CC BY
118
УДК 691.32:624.041.6
СОЛОМИН В. И. ХОМЯК В. П.
К расчету прочности и прогибов железобетонных стержней деформационным методом
Соломин Виталий Иванович
академик РААСН, доктор технических наук, профессор, Южно-Уральский государственный университет (ЮУрГУ), кафедра строительной механики
e-mail: solomin [email protected]
Хомяк
Владимир
Петрович
программист, Южно-Уральский государственный университет (ЮУрГУ),
кафедра строительной механики
e-mail: [email protected]
Излагается метод расчета напряженно-деформированного состояния и прогибов сжато-изогнутых стержней и балок в физически и геометрически нелинейной постановке. Решается плоская задача: оси симметрии сечений и нагрузки лежат в одной плоскости. Построены матрицы жесткости сжато-изогнутых стержней и балок, составлена таблица конечных элементов. Даны сравнения результатов расчетов с результатами, полученными в соответствии с нормами.
Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, метод расчета, железобетонные стержни, таблицы матриц, расчет.
SOLOMIN V. I. KHOMIYK V. P.
CALCULATION OF STRENGTH AND DEFLECTIONS CONCRETE CORES BY USING DEFORMATION METHOD
The method of calculation of stress-strain condition of reinforced concrete rods (beams, columns) is developed. Taking into account non-linear deformations of concrete, reinforcement and buckling of column. Tables of matrixes of rigidity of final elements — reinforced concrete rods — are made. The elements have following conditions on their ends: freely supported, built end, given linear or angular displacements. The method of calculation of stress — strain condition, deflection and strength of reinforced concrete columns are suggested.
Keywords: stress-strain condition, method of calculation, reinforced concrete rods, tables of matrixes, calculation.
Основные положения деформационного метода изложены в статьях А. С. За-лесова с соавторами [1] и др. Будучи основан на гипотезе плоских сечений и реальных диаграммах деформирования материалов, он является шагом в совершенствовании распространенного в настоящее время метода, основанного на эмпирических зависимостях. Появилась возможность отказаться от прямоугольной эпюры в сжатой зоне и создать разрешающие уравнения, адекватные поведению железобетона, логика их стала более ясной. Метод применим лишь при чистом изгибе, то есть для расчета сечения. Очевидно, однако, что с некоторыми допущениями его можно применить и там, где влияние поперечных сил невелико. Например, он рекомендован СП 63.13330.2012 для расчета прогибов балок [2]. Вполне оправданно метод следует применять при расчете колонн. Вопросам разработки и применения
деформационного метода к расчету железобетонных стержней посвящена эта статья.
1. Сжато-изогнутые стержни
Определить до расчета длину участков, где появляются нелинейные деформации, трещины и их дислокацию невозможно. Жесткость стержня изменяется, поэтому необходимо построить расчетную схему, которая предусматривает появление таких участков.
Построение уравнения изогнутой оси стержня переменной жесткости является важной частью расчета сжато-изогнутого железобетонного стержня.
1.1. Уравнение изгиба сжато-изогнутого стержня
Выражение потенциальной энергии сжато-изогнутого стержня, изображенного на Иллюстрации 1, заимствовано в [3]:
и = 1 В(Х) (ш")2 ±х - N / (ш')2 ±х -J дшёх - ЫАш'А - Ывш'в, I 2 I
(1)
где В(х) — изгибная жесткость стержня; w — прогиб; N — продольная сжимающая сила; q — поперечная нагрузка, МА и Мв — моменты, нагружающие концы стержня.
Чтобы получить выражение потенциальной энергии стержня в вариационно-разностной форме, нанесем ряд узлов I с шагом Дх и запишем уравнение (1), заменив производные разностными отношениями, получаем:
Дх -
и = 1v в1 (^-1 - + ^+1 2 е ' I Дх2
- - е 2 е
Ч1+1'
2Дх
Дх - Е Дх -
лг (д^ I .. (дш I
-Ма - Мв •
I дх )А (дх )в
Иллюстрация 1. Расчетная схема сжато-изогнутого стержня
Развернем выражение и, представив его суммой потенциальных энергий участков:
, , 2
тт ВА .2 N I w1 - w_1 I Дх Дх
и = —А3 (и- - 2ыА + w1)2- ——^-1 — - УАыА —— +
4Дх А 2 I 2Дх I 2 А А 2
В1
+--Ц- ЫА - 2щ + Ы2) -—-
А 1 2' 1
2 N I- ЫА
2Дх
(3 < I < п - 2)
2 I 2Дх
В,
Дх - ^1ш1Дх - МА \ — I +
дх >А 2
+^Ду (Ц - 2Ц -1 + )'
2Дх3 ( '+1 ' '—1) +2ДХ3 (ц+2 - 2Ч+1 + ц )2
N
2Дх 1 2
N Ц+1 -
2Дх 2
N К+2 -
2Дх 1 2
- д-щ-Дх + 2
- ьц^ Дх +
- д+1ц,+1Дх +
(2)
В,
2 N (—в—п-1 1
2 I 2Дх
+ 2ДХ3 К-1 - 2-п + -В ) - —
+ &<- - 2"В + -)2 - N
Дх - дп-пДх +
Дх Дх (д— 1
- - ^в^ - Мв (-]в.
