К теории симметрических механических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Как видно из рис. 3, в момент времени t = 12,99 с связь исчезает

(N < 0) и груз начинает двигаться только под действием силы тяжести, как свободная материальная точка.

Список литературы

1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум: учеб. Пособие. СПб: БХВ-Петербург, 2005. 752 с.

2. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: ч. 1,

2. М.: Наука, 1983. 500 с.

L. Bulatov, V. Bertjaev, A. Kireeva

The study movement of working mathematical pendulum with variable length strings The study of motion working mathematical pendulum with variable length strings is presented. Areas of phase planes are described.

Keywords: pendulum, balance, Lagrange, spiral, oscillatory.

Получено 07.04.10

УДК 514.77:512.54:517.91

О.А. Матвеев, канд. физ.-мат. наук, доц., (495) 492-39-92, veyevtam@mail.ru (Россия, Москва, Московский государственный областной университет),

А.В. Паншина, канд. физ.-мат. наук, доц., (495) 573-07-16, panalv@mail.ru (Россия, Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана)

К ТЕОРИИ СИММЕТРИЧЕСКИХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

^поставляются широкие классы механических систем c локальносимметрическим и плоским многообразием аффинной связности, которые в результате предлагаемой конструкции получают точное дифференциально-геометрическое и алгебраическое описания.

Ключевые слова: механические системы, аффинная связность, квазигруппа, симметрическое пространство.

Общепризнано плодотворное взаимодействие классической дифференциальной геометрии и аналитической механики, в частности, очень интересна, по мнению автров, связь между локально симметрическими пространствами Эли Картана и интегрируемыми гамильтоновыми дифференциальными уравнениями [1 - 3]. Напомним, что дифференцируемое многообразие аффинной связности называется локальносимметрическим, если его поле кручения T и первая ковариантная производная тензорного поля кривизны равны нулю. Свойства геодезических линий симметрических пространств подробно и глубоко изучены и обобщаются на траектории механических систем широкого класса.

Симметрические пространства, введенные Эли Картаном, обладают математически красивыми алгебраическими свойствами. Геодезические симметрии относительно каждой точки являются локальными изоморфизмами аффинной связности. Симметрические многообразия прочно вошли в современную математику. Ввиду богатства топологической и алгебраической структуры эти пространства являются удобным материалом, на котором проверяется эффективность многих современных математических методов. Самые разнообразные вопросы из дифференциальной геометрии, теории групп, дифференциальных уравнений, аналитической механики, теоретической физики часто сводятся к тем или иным задачам на симметрических пространствах. Известно [4], что симметрическое пространство может рассматриваться, как гладкая идемпотентная леводистрибутивная квазигруппа с «тождеством ключей». Левые сдвиги этой квазигруппы и есть геодезические симметрии. Позднее этот результат был обобщен. С произвольным пространством аффинной связности можно сопоставить однопараметрическое семейство локальных идемпотентных эластичных квазигрупп, определяемых каноническим (аффинным) параметром вдоль геодезических линий. Было введено новое понятие - пространство с геодезическими, как алгебра с однопараметрическим семейством бинарных операций, связанных определенными тождествами. Было установлено взаимно однозначное соответствие между гладкими многообразиями с геодезическими и аффинно-связными многообразиями с нулевым тензором кручения. Таким образом, был построен алгебраический эквивалент экспоненциального отображения. Этот результат был достигнут в связи с переводом на алгебраический язык теории геодезических отображений пространств аффинной связности.

С алгебраической точки зрения многообразие с траекториями представляет собой семейство локальных гладких квазигрупп, операции умножения которых связаны определенными тождествами. Некоторые специальные геометрические свойства траекторий механической системы выражаются дополнительными тождествами соответствующей алгебраической системы. Исследование опирается на алгебраическую теорию симметрических и абелевых (плоских) аффинно-связных пространств. С локально-симметрическим и локально-плоским многообразиями аффинной связности сопоставляются широкие классы Лагранжевых механических систем, которые в результате предлагаемой конструкции получают точное дифференциально-геометрическое и алгебраическое описание. Исследованы примеры, подтверждающие корректность построенной теории. Результаты, полученные в этом направлении, опубликованы в работах [5-12].

