CC BY
11
МАТЕМАТИКА
УДК 512
К ТЕОРЕМЕ ЧЕНГА. II
С. Ю. Антонов1, А. В. Антонова2
1 Антонов Степан Юрьевич, старший преподаватель кафедры высшей математики, Казанский государственный энергетический университет, 420066, Россия, Казань, Красносельская, 51, [email protected]
2Антонова Алина Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Казанский государственный энергетический университет, 420066, Россия, Казань, Красносельская, 51, [email protected]
В данной работе введены полилинейные многочлены Н + (х,у\т), Нп(х,у\гй) е F{X и У}, сумма которых является многочленом Ченга Н(х, у7|гу), где F{X и У} — свободная ассоциативная алгебра над произвольным полем F характеристики не два, порожденная счетным множеством X и У. Доказано, что каждый из них является следствием стандартного многочлена 5- (х). В частности, показано, что квазимногочлены Капелли Ь2т-1 (хт, у) и к2т-1 (хт, у) также следуют из многочлена Б-п (х). Здесь же найдена минимальная степень многочленов Ь2т-1 (хт, у), ^2т-1 (хт, у), при которой они являются полиномиальными тождествами матричной алгебры Мп^). Полученные результаты представляют собой перенос результатов Ченга на некоторые квазимногочлены Капелли нечетной степени.
Ключевые слова: Т-идеал, стандартный многочлен, многочлен Ка-пелли.
DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-2-127-137
Продолжение (2015. Т. 15, вып. 3. С. 247-251).
ВВЕДЕНИЕ
Пусть ¥ — произвольное поле, ¥{2} — свободная ассоциативная алгебра над ¥, порожденная счетным множеством 2 = [гп}пем, которое представим в виде 2 = ХЦУ, где X = {хп}пем, У = {Уп}пем — непересекающиеся счетные множества, £п — симметрическая группа степени п; /, д — произвольные многочлены алгебры ¥{2}, {/}т — Т-идеал алгебры ¥{2}, порожденный многочленом /. Напомним, что двусторонний идеал I алгебры ¥{2} называется Т-идеалом и обозначается
символом I <т В(^}, если для любого эндоморфизма ^ алгебры В(^} справедливо включение С I. Далее, будем говорить, что многочлен д является следствием многочлена f (следует из /), если д е (/}т. Кроме того, пусть £, и, т — любые натуральные числа, удовлетворяющие неравенствам £ ^ и, т ^ и,
т > 1; N0 = N у(0}; В = (а = (йх ... а^+х) е N х N0 | ах + ... + а^+х = т}, Во = (а = (ах ...йи+х) е В | йи+х = 0}, Вх = (п = (щ ... п„+х) е В | п^+х = 0}, = (1,..., к}, г = ух• • • У^. Представим слово г в виде г = гхг2 • • • где г = УхУ2 • • • У^, г = Уг2+х • • • Уь, ..., = Уг„+х • • • У*, и определим многочлены
& (ж,У|га) = & (жх,... ,жт,ух,... ) =
= X XI X дж
п(х) • • • жп(а1)^т(х)жп(а,1 +х) • • • жп(а1 +а2)^т(2) х
теБи
хжп(а1+а2+х) • • • жп(а1 +...+а„(и)жп(а,1 +...+а„+х) • • • жп(а,1 +...+а„+1), Н (ж,а|га) = Н (жх, ...,жт, ух,... |г, ...,щи) =
^ ^ Е Е Дж
п(х) • • • жп(п1)^т(х)жп(п1+х) • • • жп(п1+п2)^т(2) х
пев т
хжп(п1 +П2 + х) • • • жп(п1 +...+Пи (и) жп(п1+...+П„ + х) • • • жп(п1 +...+Пи+1 ),
& (ж,а|га) = & (жх, ...,жт, Ух,... К,... , г„) =
п(х) • • • жп(а1 (х)жп(а1 +х) • • • жп(а1+а2)^т(2) х
аеВо т
хжп(а1 +а2+х) • • • жп(а1 +...+аи)^т(и) 5
где д — подстановка в мономе = г^) ••• 2^(т)2^(т+х) ••• ^(т+4) е В(£}, в котором ¿х = жх, ..., 2т = жт, 2т+х = Ух, ..., = У*. Очевид-
но, что &(ж,У|га) = Н(ж,У|га) + &(ж,У|га). Наконец, пусть £-(2х,..., = = ^ ••• ¿м(п) — стандартный многочлен степени п. Имеют место сле-
дующие результаты:
Теорема 1. Для любого натурального числа т > 1 и произвольного поля В многочлен &(ж,У|га) следует из £т(ж) №
Теорема 2. Для любого натурального числа т > 1 и произвольного поля В многочлены Н(ж,У|га), &(ж,У|га) следуют из $т(ж) [2].
