К расчету составных балок по теории А. Р. Ржаницына Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

К РАСЧЕТУ СОСТАВНЫХ БАЛОК ПО ТЕОРИИ А.Р. РЖАНИЦЫНА

В.В.Филатов

МГСУ

Разрешающие дифференциальные уравнения для общего случая расчета составных балок по теории А.Р.Ржаницына [1] и их разностные аналоги по методу последовательных аппроксимаций (МПА) [2] приведены в [3]. Для рассматриваемых здесь составных балок с постоянным по длине коэффициентом жесткости шва ^ и нулевой толщиной шва, состоящих из двух одинаковых ветвей прямоугольного сечения ЪхИ, разрешающие разностные уравнения на равномерной сетке с шагом г следуют из [3] как частный случай:

_1 - 2mj + т}+ г • Агп) = -112-(Пр._1 + 10лру +Ар]+1)+ -^т2 ■ Ар); (1) wj_1 - + wj+1 = ^ _1 +10~ + ~+1 - тj_1 - 10ту - тj+1 + т • Ат' );(2)

( 2 л, / с Л

1 -— 12

V ^ у

г2

16

-1+~+1)-^+^у

г/2 (т._1 + 10mj + mj+1 - г • Ат').

О =

(3)

~ И ¿12

В этих уравнениях : t = t ■ с ; с = —; п2 = 8—— ; (4)

/ ЕЕ

Г = Ъ х И; Е - модуль упругости материала балки; I - полупролет; т — ;

р- %; м-у-ч; ^-"р; лр,=Лр; -"р,; А pj - " р - р^ -

тальные величины с левыми верхними индексами " Л" и "П" имеют аналогичный смысл, например, Лш. - значение ш. левее точки j. Безразмерные величины в уравнениях (1) - (3) выражаются через размерные по формулам:

Ш= х; t = Т—; т = М° —; w = у; р = , (5)

I Е1 Е1 I Е1

где х - координата точки j^; Е1 - жесткость каждой ветви на изгиб; Т - сдвигающая сила в шве; М° - изгибающий момент в сечении составного стержня; у - прогиб; 9 - интенсивность приложенной к балке изменяющейся по произвольному закону нагрузки.

Рассмотрим пример расчета двухслойной составной балки по уравнениям (1) - (3) на сетке с минимальным числом разбиений при действии безразмерной сосредоточенной силы Р = 1 (рис).

4/2009

ВЕСТНИК _МГСУ

I

Я- ]

Ч1

1

1

Безразмерный пролет балки равен 2; шаг равномерной сетки г = 1; на краях балки по [1]: т = t = w = 0. Для т.1 записываем уравнение (1) при т0 = т2 = р = 0;

Дт| = р = 1: - 2т1 +1 -1 = 0. Получаем точное значение т1 =1. С учетом найденного значения т1 и краевых условий при ц = 1 уравнение (3) для т.1 запишется так:

- 2| 1 + — -1 -1 12

~ = -— -1 10 • - -1 • 1 1 16 I 2

; ^ = 0,08824. Записывая уравнение (2) для

т.1 при найденных значениях т1 и ^ с учетом краевых условий и решая его, находим w1 = 0,06495. Аналитическое решение [1] при р =ц = 1 дает: ^ = 0,08941; w1 = 0,06553. Погрешность численного решения по t 1,3%, по w 0,89%. С увеличением числа разбиений точность численного решения возрастает, например, при % =1:

2

~ = 0,08935 (0,07%); w1 = 0,06549 (0,06%).

Следующий пример - балка на рис.1, но с жестко защемленными концами. В этом случае помимо уравнений (1) - (3) понадобится разностные уравнения в краевой точке, аппроксимирующие дифференциальные уравнения задачи:

Ч + ^ - ^+1 = Т7 •Ч +5т+т+1 -г • ~5~ - ~+1); (6)

24

/ 2 г 2

12

5

11-г+\1+--гу |.-

12

Г 2 1 "12^ ~1 =

(7)

г2 , , =—1г'т;+ 5т]+ т;+1);

г. т']+ т - т+1 ^ (г. р]+ 5 р} - р}+1). ^ (8)

В рассматриваемом примере на краях балки по [1]: w = w'= t = 0. Получим решение при т = 1; ^ = 1. Запишем для т.1 на рис.1 уравнение (1) и для т.0 - (8), полагая Ат{ = 1;р = 0 и учитывая симметрию: 2• т0 -2• т1 +1 -1 = 0; 1 • т'0 + т0 - т1 = 0 . Далее для т.1 записываем уравнения (2), (3); для т.0 - (6) и (7). При этом учитываем симметрию и = w0 = ^ = 0 :

- 2 • w1 = — (10• 2 • т0 -10• т1 +1 -1);

24

- 2^1+• 1 -Ц-~ = -16-1-(2 • +10 • m -1 -1);

- w = 24 (ьm0 +5 • mo + m -1 • ~0'-

1 i1 + 124} " 124}= 16 4'm«+ 5'mo + m1

Совместное решение записанных выше 6 уравнений позволяет найти: т0, т1, «0' ~ , ~о' • ® частности, т0 =-0,2376. Численное решение при ^ = — дает т0 = -0,2369.

Полученный нами результат для т0 не совпадает с аналитическим решением на

стр.131 [1] даже по знаку. В решении [1] допущена ошибка. Правильное решение в безразмерных величинах описывается полученной нами формулой:

т = р. 6 ~ 6• сКф -у2 • сИ(^). (9)

0 4 3 -ц- + г/2 ■ еН(ц)

При Р = ц = 1 по (9) т0 = -0,2368.

При х <1 результаты расчета на компьютере даны в таблице (л — 1). 2

г m0 m max w max max

1/2 -0,2369 0,2631 0,01942 0,02679

1/4 -0,2368 0,2632 0,01947 0,02688

1/8 -0,2368 0,2632 0,01948 0,02689

1/16 -0,2368 0,2632 0,01948 0,02689

Видно, что МПА [2] обладает высокой точностью и быстрой сходимостью и при расчете составных балок.

Литература

1. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластинки. -М., Стройиздат, 1986 г. - 316с.

2. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. -М, Издательство АСВ, 2008 г. - 280 с.

3. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. Численное решение задачи по расчету составных стержней с переменным коэффициентом жесткости шва. -ACADEMIA, архитектура и строительство -2007 г., №2, с.86-89.

Ключевые слова: составные стержни, теория Ржаницына, коэффициент жесткости шва, метод последовательных аппроксимаций (МПА), численное решение, разностные уравнения.

Рецензент: Габбасов Р. Ф. доктор технических наук, профессор кафедры Строительная механика Московского строительного университета.