В связи с локально-симметрическими и локально-плоскими многообразиями аффинной связности рассматриваются механические системы. Устанавливается, что механические системы широкого класса представляют собой многообразия с траекториями, приводится точное описание

класса локально-симметрических и абелевых механических систем в дифференциально-геометрических терминах.

С алгебраической точки зрения многообразие с траекториями представляет собой трехпараметрическое семейство локальных гладких квазигрупп, операции умножения которых связаны определенными тождествами. Многообразие с траекториями является обобщением многообразия с геодезическими аффинными связностями. Точное алгебраическое описание симметрических многообразий с траекториями опубликовано в работе

[11]. Отвлекаясь от алгебраического описания классов механических систем, приведём дифференциально-геометрическое описание симметрических механических систем.

Определение 1. Пусть М - гладкое (дифференцируемое) действительное могообразие,

3 2

ф: R х M ^М, ф(?, u, v, x, у) = у (гил^)(х, У) = ^, u, v) xy е M

(x, у е М, t, u, v е R)

определяет частично-гладкое локальное отображение.

Для фиксированных действительных чисел to, uo, vo (ц0 Ф vo)

отображение ф есть гладкая локальная бинарная операция у11 уо) (x, у) = ^0, uo, у())xy, где x, у е М. Частичная гладкая локальная алгебра М = <М,(ут)3 > называется многообразием с траекториями,

если выполняются следующие условия:

а) для любой точки х из М и для достаточно малого действительного числа £ > 0 существует открытая окрестность их, такая что

^, u, V) у г определено и принадлежит их для у, х еих, 0 < \ы — V < £, t е I, где I — связный открытый действительный интервал, содержащий [ы, V], если V > U, или [V,u] с I при V < U^;

б) локально выполняются следующие тождества:

^,щV)х(V,щ м>)хУ = ^,щ м>)хУ, u ф V, u ф V; (1)

^,u,V)ху = ^,V,u)ух, u ф V; (2)

^,u,t)хУ = У, u Ф V, (3)

где х, у е М, t, u, V е R.

Замечание. С механической точки зрения , u, V)xy]tеJ можно рас-

сматривать как траекторию, выходящую из точки х при t = u и входящую в точку у при t = V, t — время движения вдоль траектории.

Определение 2. Частичное гладкое локальное многообразие с траекториями М=<М, (ут) з > называется автономным, если в М локально

выполняется тождество

^, щ V) хУ = ^ + V, u + V, V + V) хУ, (4)

где и ф V, ?,и, V, е Я; х, у е М.

Определение 3. Многообразие с траекториями называется локальносимметрическим, если присоединенное к нему многообразие с геодезическими является локально-симметрическим (т.е. соответствует локальносимметрической аффинной связности).

Определение 4. Многообразие с траекториями называется локальноабелевым, если присоединенное к нему многообразие с геодезическими является локально плоским (т.е. соответствует локально-плоской аффинной связности, у которой тензорные поля кривизны и кручения нулевые).

В локально-абелевом многообразии аффинной связности локально выполняются следующие тождества (когда обе части равенства имеют смысл), однозначно характеризующие этот класс пространств:

где 1, и, ?, V е Я; V ф 0, х, у, г, а е М .

Рис. 1 - 3 иллюстрируют некоторые из тождеств (5) - (9) при конкретных значениях чисел ?,и, V.

В локально-симметрическом пространстве аффинной связности выполняются характеристические тождества (5) - (7), а также следующие тождества:

(5)

(6)

1хУ = у,

(х (иуг) = \у<Х2 ,

(7)

(8)

(9)

их(КУ) = (шХу> г = 3> и = 2

X

Рис. 1. Иллюстрация тождества (5)

(10)

(-1) xtyZ = Ь-1) ху (-1) хг .