Цель данной работы — провести дальнейшее разложение многочлена Н(ж,У|га) и получить некоторые важные следствия. Обратим внимание на интересные следствия стандартного многочлена, полученные в работах [3-6].
1. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ МНОГОЧЛЕНА Н(ж,У|га)
Пусть V = ••• , где гх < ... < гГ, п е £г, — произвольный моном алгебры В(^}, |V| — длина монома V, йдп^ = sgnп. Представим каким-либо образом слово V в виде произведения его непустых подслов vх • • • vn (п < г) и по определению положим V = (V! . V' = (М ... |vn|), ^ = ^(х) ••• ^(п), аа = (^(х). ..^(п)),
аа' = (|^(х)|... |^(п)|), а е $п. Далее, определим отображение N : Вх ^
где Ми— кольцо матриц размера и х и с элементами из кольца целых чисел Z, положив для любого п = (п1... пи+1) е В1
п) =
(Пи+1 пи+1 пи+1
пи
пи
0 пи-1
V 0
0
0
пи
пи-1
п2 )
Определение 1. Всякая матрица размера к х к (к < и), составленная из элементов матрицы А е Ми^), находящихся на пересечении ее строк и столбцов с номерами г1}...,гк и ^'ь ...,^ соответственно называется подматрицей матрицы А
¿1 ... ¿к
и обозначается символом А
... ^
Для подматриц N (п)
12 ... к\ ч /2 3 ... и
(к < и), N(п) I матри-
2 3 ... и
12 ... к
цы N(п) будем использовать более краткую запись N(п) и Т(п) соответственно. Наконец, под нормой матрицы А = (а^) е Ми(Z) будем понимать число ||А|| =
и и и
= X) X) ^ под высотой элемента р = (р1.. .ри)т е Mux1(Z) — число й(р) = ^ |р|,
¿=1 ¿=1
1 2 ... и.
а = I , I е ^и.
и и — 1 ... 1
¿=1
Лемма 1. Для любых элементов п е В1, т е £и справедливы равенства
и—1
и+1
и—к и
(п) • (тагу')т) = ^пи+1—|г(¿)| = (А)| XI п
к=0 ¿=1 к=1 ¿=к+1 и и—1
= X (к) N+1—к(п) = пи+1^ + X г(к)|^ Ти—к(п).
к=1
к=1
Доказательство. Имеем
и—1
п) • (тагу')т = (пи+1 ^ |гт(¿) |, пи ^ |г(¿) |,..., п^ ^ |г(¿) |)
т
¿=1
¿=1
¿=1
Следовательно,
и—1
—к
Ь,^(п) • (тагу')т) = X пи+1—к^ |г(¿) | = пи+1 |г(и) | + (пи+1г(и—1)| +
к=0
¿=1
+пи+1|гт (и—2) | + ... + пи+1 г (1) |) + (пи г (и—1) | + пи г (и—2) | + ... +
+пи |гт(1)|) + ... + п2 |гт(1) | = г (и) |пи+1 + |г (и—1) |(пи+1 + пи) +
+ |гт(и—2) | (пи+1 + пи + пи—1) + ... + г(1)|(пи+1 + пи + ... + п2) =
0
0
1
и
и и+х и и-х
= |гт(А) | X п = X |гт(А) |£г ^и+х-^(п) = ^ |г(а) |(пи+х + tr ^-а(п)) +
А=х г=А+х А=х А=х
и и- х
+ |гт(и)|Пи+х = Пи+х X |гт(А) | + X ^т(А#Г ^-А(п) = А=х А=х
и-х
= пи+х£ + ^ |гт(*0^г^и-А(п). □
Следствие 1. Пусть |гх| = |г21 = ... = |ги| = 2в — 1, в е N. Тогда для любых п е Вх, т е £и, справедливы равенства
и
(п) • (тага')т) = (2в — 1)|^(п)|| = (2в — 1) ^ кп^+х.
