К решению классической задачи магнитного влияния воздушных линий электропередачи на протяженные проводящие коммуникации Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

э л е к т р о э н е р г е т и к а

УДК 621.311

К РЕШЕНИЮ КЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТНОГО ВЛИЯНИЯ ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ НА ПРОТЯЖЕННЫЕ ПРОВОДЯЩИЕ КОММУНИКАЦИИ

Канд. техн. наук ГЛУШКО В. И.

НИиПИ РУП «Белэнергосетьпроект»

В статье под «протяженными проводящими коммуникациями» понимаются линии связи, вторичные цепи релейной защиты и автоматики электроустановок, металлические трубопроводы и другие металлические протяженные сооружения. Задача магнитного влияния воздушных линий электропередачи на такие коммуникации (особенно на линии связи) решается с 20-х годов прошлого столетия. Получены классические решения [1-3], которые длительное время успешно применяются на практике. Однако до настоящего времени эта проблема интересует специалистов в части разработки более простых методов расчета. Именно такая задача исследования и решается в данной работе.

Основы методики расчета магнитного влияния. В дальнейшем провода линий электропередачи будем называть первичными цепями, а протяженные коммуникации - вторичными цепями. К первичным цепям отнесем также высоковольтные шины электроустановок при определении помех в устройствах релейной защиты и автоматики. В этом случае под вторичными цепями понимаются контрольные кабели, проложенные в лотках.

С физической точки зрения магнитное влияние определяется продольной составляющей электрического поля первичных цепей Ех, которая в системе координат х, у, z (плоскость ху совмещена с поверхностью земли, ось z перпендикулярна поверхности земли) без учета токов смещения удовлетворяет дифференциальному уравнению [4]

д2 Ех д2 Ех /1ч

—2г + —2т - К Ех = 0, (1)

ду2 дz2 з х

где кз =^1 уюц0сз - волновое число земли; оз - удельная проводимость однородной или эквивалентной однородной земли; ю - круговая частота; цо = 4п • 10-7; ] =7-1.

В общем случае решение уравнения (1) связано с определенными трудностями; с целью упрощения можно пренебречь искажением поля первичных цепей вследствие концевого эффекта, наличия заземленного троса и коронирования проводов. Кроме того, для упрощения изложения материала рассмотрим случай расположения вторичных цепей над землей. Тогда решение (1) относительно Ех с учетом [4, 5] можно представить в виде

e=-. I ^ л

4п

ln

(hn + z)2 + y2 A - z)2 + y2

4 J"

e-v(A,+z)

0 V

4

г cos yvdv

(2)

где 1п - ток первичных цепей; кп - высота подвеса первичных цепей над землей; г, у - координаты точки наблюдения на вторичной цепи.

По Ех определяются основные параметры магнитного влияния: Епв -индуктированная первичными цепями во вторичных цепях ЭДС при их параллельном и косом сближении; Zпв - взаимное сопротивление; Мпв -коэффициент взаимоиндукции, которые равны:

Уь

Епв = Exl; Епв = rtgaJ Exdy; Zn

E E

.f^rn. • M = пв

J ' ^^пв J

In j®ln

(3)

где l - длина участка сближения первичных и вторичных цепей; а - угол между первичными и вторичными цепями; уа, уь - минимальное и максимальное расстояния между первичными и вторичными цепями на участке сближения.

Входящий в (2) интеграл может быть выражен через интеграл Карсона, вычисление которого составляет основную часть исследования в статье.

Вычисление интеграла Карсона. Интеграл Карсона представляется в виде [5]

7 e"v(A"+z)

Ik = jJ-1 „ „ cos yvdv. (4)

-yfv

0 V+/V2 +kl

В общем случае вычисление такого интеграла затруднительно вследствие того, что в подынтегральное выражение (4) входит трансцендентная функция

F (v, к3) = F (v = var, кз = const) =-,1 . (5)

4

V+/V2 +к2

Для упрощения вычисления интеграла 1К заменим функцию F(v, кз) простой аналитической функцией. Для этого аналогично [5] выполним преобразование

F (v, кз) =

1

4

v + \/v 2 + к2

14

V2 +к2 -v

-1=(1 - е-*)А

2v V > 2v

т", (6) 2v

где

8 = ln

4

V2 +к2 + V

4

v2 +к2 -v

Из преобразования (6) следует, что главное значение интеграла 1К в (4) определяется в области нуля функции кз) (V ^ 0), поэтому есть все основания полагать, что именно в этой области интегрирования можно получить удобную аппроксимацию для функции кз).

