего потока. Воздухозаборник будем представлять, как это обычно делается [10], в виде полубесконеч-ного тела с протоком. Для простоты ограничимся формами, лишенными центрального тела. Обозначим посредством £ горизонтальный размер, на котором происходит изменение ординаты полу-тела, а при помощи /? —радиус его входного сечения. Будем предполагать далее, что обтекающий газ не имеет вязкости и теплопроводности, набегающий поток равномерный, а возникающие при обтекании скачки уплотнения весьма слабы. Такие предположения делаются при анализе невязких трансзвуковых течений газа. Если они выполнены, то поле скоростей обладает потенциалом Ф(*, у), который удовлетворяет уравнению неразрывности
(а'- - VI )Ф,,-2 Ух Уу Фху + («= - У‘) Фуу - а* ФуУ~' =0; (1)
здесь а — скорость звука, связанная с составляющими вектора скорости Ух, Уу при помощи уравнения Бернулли.
Искомый потенциал должен удовлетворять граничному условию непротекания на теле, задаваемом уравнением у= У'(х) г #,
(уФ-л) = 0 (2)
и условию симметрии на оси х. При удалении на бесконечность вне тела потенциал стремится к своему невозмущенному значению
Ф — Усв х. (3)
При удалении на бесконечность внутри протока продольная скорость стремится к величине V,, которая однозначно определена заданным коэффициентом расхода /=р|г/,/??/ро0х)во/?2, и соответственно потенциал на бесконечности внутри протока имеет вид
Ф = V1Х. (4)
Здесь р — плотность газа, а индекс » относится к бесконечно удаленной области протока.
Уравнение неразрывности (1) совместно с уравнением Бернулли, условиями (2) — (4) и условием симметрии для заданной функции У (х) определяет размерный потенциал скорости Ф(дг, у), который зависит ог размерных параметров У», У,. /?, и I. Естественно перейти к безразмерным переменным, введя I в качестве единицы длины, а за единицу скорости взять, например, критическую скорость звука д,. Тогда безразмерный потенциал Ф/а*/, будет зависеть от безразмерных параметров , /, И I- и относительной толщины равной отношению толщины обечайки к
длине I. При произвольных значениях указанных параметров характер зависимости потенциала можно определить только при
помощи опытов или расчетов. Однако в предельных случаях
удается получить более простую формулировку задачи для потенциала и установить в явном виде его зависимость от одного или двух параметров.
3. Рассмотрим течения, в которых скорость потока вне тела и в протоке мало отличается от критической скорости звука. Они реализуются при обтекании тонкой обечайки т<^1 при дополнительных условиях М„ - 1 <С 1 и 1—/<^1. Б этом случае удобно ввести потенциал возмущений 9 согласно равенствам
Ф = я* х + а* 1гъ (х',У), х' = х/1, у' = уз//.; (5)
в них г —малый параметр, его величина будет определена ниже.
Потенциал ®(х',у') удовлетворяет уравнению Кармана [11] трансзвуковой теории малых возмущений
— (* + 1) ?х Чхх + Ьу +У~' 'Ру = °: (6)
здесь х — показатель адиабаты Пуассона, а штрихи над независимыми переменными отброшены для сокращения записи.
При записи граничных условий (2) — (4) в новых переменных ограничимся, как и в случае уравнения (1), главными членами разложения по малому параметру е. Тогда условие непротекания (2) на теле у = к + -Х.у{х) должно быть выполнено на линии у = где оно имеет вид
?у\у=я,и — -^-Чу^х. (7)
При удалении на бесконечность вне тела согласно равенствам (3) и (5) получаем
2 М*-1 /сч
?*=7ТТ~—* (8)
Наконец, последнее граничное условие для потенциала ? при удалении на бесконечность внутри протока перепишем в виде
1 в(хГтрл ** / +ттт[-Чг--1&)- <9>
Если все отношения малых параметров, входящие в формулы (7) — (9). ограничены, то трансзвуковую теорию малых возмущений (6) — (9) можно считать обоснованной для рассматриваемой задачи. Воспользуемся произволом в определении г и положим е = -1з Тогда потенциал ? зависит только от трех комбинаций параметров /?-13£-1, (М;0 —1)"~гз и (1—/)"-4/3.