А=х
Если к тому же пи+х = пи =... = п2 = г, то
(п) • (тага')т) = (2в — 1)г(и + 1)и/2.
Следствие 2. Если для всякого г е 1и = 2 к, к е N то для любых п е Вх, т е £и число h(N(п) • (тага')т) четное.
Лемма 2. Для любого монома М(п,пж,тга) из многочлена Н(ж,У|га) справедливо равенство sgn М(п,пж,тга) = (—(пКтаги/) )Sgnп sgn(тw).
Доказательство. Нетрудно видеть, что
Sgn М(п Пж тга) = (—(и) 1П«+1 + 1™т(и-1)|(п«+1 +пиН... + К(1)|(п«+1+п« + ...+П2)х
хsgn (жп(х) • • • жп(т)гт(х) • • • Шт(и)) =
= (—1)^(пИта™')Т)^пп(х) • • • гт(и)) = (—1)^(пМта-/)Т)sgnпsgn(тw). ц
Следствие 3. Справедливо равенство
Н(ж,У|га)= Х)(—1)М^пИта™/)Т)sgnпsgn(тw)M(п,пж,тга).
пев т
Следствие 4. Пусть |гх | = |г21 = ... = |ги| = 2в — 1, в е N. Тогда справедливо равенство
sgn М (п ,пж,тга) = (—1)1^(п)И sgn п sgn т,
и значит,
Н(ж,У|га)= ^ 1)^(П)11^ппsgnтМ(п,пж,тга).
Доказательство. Вытекает из леммы 2 и следствия 1. □
Следствие 5. Пусть |гх| = |г2| = ... = |ги| = 2в, в е N. Тогда справедливо равенство sgn М(п,пж,тга) = sgnп и, значит,
Н(ж,У|га) = ^2 ^2 ^ппМ(п,пж,тга).
пеВ1 т
Доказательство. Вытекает из леммы 2 и следствия 2. □
Очевидно, что значение (—(пКтаг«/)Т) можно найти по любой формуле из леммы 1, однако работать с ними все же неудобно. В связи с этим определим отображения Ф : В1 ^ Zu, Ф : Zu ^ Zu, положив для любого п = (п1... пи+1) е В1, р = (Р1... Ри) е Zu
Ф(п) = (Ф(п)1 ... Ф(п)и), Ф(р) = (Ф(р)1... Ф(р)и),
и+1
u+1
где Ф(п)з = X] n - 2
i=s+1
ni
i=s+1
, = IPs| - 2[|ps|/2], s g 4, [a] — целая часть
числа a. Нетрудно видеть, что для произвольных т g Su, n g B1, справедливы равенства
Ф(™') = т Ф(гй'), (_1)h(N (n)-(W)T) = ,
u
где (Ф(п),тФ(гй')) = £ Ф(п)* • (тФ(й>'))8.
s=1
2. ДОПОЛНЕНИЕ К ТЕОРЕМЕ ЧЕНГА
Представим многочлен Н(х,у|гу) в виде Н +(х,у|гу) + Н— (х,у|гу), где многочлен Н+ (х,у|гу) (Н— (х,у|гу)) состоит из всех мономов многочлена Н(х,у|гу), для которых (—(п) (тагу/) ^п(тг) = 1(—1). Таким образом,
х,у|г) = ^ X X ^1(—1)Ь(^(п)(т«„')Т)8ёП(Г№)sgппМ(п,тгу),
пев т
Н (Ж,у|г)= X X X —1( —1)Ь(^(п)(т«„')Т)8ёП(т№) пМ (п ,ПХ,тг),
т
где ^ — символ Кронекера.
В частности, при £ = и = 1, г = г1 = у1 имеет место равенство
т—1
Н (у,У1 |г ) = ^ X ( —1)т—п sgп пхп(1) • • • хп(п) У1 хп(п+1) • • • хп(т),
п=1
тогда если т = 2к, то
к-1
Sgп пхп(1) • • • хп(2п)у1 хп(2п+1) • • • хп(т) 5
п=1
если т = 2к — 1, то
к-1
Sgп пхп(1) • • • хп(2п—1)у1хп(2п) • • • хп(т)
п=1
(см. также [6, теорема 26]).