(11)

Рис. 2. Иллюстрация тождества (8) при * = -1

Г 1 л

V 3 ;

Ъ_а=Ъ.

г 1 л

V 3 у

V,

'Л "Л

X | — \'.а = г_ — г ха;

О'У у У

3 _а =

Зха

На рис. 4 проиллюстрировано свойство (тождество (10)) при / = 2.

22

Н)2,а

х>-

Рис. 4. Иллюстрация свойства (10)

Теорема 1. Решения дифференциального уравнения второго порядка на гладком многообразии М в локальной системе координат имеющего вид:

ql + Alj (q, t) ql qJ + 2Bl (q, t) ql + Cl (q, t) = 0, l = 1,..., n, (12)

(n = dim M, q e M, t e R),

образуют многообразие с траекториями.

Замечание 1. При записи системы дифференциальных уравнений

(12) используются обозначения Эйнштейна, т.е., например,

B/(q,t)ql = Тв/qt)ql.

1=1

Замечание 2. Многообразие с траекториями может быть получено с помощью более общего, чем в системе (12), уравнения второго порядка.

Теорема 2. Решения автономного дифференциального уравнения второго порядка на гладком многообразии М в локальной системе координат, имеющего вид

ql + Aj(q)qlqj + 2B/(q)ql + Cl(q) = 0, l = 1,...,n, (13)

(n = dim M, q e M),

образуют автономное многообразие с траекториями.

Теорема 3. Механическая система (М,Т,Q), где М - дифференцируемое многообразие (д є М, д1,ддп - обобщенные координаты системы), Т - кинетическая энергия системы вида

Т = Т2 + Ті + То = 1 ау(^і )д 1д 7+ьі і )д 1 +с( ді);

1 О

б = (б ,б ,•••,@1) - обобщенные силы вида,

б =ику(t,ч)ч'ч] +$М +гк(^0 (к = l,2,•••,

определяет многообразие с траекториями, которое описывается системой вида (13), причем

і і к

АІІ = Г/ -^ак!;

= 1 / даік + даік даі

2 дді дді ддк

1 і к

А--

п

I

к=1

1 і к

а

а

V

кР

-1

А

і', і=1

п

їм*,=1

в=,2( ^ -рк )3к,+^2(

1( дЬк дЬі

2К ді ™ '~Л/ ■ 2 дд1 дд7

Т)акї;

с/ = (%_ ді

2“дСГ + ук )~~к/; (i, 7 k, 1 = 1,2,..., п ).

2 дд

Теорема 4. Многообразие с траекториями, порожденное системой уравнений вида (12), является локально-симметрическим, если и только если выполняются следующие условия, записанные в виде восьми соотношений:

А

а

гк ,/з

Аа + Аа Ат + Аа Ат - Аа Ат - Аа Ат

зк /г 1 ^тЛ^7 Л УІгт^І

зт,^гк ^зт^гк,/ ^гт,^зк ^гт зк,/

а , Ла лі ла лі \ лт ґ ла ла

- Ат ( Аи - Аа + Аи-А‘ - А^-А ) - Ат ( Аа - А

Іг ( тк, з зк, т зі тк ті зк ) Із ( гк, т тк, г

ла лі ла лі \ лт / ла ла . ла лі ^а 41

АтіАгк - АгіАтк) - АІк (Агт,з - Азт,г + А™А

Із ^ гк, т

А а А1 ) +

-зі''-гт ^гі^зт) Т

+

+ Ат (А

т

/т гк, з

А

т

зк, г

+Ат<к - АгіКк) = о;

т лі

гк

зк

дА а,, ді

+ 2(-вка1 + АткВа , + Вт А тк1 - втАа , - Агтвт,) -

4 к,/г гк т,/ т гк,/ к гт,/ гт к,/'