Для исследования функции кз) в области нуля разложим функцию

8 = ln

/V2 +k2 +v

8 = ln

Vv2 +k32 -V

4

в ряд [6]

V2 +k2 +V . z + 1 J 1

Vv2 +k32 -V

= ln

= 21 -z -1 l z

Л + Л + -] = 2l

3z3 5z5 1 ^

„=i ( 2n -1) z

( 2n-1) :

(7)

где z Ji^ 1 +1. i.

Из разложения (7) при z « — следует, что параметр е может быть при-

V

2у

ближенно принят в = — . Тогда по (6) для аппроксимации функции кз)

к

будем иметь

f(v, k3) =

2v л

1 - e

2v '

(8)

Из сравнения (5) и (8) получим приближения: F(V, К) ^ 1 1

1 - e

-2w

Vv2 +k32 k3 (w Ww2 +1) k32w

(9)

f (v, k3) =

1 - e

-2w

w ■

-4

w2 +1

2w

(10)

V V

где w = — = r—

k3 yjj

- безразмерная комплексная переменная.

1 - e

-2w

= 1.

Заметим, что для (10) существует предел lim

w^o 2w

Погрешность (10) не превышает 5 %. Полученное приближение (10) полностью совпадает с приближением, принятым без строгого обоснования в [7], которое в данной статье может служить своеобразным критерием корректности решения поставленной задачи.

Приближение (10) представлено в комплексной плоскости. Поэтому для его применения при вычислении интеграла 1К (4) необходимо обосновать возможность выполнения интегрирования в комплексной плоскости по действительной оси v. Для такого обоснования исследуем переменную w в комплексной плоскости.

По (10) комплексная переменная равна w = . —, которая с учетом

'з .п

известного равенства -Jj = e 4 принимает вид

V V 1 v _ j -

w = , = = ■-=■-= ■ e 4. (11)

п

_ j 4

В (11) параметр e 4 означает, что переменная w определяется в ком-

п

плексной плоскости при аргументе arg w = ——... 0 или arg w = 45°.. .0°. Это

значит, что рассматриваемая комплексная плоскость заключена между действительной осью v и прямой в полупространстве (—j), расположенной

1 — 2w

1 — e

под углом 45° к оси v. Так как функция - не содержит полюсов

2w

в рассматриваемой полуплоскости и в бесконечности (w — да) равна нулю, то правомочность интегрирования в (4) по действительной оси v вполне обоснована.

Тогда для интеграла (4) с учетом (10) будем иметь

7 к = 2 J

^ 0

2

п ч _V(h + z+l-)

e~V(K + z) _ e К

cosyVdV. (12)

В (12) для экспонент соблюдается условие Ке(кп + z) > 0; Яе = > 0. С учетом этого для получения решения для интегра-

^ 2 > К + z+7-

кз У

« e-Yx _ e-ßx

ла (12) используем известный интеграл IK = f-cos bxdx =

0 x

1 b2 +B2

= — In—2-2"(ReY>0; ReP>0) [8]. Таким образом, с учетом (4) и (12)

окончательно для интеграла Карсона (4) получим

( И

j

У 2

2 '2 z + —

7К = ln ^-V-. (13)

К 4 (К + z )2 + У2 ( )

Полученное решение (12) для интеграла Карсона 1К полностью совпадает с аналогичным решением по [7]. Приближенное решение для интеграла Карсона с учетом многослойной земли применительно к магнитному влиянию получено в [5]. При этом для точки наблюдения z << к п (например, когда контрольные кабели расположены в лотках) решение (13) полностью совпадает с главным значением интеграла Карсона по [5] для однородной земли.

Расчетные соотношения для магнитного влияния. Расчетное выражение для Ех получим по (2) с учетом (13) при замене г = кв и у = а?пв, где к в - расстояние вторичной цепи до земли; йпв - проекция расстояния между первичной и вторичной цепями на землю. Будем иметь

Ех =- > ^ '.

4п

1п

(кп + кв )2 + <2в (кп - кв )2 + ^п2в

1п

2

пв

з J

(кп + к

,)2+<

2

пв

(14)

Заметим, что параметр — = кэ = , 1 _

1

' 2юц0а,

(1 - у) является

эквивалентной фиктивной комплексной глубиной проникновения электромагнитного поля в землю (кэ - в метрах).