Пусть £ е 1т—1, ¿1,..., е 1т, причем ¿1 < ¿2 < ... < ^, т е . Определим эндоморфизм алгебры ¥{2}, положив
( ) Г x¿jут(^), если г = x¿j, э е I*, I г, если г / {x¿1,..., x¿t}.
Далее, представим многочлен ^ ^ ^,т(5т(ж)) в виде суммы
г
Н{2}(ж, У|га) + ^ ^(ж' а.9 |га? )У^'5 з=х
где га = (г ...г), г = Уз У е I*), г = (г— г-хг+х ...г^), у-. = (ух ... Уз-хУз+х... Уг), а многочлен Н{2}(ж, Уа|га) не имеет мономов, оканчивающихся на переменную у. Отсюда получаем, что
г
Н{2}(ж,УН = ^ Х^Ь".'*',т(ж)) — X ^(ж,У.5-|га5)Уз =
<...<*'^т те£<: 3=х
= ^^ sgnпМ(п,пж,тг).
пеВ те^'
Теорема 3. Для любого натурального числа £ е 1т-х и произвольного поля В многочлен Н{2}(ж,у|г) = ^ ^ ^ sgnпМ(п,пж,тг) следует из (ж).
пеВ те^'
Доказательство. Проведем методом математической индукции по числу £. Пусть £ = 1. Тогда
т т-х
(ж)) = ^ X Sgn пж
п(х) • • • жп(п)Ухжп(п+х) • • • жп(т) + , (ж)Ух.
*=х п=х пеБт
Отсюда получаем, что
-х
^2}(ж, Ух |гх) = ^ ^ sgnпжп(х) • • • жп(п)Ухжп(п+х) • • • жп(т) = ^ ^(5-(ж))—(ж)Ух. п=х пеБт *=х
Поскольку (£т(ж)}т <т В(^}, то X] ^(5-(ж)), £т(ж)Ух е (£т(ж)}т и, значит,
*=х
Н{2}(ж,Ух |гх) е (5-(ж)}т.
Пусть теперь 1 < £ < т — 1. Предположим, что для всякого а < £ теорема 3 верна. Покажем, что она будет верна и для числа £. Нетрудно видеть, что
г
Н{2} (ж,УН = ^ (ж)) — X Н{2} (ж,У^|гЗ- )Уз =
<...<*'^т те^' з=х
г
= X X ^ ,т(ж)) — XI &(Н?2}(ж,У£|%))Уз>
<...<*'^т те^' 3=х
где (^ е 1г) — эндоморфизм алгебры В(^} такой, что
(2) = /Уз+^+х, если 2 = Уз, в е (0,1,... ,£ — 1 — ]}, если 2 / (уз,..., Уг-х}.
Так как ассоциированное с многочленом Н{2}(х,у£|%) число £ — 1 < £, то по индуктивному предположению он является следствием стандартного многочлена $т (х). Учитывая, что {$т}Т <т ¥{2}, получаем, что Н{2}(х,у|г) е {$т(х)}Т• Таким образом, теорема 3 верна для всякого £ е 1т—1. □
Следствие 6. Для любого натурального числа т > 1 и произвольного по-
т—1
ля ¥ многочлен Н{2}(х,у1 |г) = Е Е sgп пх^(1) • • • х^(п)у1 х^(п+1) • • • х^(т) следует
п=1 пе^т
из (х).
Доказательство. Полагая в теореме 3 £ = 1, получаем требуемый результат. □
Следствие 7. Для любого натурального числа т > 1 и произвольного поля ¥ многочлен Н2т—1,{2}(х, у|г) = Е Е йдппх^^ут(1)х^(2) ••• ут(т—1)хп(т) следует
т т —1
из (х)-
Доказательство. Полагая в теореме 3 £ = т — 1, получаем требуемый результат. □
Замечание 1. Основные свойства многочлена Н2т—1,{2}(х, у|г) хорошо известны. Этот многочлен имеет специальное обозначение С2т—1,{2}(х,у) и называется двойным многочленом Капелли типа (2,т, 1; {2}).
Предложение 1. Для любых £, и, т е N таких, что и = £ < т, и произвольного поля ¥ характеристики не два многочлен Н +(х,у|г) следует из (х).
Доказательство. По теореме 2 Н(х,у|г) е {£т(х)}т, по теореме 3
Н{2}(х,у|г) е {5— (х)}т,
но тогда и
Н + (х.?7|г) = 2
1
Н+ (х,у|г) = -(Н(х,у|г) + Нт(х,у|г)) е {5— (х)}т. □
Теорема 4. Для любого натурального числа т > 1 и произвольного поля ¥ характеристики не два многочлен Н+(х,у|г) следует из (х).