В это выражение входят законтурные (фиктивные) перемещения w_1 и w+1. Они исключаются, когда учитываются граничные условия [4]. Из условия минимума потенциальной энергии стержня ^^ = 0, с учетом граничных
дwí
условий, может быть получена система уравнений равновесия, решением которой являются перемещения узлов
AW + 0 = 0, (3)
где А — матрица изгибной жесткости стержня; Ж — вектор перемещений узлов балки; Q — вектор нагрузок. Когда эта система уравнений решена, определены перемещения всех узлов стержня и, следовательно, могут быть найдены кривизна и изгибающие моменты М1 его участков:
^ = (Щ+1 - + _!) / Дх2, Ы1 = В1 .
(4)
1.2. Матрицы жесткости (А) и нагрузок сжато-изогнутых стержней
В табличной форме приведены выражения матриц А и Q для основных типов стержней. Таблицы позволяют легко составить уравнения (3) при произвольном числе участков Дх, различных нагрузках и условиях на концах. Строки матрицы Q разграничиваются знаком (;), знак (,) внутри строки разделяет воздействия.
Ст1. Оба конца стержня опираются на шарниры. Возможные нагрузки: поперечная , момент МА по часовой стрелке, Мв — против часовой стрелки, продольная сжимающая сила N.
2
-1
2
2
2
Матрица А
1 4В1 + в2 - т -2ВХ - 2В2 В2 + N 0 0
2 -2БХ - 2В2 В1 + 4В2 + В3 - 2Ы -2В2 - 2В3 В3 + N 0
1 В- + N -Щ_! - 2В1 В— + 4В, + В,+1 - 2~Ы - 2В,+1 В+1 + N
п -1 0 В- + N -2Вп - 2Вп_! В„-2 + 4Вп_1 + Вп - 2Н -2В„_1 - 2Вп
п 0 0 В- + N 4в„ + в„_! - т
Вектор О = {(-МАДх2,-д1Ах4);-Ах4(д1;...д1 ;...дп-1;);(-дпАхА ,-МвАх2)} \
В матрице Q приняты обозначения: знак (;) разделяет строки матрицы; элементы, стоящие в скобках, разделенные запятой (,), например (МлАх2, д1Ах4), составляют первую строку матрицы. Эти обозначения приняты и далее.
Ст2. Левый конец стержня опирается на шарнир или имеет линейное смещение ДА, правый защемлен или повернут по часовой стрелке на угол 0В, нагрузка д,. Матрица А
М'1 w2 w3 w4 w5
1 4В1 + В2 - 2~Й -2 В - 2В2 В2 + N 0 0
2 -2В1 - 2В2 в + 4В2 + В3 - 2Ы -2В2 - 2В3 В3 + N 0
3 В- + N _! - 2Б, В- + Щ + В,+1 - 2Н -щ - 2В,+1 В,+1 + N
4 0 В„-2 + N -2В„_1 - 2Бп_2 В„-2 + 4В„_1 + Вп - 2Н -2В„_1 - 2Вп
5 0 0 В„-1 + N -2В„_1 - 2Вп 2Вв + 4Вп + Вп_! - N
Вектор О = {-2АЛ (Вл + В1),-Дх4?1);-Дх4(?2;...?г ...дп_1 );{-2Н^вАх,-Ах'дп )}-1.
Ст3. Левый конец стержня защемлен или смещен вниз на величину ДА или повернут по часовой стрелке на угол 0, правый конец защемлен. Матрица А
w3 w4
1 4В1 + В2 - 2~Й -2В1 - 2В2 В2 + N 0 0
2 -2 В - 2В2 В + 4В2 + В3 - 2Й -2В2 - 2В3 В3 + N 0
1 В- + N -Щ- 2В, В— + 4В1 + В,+1 - 2~Ы - 2В,+1 в1+1 + N
п -1 0 В„-2 + N -2В„_1 - 1Вп_2 Вп-2 + 4В„_1 + Вп - 2Н -2В„_1 - 2Вп
п 0 0 В„-1 + N -2В„_1 - 2Вп 2ВЛ + 4Вп + В„_! - N
Вектор О = {(-2АЛ (ВА + В1),-Ах4д1у,-Ах4(д2;...д1 ...дп_1, дп )}-1.