При решении практических задач влияния первичных цепей на вторичные используются модули параметров Ех, Епв, Zпв, Мпв. В случае сложного сближения первичных и вторичных цепей, т. е. при наличии нескольких участков сближения, модули указанных параметров будут равны:

Епв =

I Еп

I=1

Кпв =

I * п

1=1

М пв =

IМп

1=1

(15)

где Епв1, *пвЬ Мпв1 - соответственно индуктированная ЭДС, взаимное сопротивление и коэффициент взаимоиндукции на 1-м участке сближения; п - число участков сближения.

Расчетные соотношения (15) получены применительно к одной фазе линии, подключенной к источнику синусоидального напряжения с круговой частотой ю = 2 л/", где / - частота. Для трехфазной линии параметры

|Епв |, |*пв |, Мпв I суммируются с учетом сдвига фаз между ними.

При расчете помех определяется параметр Епв = Ех1пв в (3) при Ех по (14), который рассматривается как электромагнитная помеха. При этом помеха Епв чаще всего определяется при однофазном режиме работы линий (высоковольтных шин) и вызывается в больших случаях коммутацией высоковольтного оборудования выключателями и разъединителями и прорывом грозового импульса тока с линии на высоковольтные шины. Для расчета таких помех расчетные соотношения (15) непосредственно могут быть использованы при замене круговой частоты ю на эквивалентную юэ при заданном расчетном токе первичной цепи 1пр, т. е. при замене в (14) ю

= Юэ и 1п = Iпр .

Эквивалентная круговая частота юэ и ток 1пр могут быть приняты по литературным источникам или определены по соответствующим стандартным программам расчета переходных процессов и перенапряжений в линиях высокого напряжения. Например, при расчете грозовых перенапряжений по [9] эквивалентная частота /э принимается, исходя из замены длины фронта тока молнии т Ф (в мкс) четвертью периода эквивалентной

синусоиды, /э Тогда для юэ будем иметь:

4тт

«э =— . (16) 2Тф

При средней длине фронта т Ф = 2 мкс эквивалентная круговая частота равна юэ =П-106, с-1.

При расчете коммутационных помех в качестве эквивалентной круговой частоты юэ в первом приближении можно принять круговую частоту собственных колебаний шин

=ik <17)

где Ьш, Сш - индуктивность и емкость шины с учетом провода (проводов) фазы линии.

Выражение (2) для Ex является точным решением, а (14) - приближенным. Отличается (2) от (14) только интегралом Карсона 1К, который в (14) вычисляется приближенно с погрешностью 5 %. В связи с этим есть основание считать, что расчетные соотношения для магнитного влияния Епв, Zm, Мпв и |Епв|, |Zm|, |Мпв| также определяются с погрешностью порядка 5 %.

В Ы В О Д

На основе приближенного вычисления интеграла Карсона получены простые расчетные соотношения для магнитного влияния воздушных линий электропередачи и высоковольтных шин электроустановок на протяженные проводящие коммуникации и на вторичные цепи релейной защиты и автоматики электроустановок. Погрешность расчета параметров магнитного влияния не превышает 5 %.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. C a г c o n, I. R. Wave propagation in overhead wires with ground return / I. R. Carcon // Bell Syst. Tech. - 1926. - № 1.

2. P o l l a c z e k, F. Uber das feld einer unendlich langen Wechselstrom durch flossen Einfachleitung / F. Pollaczek // E.N.T. - 1926. - Sept.

3. К о с т е н к о, М. В. Взаимные сопротивления между воздушными линиями с учетом поверхностного эффекта / М. В. Костенко // Электричество. - 1955. - № 10.

4. К о с т е н к о, М. В. Волновые процессы и электрические помехи в многопроводных линиях высокого напряжения / М. В. Костенко, Л. С. Перельман, Ю. П. Шкарин. -М.: Энергия, 1973.

5. Г л у ш к о, В. И. Методы расчета магнитного влияния между электрическими цепями с учетом конечной проводимости земли / В. И. Глушко // Электричество. - 1986. - № 3.

6. С п р а в о ч н и к по специальным функциям / под ред. А. Амбрамовица и Н. Сти-ган. - М.: Наука, 1979.

7. T h e c o m p l e x ground return plane. A simplified model for homogeneous and multi-layer earth return / A. Deri [et al.] // IEEE Trans. On Power Apparatus and Systems. - 1981.

8. Г р а д ш т е й н, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, Н. М. Рыжик. - М.: Наука, 1971.

9. П е р е н а п р я ж е н и я и защита от них воздушных и кабельных электропередач высокого напряжения / М. В. Костенко [и др.]. - Л.: Наука, 1988.

Поступила 12.11.2012