Доказательство. Проведем методом математической индукции по парам (£,и) е А(^) = {(£,и) е N | £ > и, и < т} с минимальными элементами (£,£), £ е 1т—1, где ^ — лексикографический порядок. В силу предложения 1 теорема 4 верна для любого минимального элемента (£, £) е А(^).
Пусть (£,и) — произвольный элемент множества А, отличный от минимального. Предположим, что для любого (£1,и1) е А такого, что (£1 ,и1) -< (£,и), теорема 4 верна. Покажем, что она будет верной и для пары (£,и). Для элемента (£,и) возможны следующие случаи: 1) среди подслов г1 ,...,ги существует хотя бы одно для которого |г | > 3; 2) для любого г е 1и |г | < 2, при этом найдется гг такое, что |гг| = 2. Рассмотрим каждый из них по порядку.
Пусть г, = у*8+1 -2у*8+1-ху*8+1 (если |г| = 3, то слово полагаем пустым). Нетрудно видеть, что для любых п е Вх, т е 5и справедливо равенство
(—1)(ф(п)'т^^sgn(тw) = (—1)^ф(п)'т4^ОГ—м^УУSgn (тик—^
8 + 1 - Мв + 1
здесь г*—х,*8+1 = г • • • ^-х^у^+^^+х • • • ги. Отсюда следует, что
Н+(ж,у|г) = + (Чу —-х , —-х,*
+ + ^ ¿5 + 1 -х,*8 + 1
где ^ — эндоморфизм алгебры такой, что ^(у^^) = у^^у^-ху*^
и ^(2) = 2, если 2 = у*8+1-2. Так как ассоциированная с многочленом Н+ (ж, у* —-х* + г —- * +1 ) пара (£ — 2, и) -< (£,и), то по индуктивному предположению он следует из 5т(ж), но тогда и Н +(ж,у|г) следует из 5т(ж).
Во втором случае предположим, что гг = у*г+ху*г+2. Рассмотрим эндоморфизмы ,..., , ^+х,..., ^ги+х алгебры В(^}, определенные следующим образом:
_ Г ж*г, если 2 = ж*, Гггу*^+х, если 2 = у*.+х,
^ (2) = < ^+х (2) = <
[2, если 2 = ж*, [2, если 2 = у*. + х,
где г е 1т, ^ е С = 1и\(г}, гх = 0. Нетрудно видеть, что
т
Н + (ж,аН = ^ ^Н+ ; |гг) — X ^ +хН +(ж,%+Т,;+|гГ) — *=х зес
—Н +(ж,а;тт г+з |г>г,
+х, +2
где = (гх ...гг-хгг+х ...ги). Так как ассоциированная с многочленом
Н + (ж, У;; пара (£ — 2, и — 1) -< (£,и), то по индуктивному предположе-
нию он является следствием 5т(ж), но тогда и Н +(ж,а|г) следует из 5т(ж). □
Предложение 2. Для любого натурального числа т > 1 и произвольного поля В характеристики не два многочлен Н-(ж,у|г) следует из 5т(ж).
Доказательство. По теореме 2 многочлен Н(ж,у|г) е (5т(ж)}т, а по теореме 4 Н+ (ж,а|г) е (5т(ж)}т, но тогда Н-(ж,у|г) = Н(ж,у|г) — Н+ (ж,у|г) е
е (5т(ж)}т. □
Следствие 8. Для любого натурального числа т > 1 и произвольного поля В характеристики не два многочлены
Ь2т-х(ж,а) ^ ^ ^П пжп(х)Ут(х)ж
п(2) • • • ут(т-х)жп(т),
теА+
^ т — 1
^2т-х (ж, У) = ^2 ^ пжп(х)Ут(х)ж
п(2) • • • ут(т-х)жп(т),
пе^т теАт—1
где Ат-х = (т е 5т-х| sgn т = 1}, Ат-х = (т е 5т-х | ^п т = —1}, являются следствиями стандартного многочлена 5т(ж).