Эти таблицы по существу являются таблицами конечных элементов — железобетонных сжато-изогнутых стержней. Они могут применяться для расчета ферм, каркасов и отдельных колонн.
1.3. Расчет колонн
1.3.1. Основные предпосылки
1 Усилия, действующие на колонны, определяются нагрузками, приложенными непосредственно к колонне или по результатам расчета несущих конструкций здания в целом. Учитывается случайный эксцентриситет.
2 Несущая способность колонны определяется по величине деформаций бетона, арматуры и прогибов колонны.
1.3.2. Параметры поперечного сечения элемента
Примем, что оси координат лежат в плоскости поперечного сечения элемента: г — вертикальная, у — горизонтальная ось. Приведенная площадь поперечного сечения, приведенный статический момент сечения относительно оси у
центр жесткости сечения
с е AbjEbjzbj +AsEszs + A'sE'z's
z _ Sred _ _
Ared е AbjEbj + ¿Л + A'E
Изгибная жесткость элемента
-^AjEbj (Zc - Zbj )2 + AsEs (Zc - zs )2 +
Принято
выражение
B
T +A'sE's(z,c - zS)2
(5)
(6)
N
A'SE'S + £ AbjEbj + ASES
нение состояния имеет вид
ч2
K -
еЪ0
еЪ0
1 + (K - 2) —
еЪ0
-Яъ
(9)
АГеё = е АдЕу + -ае + ае (2.6) справедливым и области растяжения бетона. При растяжении необходимо заменить деформации сжатия еВ0 и еЬ2 деформациями растяжения еЫо и еы2, Яь на . Значения базовых деформаций: ев0 = 0,0022, гь2 = 0,0036.
График деформирования арматуры, одинаковый при сжатии и растяжении, показан на Иллюстрации 4. Зависимости между напряжениями и деформациями в этом случае выглядят так:
1.3.3. Определение перемещений и усилий
Когда жесткости всех элементов известны, можно составить уравнение (3): АЖ + О = 0
и определить , а по формуле (4) кривизну всех участков колонны.
1.3.4. Определение деформаций в бетоне и арматуре Деформации определяются осевыми е и угловыми Ф
(кривизна) относительными перемещениями плоскостей, ограничивающих элемент по высоте. Их определение упрощено по сравнению с [5]. Кривизна Ф известна (4), продольную деформацию е определим (Иллюстрация 2) по формуле
Иллюстрация 4. Диаграмма деформирования арматуры
при 0 < es < esо, as = esEs,
(7) когДа £s0 < £s < £s2,ctj = Rs-
(10)
Значения базовых деформаций:
где в знаменателе продольная жесткость элемента.
Когда перемещения е, $ найдены, определяются деформации элемента
- ^ +е, £, = (гс - г, И- + £, (8)
Иллюстрация 2. Определение продольной деформации £
es 0 — '
3550
— 0,001775, es2 = 0,025.
2 ■ 106
По уравнениям (5)-(10) построены алгоритм и программа КЖБ, позволяющие рассчитывать напряженно-деформированное состояние и прогибы (выпучивание) колонн с учетом нелинейных деформаций бетона и арматуры. Этот алгоритм изложен в нашей статье [5], поэтому здесь не приводится.
1.4. Пример расчета колонны
На колонну действует продольная сила 130 тн. Длина колонны 4 м, размеры поперечного сечения 400х 400 мм, бетон класса В25 (Еъ = 30000 МПа; Яь жг = 18,5 МПа,
R,
Bt,ser
1.3.5. Определение напряжений Примем диаграмму деформаций бетона при сжатии, рекомендованную Европейским комитетом по бетону (Иллюстрация 3). Соответствующее этой кривой урав-
4028).
1,55 МПа); арматура класса А400 (As = 2463мм2
Иллюстрация 3. Диаграмма деформирования бетона
Иллюстрация 5. Результаты расчета колонны: Zc — центры жест-костей; M — изгибающие моменты; B — изгибная жесткость; ст/Щ — относительные напряжения; е/е^о — относительные деформации
2. Балки
Для расчета железобетонной балки необходимо иметь уравнение изгиба балки с жесткостью, произвольно меняющейся по ее длине. Чтобы получить это уравнение, воспользуемся вариационно-разностным методом.