Согласно (5) коэффициент давления на поверхности обечайки запишем в виде
-Ц^). (10)
Коэффициент сопротивления, вызванный наличием только скачков уплотнения вне протока, получается в результате интегрирования величины сг йу (1х вдоль разделительной линии тока V (х) и внешней поверхности тела у = /? -{- -г/.V(л:), поэтому
сж=#>0(^1. 1^). (11)
Для проверки законов подобия (10), (11) при помощи алгоритма работы [7] были произведены расчеты осесимметричного обтекателя, носовая часть меридионального сечения которого представляла полуэллипс с отношением полуосей 1/2. Параметры подобия во всех вариантах расчетов оставались неизменными /?-1 = 0.5848, (М* —1)т-23 = 0,2937, (1 -/)х-^ = 3,142, сами же
3—.Ученые записки ПАГИ* >4 6. 33
варианты различались величиной т. Результаты расчетов сх изображены точками на рис. 1. Близость этих точек к прямой линии иллюстрирует справедливость законов подобия (10) и (11) и применимость трансзвуковой теории малых возмущеннй для описания рассматриваемых течений.
Зависимость функций F и G от величины (М*, — 1)т-гз при малых значениях этого параметра следует из закона стабилизации и роста сопротивления тел вращения, установленнного в [12—14]. Зависимость этих же функций от двух других параметров можно получить в случае A?-1'3 LС 1, переходя к теории тонкого тела.
4. Чтобы вывести уравнения теории тонкого тела, рассмотрим течение с точки зрения наблюдателя, находящегося на больших расстояниях от полутела по сравнению с его радиусом. На этих расстояниях возмущения равномерного потока телом с протоком будут такими же, как и возмущения, вносимые полутелом с относительной площадью поперечного сечения, равной
Для описания течения на расстояниях у = О (Rz'L), сравнимых с радиусом тела, заменим переменную у на переменную y”=yL/zR. В новых переменных а-, у" уравнение для потенциала вырождается в уравнение Лапласа в плоскостях х = const. Решая его с граничным условием 17), получим
?(*,/О = /' + £(*)• (12)
На самом теле у"— 1 + ~L/Ry (х), поэтому возмущенный потенциал на поверхности тела при -L/R ^ 1 будет
£2 ?(•*) = "* У 4^
здесь g(x)—решение задачи во внешней области, взятое на оси х.
Во внешней области искомый потенциал удовлетворяет уравнению (6), а граничное условие для него следует из принципа
Мж 0,930 0,923 0,913 0,907 0.895’ / 0,630 0,552 0,422 0,350 0.168
0,1
0,04 0,06 0,08
т
0,200 0,220 0,250 0,265 0,300
а)
В)
Рис. 2
асимптотического сращивания с (12) при г/?//.—0. Дифференцируя(12) по у" и переходя к указанному пределу, получим вместо (7) условие
Теперь воспользуемся произволом В выборе 5 и положим г: = /?т/Х. В результате получим значение потенциала ® во внешней области, зависящее согласно (8) и (9) от параметров (М* — — 1)£'/?т и (1—/)£2 Оба эти параметра должны быть ограничены. Сама же теория тонкого тела применима в рассматриваемой задаче, если /Ь1/3 /.<£1. Полученные с ее помощью результаты должны интерпретироваться как предельный случай формул (10) и (11) при Ят1*//.-* 0.