Доказательство. Полагая в следствии 1 s = r = 1, u = m — 1 и учитывая следствие 4, получаем, что
H+(x,y|w)=X X Sgn пхп(1) Ут (1)x п(2) ' ' ' ут(m- 1)xn(m),
neSm .S9n(-l)m(m-1)/2
т eAm-l
— H - (x,y|w)=^ X sgn ПХп(1) Ут (1)X n(2) ' ' ' ут(m-1)xn(m) •
neSm sgn(-i)m(m-1)/2
т eAm-1
Нетрудно видеть, что в зависимости от числа m наши суммы совпадают либо с многочленом b2m-1 (x,y), либо с многочленом h2m-1 (x,y), но по теореме 4 и предложению 2 они следуют из Sm (x). □
Замечание 2. Выше мы определили многочлен H{2}(x,y|w) для случая, когда (t,u) = (t,t), t < m, и доказали теорему 3. Оказывается, что она верна и для общего случая, когда t ^ u, m > u, при этом доказательство почти дословно повторяет доказательство теоремы 4 с заменой H + (x,y|w) на H{2}(x,y|w) и соответствующих ссылок.
В заключении докажем одно предложение о некоторых тождествах матричной алгебры. Пусть A — произвольная ассоциативная алгебра над полем F.
Определение 2. Многочлен d е F{Z} называется полиномиальным тождеством алгебры A, если для любого гомоморфизма ^ е HomF(F{Z},A) справедливо равенство ^(d) = 0.
Нетрудно видеть, что множество всех полиномиальных тождеств алгебры A является T-идеалом алгебры F{Z}. Этот идеал называется идеалом тождеств алгебры A и обозначается символом T[A]. Заметим, что всякая конечномерная алгебра A обладает хотя бы одним полиномиальным тождеством, например, им является стандартный многочлен при n > dim A. В частности, если A = Mm(F) — матричная алгеб-
ра над F, то в силу теоремы Амицура - Левицкого [7] наименьшее n, при котором S-(z) е T[Mm(F)], равно 2m (см. также [8,9]), а наименьшее n, при котором двойные и кратные многочлены Капелли будут тождествами алгебры Mm (F), найдено в работах [1,10,11]. Дополнением к этим результатам является приводимое ниже предложение.
Предложение 3. Наименьшее n е N, при котором каждый из многочленов b2n-1 ,h2n-1 е T[Mm(F)], равно 2m.
Доказательство. Проведем его для многочлена b2n-1, поскольку для h2n-1 оно аналогично. Пусть charF = 2 и d(m,F) означает наименьшее n е N, при котором b2n-1 е T[Mm(F)]. Тогда из следствия 8 и теоремы Амицура - Левицкого заключаем, что d(m, F) < 2m, а из теоремы 4 работы [12] следует, что d(m, F) > 2m — 1. Отсюда d(m, F) = 2m. Так как коэффициенты многочлена b2n-1 равны ±1, то ограничение char F = 2 для матричной алгебры Mm(F) становится несущественным и потому его можно снять. □
Продолжение следует.
Библиографический список
1. Chang Q. Some consequences of the standard polynomial // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 104, № 3. P. 707-710. DOI: 10.2307/2046778.
2. Антонов С. Ю., Антонова А. В. К теореме Ченга // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3. С. 247-251. DOI: 10.18500/1816-9791-2015-15-3-247-251.
3. Гатева Т. В. Сложность произведения многообразий ассоциативных алгебр // УМН. 1981. Т. 36, вып. 1(217). С. 203-204.
4. Кемер А. Р. Замечание о стандартном тождестве // Матем. заметки. 1978. Т. 23, № 5. C. 753-757.
5. Benanti F., Drensky V. On the consequences of the standard polynomial // Comm. Algebra. 1998. Vol. 26. P. 4243-4275.
6. Leron U. Multilinear identities of the matrix ring // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 183. P. 175-202.
7. Amitsur S. A., Levitzki J.Minimal identities for algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1950. Vol. 1, № 4. P. 449-463.
8. Owens F. W. Applications of graph theory to matrix theory // Amer. Math. Soc. 1975. Vol. 51, № 1. P. 242-249.
9. Rosset S. A new proof of the Amitsur - Levitzki identity // Israel J. Math. 1976. Vol. 23. P. 187-188.
10. Szigeti J., Tuza Z., Revesz G. Eulerian polynomial identities on matrix rings // J. of Algebra. 1993. Vol. 161, iss. 1. P. 90-101.