дАа

- Ат 1-Цг - 2(В1т - А'ткВ? + АшВ’к)] - 2ВТ(А^к,т

д А а

Аа + Аа. А1 - Аа А1 ) - АтГ гт - 2(Ва - А1 Ва +

Атк,г Аті Агк АгіАтк) А/кГ ^ 2(Вт,г АгтВі +

<а „<1

4а лі

л па

ді

дАт

+ А«В'т)] + АітГ-^- - 2(в*г - АІВ + А'"В‘к)] = 0;

ді

п

да , ла о 1 ла г>1 \ лШ / пй пй . ла д1 лад1 \

Вя,ш + Ая1Вш Аш1Вя ) А.я (Вг,ш вш,г + Аш1Вг Аг1ВШ )

— ВШ ( Аа — Аа + Аа А1 — Аа А1 ) + Аа (ВШ —

и1 К^гш,я Л?ш,г ^ ^ы^гш ^п^яш) ^ 1Ш^ г,5

вт + Ат В — А • В ) = 0--°5, г ^ АЯ^г /±П°я)~К)’

дАак дАак дАа дАШ ЯАа дАШ

гк,5_______як,г + лШ дАяш + ла гк — аШ дАгш — ла як —

л, л. гк Аы л. як Агш ^

д? д? гк д? д? як д? д?

— 2 ВШ ( Аа — Аа + Аа А1 — Аа■ А1 ) — 2ВШ ( Аа — Аа +

2вг (Ашк, я Аяк, ш + Ая1Ашк Аш1Аяк ) 2Вя (Агк, ш Ашк, г +

+ Аа- А1 ___Аа А1 )_____2 ВШ(Аа _______Аа + Аа А1 ___Аа А1 ) +

^ лШ1лгк г1^Шк) к У гш, я ^Лы,г ^ ^яг^гш

+ 2 Ва ( АШ — АШ + АШ А1 — АШ А1 ) = 0+ 2 вш (Агк, я Аяк, г + Ая1 Агк Аг1 Аяк ) = 0-

дВа1

Са — 2-^ + Аа 1СШ + АЫСШ — 4Ва .ВТ — 4ВШВШ, —

,1я д? яш,1 яШ ,1 Ш,1 я Ш я,1

дВ а

— 4 ВШ (Ва — Ва + Аа В1 — Аа■ В1) — АШ (Са — 2 Ш +

I у Ш,я пя,^Ш1пя) 1я У ,Ш д?

дА а

+ Аа С1 — 4ВаВ1 ) — 2ВШ(2Ва яш + 2 АаВ1 —

+ АШ1^ 4°1 °ш ) 2°1 (2°ш,я л, + 2/±я1°ш

1 ’ д?

— 2 В“ А^ ) + АЫ (С” — 2 + А^С1 — 4 В,ШВя) = 0;

2д_Вк дАк.+2дА2шВш+2Аа дВЫ 2дВЫ АШ ,ВадА1

к £/±яш л, 2 л, ^ск ш л, д? д?2 д? к д? д? Лк д?

дАа

— СШ ( Аа — Аа + Аа А1 — Аа-А1 ) — 2 ВШ (2Ва шк +

С (Ашк, я Аяк, ш + Ая1Ашк Аш1Аяк ) 2(2Вк, ш д?

+ 2 АШВ — 2 В“ АШк) — 2 ВЫ (2ВШ, я — 2В* А'ш + 2 А^ВШ) +

дАШ

+ 2 ВШ (2 ВЫь + 2 А”В1 — 2 ВЫА'к) = 0;