В соответствии со сказанным законы подобия (10) и (11) перепишем в зависимости только от двух параметров:
На рис. 2 приведены результаты расчетов упомянутого полу-тела с протоком в случае /?//. = !, постоянных значениях (М* — 1 )/.//?•:, (1 — /)/2/7?-т2 и различных т. На рис. 2, а даны распределения коэффициента давления ср на внешней поверхности обечайки тела. Различие между кривыми, относящимися к разным хорошо видно. На рис. 2,6 построены величины Ср/т. В полном согласии с (14) происходит уменьшение расстояния между ними, причем коэффициент сжатия равен приблизительно 10.
(И)
(15)
На рис. 2, в построена функция сх(-2). Она близка к прямой, что еще раз подтверждает справедливость выводов теории тонкого тела в приложении к обтеканию воздухозаборника. Расчеты показывают, однако, что при " -+• 0 величина сх остается конечной. Это объясняется нарушением неравенства /?т‘ 3/£ <^; 1 при т — О в рассматриваемом случае обечайки с затупленным носком. В указанном неравенстве /- является длиной, на которой изменение толщины происходит на свой порядок, и при очень малых •: ее нельзя отождествлять с полуосью эллипса.
Рис. 3
Зависимость функций F1 и О, от величины (М« — 1) НИ- при малых значениях этого параметра определяется законом стабилизации и роста сопротивления тел вращения при приближении Мес к единице. Как уже указывалось, он был сформулирован в работах [12—14] при помощи асимптотического разложения потенциала течения в окрестности точки Мсг = 1. Зависимость и (?, от второго параметра (1—/)/.* 7?2-с2 должна быть линейной, когда его значения меньше или порядка единицы. Это следует из формулы для относительной толщины эффективного полутела. Последний вывод подтверждается результатами расчета сх упомянутого обтекателя, приведенными на рис. 3 при постоянных значениях ■: = 0,2 и (М« — 1) А//?" = — 0,35.
ЛИТЕРАТУРА
1. А г1 Inge г В. G. Calculation of transonic flow around axisym-
metric inlets. AIAA Paper 75—80, 1975.
2. Ar linger B. G. Axisymmetric inlet flow at low supersonic
Mach numbers. .Symposium Transsonicum II*, Springer, 1976.
3. Baker T. J. A numerical method to compute inviscid transonic flows around axisymmetric ducted bodies. .Symposium Transsonicum II*, Springer, 1976.
4. Coughey D. A., Jameson A. Accelerated iterative calculation of transonic nacelle flowfields. AIAA Paper 76—100, 1976.
5. Reyhner T. A. Cartesian mesh solution for axisymmetric
transonic potential flow around inlets. AIAA Paper 76—421, 1976.
6. Reyhner T. A. Transonic potential flow around axisymmet-
ric inlets and bodies at angle of attak. AIAA Paper 77—145, 1977.
7. Забелин Ю. А., Лифшиц Ю. Б. Расчет обтекания воздухозаборника трансзвуковым потоком. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 8, № 5. 1977.
8. Мигшал Е. М., Cole J. D. Calculation of plane steady transonic flows. .AIAA* J., vol. 9, N I, 1971.
9. Jameson A. Iterative solution ot transonic flows over airfoils and wings, including flows at Mach I. J. „Comm. Pure Appl. Math.*, vol. 27, N 2, 1974.
10. Кюхеман Д., Вебер И. Аэродинамика авиационных двигателей. М., Изд. иностр. лит., 1956.
11. Von К arm an Th. The similarity low of transonic flow.
J. .Math, and Phvs.*, vol. 26, N 5, 1947.
12. Диесперов В. H„ Лифшиц Ю. Б., Рыжов О. С. Закон стабилизации для трансзвуковых течений около тел вращения. ,Изв. АН СССР, МЖГ*. 1974, № 5.
13. Диесперов В. Н., Лифшиц Ю. Б. О сопротивлении
тел вращения при трансзвуковых скоростях потока. ПММ, т. 39,
№ 2, 1975.
14. Рыжов О. С. О зависимости сопротивления тел от числа Маха набегающего потока в трансзвуковом диапазоне скоростей. ДАН СССР, т. 233, № 3, 1975.
Рукопись поступила 7//А' 1979 г.