11. Lee A., Revesz G., Szigeti J., Tuza Z. Capelli polynomials, almost-permutation matrices and sparse Eulerian graphs // Descrete Math. 2001. Vol. 230, № 1-3. P. 49-61.
12. Антонов С. Ю. Наименьшая степень тождеств подпространства матричной супералгебры M(m'k) (F) // Изв. вузов. Матем. 2012. № 11. С. 3-19.
Образец для цитирования:
Антонов С. Ю., Антонова А. В. К теореме Ченга. II // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 2. С. 127-137. DOI: 10.18500/18169791-2017-17-2-127-137.
To Chang Theorem. II
S. Yu. Antonov1, A. V. Antonova2
1 Stepan Yu. Antonov, ORCID: 0000-0003-1705-3929, Kazan State Power Engineering University, 51, Kras-nosel'skaya str., Kazan, Russia, 420066, [email protected]
2Alina V. Antonova, ORCID: 0000-0001-7047-7275, Kazan State Power Engineering University, 51, Kras-nosel'skaya str., Kazan, Russia, 420066, [email protected]
Multilinear polynomials H+(x,y|w)), H-(x,y|?d) g F{X и Y}, the sum of which is a polynomial H(x, y|w) Chang (where F{X и Y} is a free associative algebra over an arbitrary field F of characteristic not equal two, generated by a countable set X и Y) have been introduced in this paper. It has been proved that each of them is a consequence of the standard polynomial Sn(x). In particular it has been shown that the Capelli quasi-polynomials b2m-1(xm, y) and h2m-1(xm, y) are also consequences of the polynomial Sm (x). The minimal degree of the polynomials b2m-1(xm, y), h2m-1 (xm, y) in which they are a polynomial identity of matrix algebra Mn (F) has been also found in the paper. The obtained results are the translation of Chang results to some Capelli quasi-polynomials of odd degree.
Key words: T-ideal, standard polynomial, Capelli polynomial.
References
1. Chang Q. Some consequences of the standard polynomial. Proc. Amer. Math. Soc., 1988, vol. 104, no. 3, pp. 707-710. DOI: 10.2307/2046778.
2. Antonov S. Yu., Antonova A. V. To Chang theorem. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2015, vol. 15, iss. 3, pp. 247-251 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-97912015-15-3-247-251.
3. Gateva T. V. The complexity of a bundle of varieties of associative algebras. Russian Math. Surveys, 1981, vol. 36, no. 1, pp. 233. DOI: 10.1070/RM1981v036n01ABEH002548.
4. Kemer A. R. Remark on the standard identity. Math. Notes, 1978, vol. 23, no. 5, pp. 414416. DOI: 10.1007/BF01789011.
5. Benanti F., Drensky V. On the consequences of the standard polynomial. Comm. Algebra, 1998, vol. 26, pp. 4243-4275.
6. Leron U. Multilinear identities of the matrix ring. Trans. Amer. Math. Soc., 1973. vol. 183, pp. 175-202.
7. Amitsur S. A., Levitzki J. Minimal identities for algebras. Proc. Amer. Math. Soc., 1950, vol. 1, no. 4, pp. 449-463.
8. Owens F. W. Applications of graph theory to matrix theory. Amer. Math. Soc., 1975, vol. 51, no. 1, pp. 242-249.
9. Rosset S. A new proof of the Amitsur - Levitzki identity. Israel J. Math., 1976, vol. 23, pp. 187-188.
10. Szigeti J., Tuza Z., Revesz G. Eulerian polynomial identities on matrix rings. J. of Algebra, 1993, vol. 161, iss. 1, pp. 90-101. DOI: 10.1006/jabr.1993.1207.
11. Lee A., Revesz G., Szigeti J., Tuza Z. Capelli polynomials, almost-permutation matrices and sparse Eulerian graphs. Descrete Math., 2001, vol. 230, no. 1-3, pp. 49-61.
12. Antonov S. Yu. The least degree identities subspace M|m'k) (F) of matrix superalgebra M(m'k)(F). Russian Math. (Iz. VUZ), 2012, vol. 56, no. 11, pp. 1-16. DOI: 10.3103/S1066369X12110011.
Cite this article as:
Antonov S. Yu., Antonova A. V. To Chang Theorem. II. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math.
Mech. Inform., 2017, vol. 17, iss. 2, pp. 127-137 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-201717-2-127-137.