дВ

дВ

а

dt

dt

■ + ■

дА

а

______Bm + Аа °Br

Ur -г siSm dt dt

дА

a

дt

-Bm _ A

us ^±rm

дВ

m

дt

2 Bm ( В а ____В а + А а rI _____ А а rI)____2 Bm ( В а _______В а +

/.Dr \£>m,s Ds,m + As^m ^m^s) LDs \Dr,m D™ v

m, r

а Аа + Аа Al Аа Al ) +

rm, s nsm, r T ^si^rm ^n^sm)^

i Ода i лгп о' лгп о' л _ n

+ 2Bm (Вг , s Bs,r + Asi Вг Ari Bs ) = 0

дС

а

дt

д2Ва дAа дС

2 ~ + С + Asm

m

дt

2

дt

дt

дВ а 4 ^Вm

дt s

дВм л р« иг>s 4ВШ

/ т>а па . ла оi ла t>i \ ^ z>m//^а ^

2С (Bm,s Bs,m + AsiBm AmiBs ) 2Bs (С,m 2

дВ,

а

m

дt

дt

+

+Amc _ 4 Ва Bm) _ cm (2 b

а D i

m

а

m, s

^ + 2 AX _ 2 ва Aim) +

дt

+ 2ва (Cms _ 2 ^Bt- + ATC _ 4B™bI ) = 0.

Замечание 3. Проверка этих условий позволяет делать выводы о свойствах решений дифференциальных уравнений, не интегрируя их.

Замечание 4. В автономном и абелевом случаях представленные выше формулы естественным образом упрощаются.

Список литературы

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979. 416 с.

2. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995. 448 с.

3. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1973. 188 с.

4. Лоос О. Симметрические пространства. М.: Наука, 1985. 209 с.

5. Matveyev O.A., Panshina A.V. Quasigroups on manifolds with trajectories // Webs and quasigroups. 1995. P. 88 - 105.

6. Матвеев О.А., Паншина А.В. Геометрия траекторий на многообразиях // Международная научная конференция. Казань, 1992. Ч. 1. С. 59 - 60.

7. Матвеев О.А., Паншина А.В. О приложениях геометрической квазигрупповой теории многообразий с траекториями к аналитической механике // 34-я научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. М.: РУДН, 1998. С. 31 - 32.

8. Матвеев О. А., Паншина А.В. Алгебраические и геометрические свойства траекторий абелевых и симметрических механических систем //

26

36-я Всероссийская научная конференция, математические секции. М.: РУДН, 2000. С. 21-22.

9. Матвеев О.А., Паншина А.В.О локально симметрических и абелевых механических системах // Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания. Пенза, 2001. С. 62-68.

10. Матвеев О.А., Матвеева Н.В., Паншина А.В. О квазигрупповой теории абелевых и симметрических механических систем // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование техникотехнологических систем. Вып. 9. М.: Янус-К, 2006. С. 22 - 24.

11. Matveyev O.A. On quasigroup theory of manifolds with trajectories / Webs and quasigroups. Tver, 2000. Р. 129 - 39.

12. Матвеев О.А. Квазигрупповые свойства многообразий с траек-ториями//Вестник Московского педагогического университета. Математика-физика. Вып. 3-4, М., 1998. С. 10 - 15.

O. Matveyev, A. Panshina

То the theory of symmetric mechanical systems.

The broad classes of mechanical systems c locally symmetric manifold and a flat affine connection, which as a result of the proposed construction of an accurate differential-geometric and algebraic descriptions are compared.

Key words: mechanical systems, affine connection, quasigroup, symmetric space.

Получено 07.04.10

УДК 621.9

В.В. Голубенко, асп., Е.В. Давыдова, канд. техн. наук, ассист.,

В.В. Прейс, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой (4872) 33-24-38, preys@klax.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ЗУБЧАТОГО БУНКЕРНОГО ЗАГРУЗОЧНОГО УСТРОЙСТВА ДЛЯ ПРЕДМЕТОВ ОБРАБОТКИ С НЕЯВНО ВЫРАЖЕННОЙ АСИММЕТРИЕЙ ТОРЦОВ

Рассмотрено совершенствование конструкции зубчатого дискового бункерного загрузочного устройства с целью обеспечения надежной загрузки предметов обработки формы тел вращения с неявно выраженной асимметрией торцов на основе применения кольцевого ориентатора.

Ключевые слова: зубчатое дисковое бункерное загрузочное устройство, предмет обработки, асимметрия торцов.

В большинстве конструкций механических дисковых бункерных загрузочных устройств (БЗУ), применяемых для захвата, ориентирования и выдачи в приемник предметов обработки с асимметрией внешней формы