а
2.1. Уравнение изгиба балки переменной жесткости
Выражение потенциальной энергии балки, изображенной на Иллюстрации 1, запишем следующим образом:
U = f^(w")2 dxf +1 f к(x)w2dx -f q(x)wdx -i 2 i 2 i i -Maw'a - MBw'B, - min, (11)
где B (x ) — изгибная жесткость стержня; к (х) — коэффициент жесткости основания; w — прогиб; q (х) — поперечная нагрузка; MA и Ыв — моменты, нагружающие концы стержня.
Нанесем на балку ряд узлов i с шагом Дх (Иллюстрация 6) и запишем уравнение (11), заменив производ-
ные разностными отношениями, получаем: 1 ^ - [wi-1 - 2wi + wi+1
U = 2 Е 4
Дх
2
1
-ЕтД*- мА [ДХ] - мв^
'I Дх
Дх + 2 Е kW2ДХ -
Иллюстрация 6. Расчетная схема балки
Из условия минимума потенциальной энергии стержня ди/ дw¡ = 0, с учетом граничных условий [4], для каждой балки может быть построена система уравнений равновесия, решением которой являются прогибы в узлах (3):
ЛЖ + О = 0,
где А — матрица изгибной жесткости балки; Ж — вектор перемещений узлов балки; Q — вектор нагрузок.
Далее могут быть найдены кривизна и изгибающий момент (4):
^ = ^+1 - 2щ + шг-1)/Дх2 , Ы1 = В1^.
2.2. Матрицы жесткости (А) и нагрузок балок
Балки Б1, Б2 и Б3 имеют опоры и нагрузки (включая кинематические), такие же, что и стержни Ст1, Ст2 и Ст3 соответственно. Матрицы А и Q для балок такие же, как для стержней, если в последних отбросить члены, содержащие N.
Заметим, что матрицы А зависят только от жесткости и условий на концах балок. Информация о нагрузках qi, ЛА, бА находится в матрице Q.
2.3. Железобетонные балки
Балка представляет собой набор элементов (участков). Напряженно-деформированное состояние участка зависит от действующего в нем изгибающего момента. Задача решается методом переменных параметров упругости (жесткости). Расчеты балок по первой и второй группам предельных состояний отличаются только воздействиями и характеристиками бетона и арматуры.
Параметры поперечного сечения элемента определяются по формулам (5) и (6). Кривизна элементов балки
($) определяется по формуле (4), когда система уравнений (3.3) решена и перемещения узлов найдены. Продольные деформации определяются по формуле (7).
Таким образом, полные деформации в слоях бетона и арматуры (8)
Ч! = - + е, £? = ис -№ +е, 4 = (¿е - +£•
2.4. Алгоритм поверочного расчета балки
Рассматривается балка, пролет и нагрузки которой известны. На всех участках (г) балки заданы: размеры поперечного сечения, площади арматуры Ах, А^, начальные значения модулей деформации бетона Ев и арматуры Ех, характеристики прочности Яь и
Требуется определить на каждом участке: деформации и напряжения в бетоне и арматуре, прогибы и изгибающие моменты. По этим данным составить заключение о прочности балки.
Задача решается в несколько этапов.
ЭТАП (а = 0). Принимаются начальные значения модулей деформации бетона, арматуры и характеристик прочности.
В каждом элементе, образующем балку, выполняются следующие операции:
1. Определение ординат центров жесткости 1С по формуле (5).
2. Определение жесткости В1 по формуле (6).
3. Формирование матриц А и Q балки (параграф (2.2)).
4. Решение системы уравнений (3.3), определение прогибов ш/0', кривизны и моментов М('по формуле
(4).
5. Определение по формулам (8) деформаций е'0-^, е(0)5, слоев бетона и арматуры (на этом этапе е = 0).
6. Вычисление напряжений ст^/ ст'0^, ст^0) по формулам (9) и (10).
7. Определение секущих модулей деформации слоев по формулам
ло)
'(0)
Е(0) _ ст Ь] Е0 _ ^ е,(0) _ ' Е Ъ] _ _(0) > Е * _ _(0) ' Е _ ,(0). (12)
ь Ъ] - *
8. Определение продольных деформаций по формуле (7):
(0) = е у°- 4'0)^ + 4'(0) е v0 еь}° - ^ +е;(0)'
9. Определение полных деформаций по формуле (8)
j= - % pw0)
е « = (г<0) -
еЯ = - ^y0)+e(0).
10. Определение напряжений сть^(1, ст'1-^, ст^1' по формулам (9) и (10).
11. Определение секущих модулей деформации слоев по формулам (12):
Е(1) Е(!) = е
ь Е(1) ' 5 Е(1) ' 5 ж
ЭТАП (а > 1). Принимаются модули, полученные на предыдущем этапе. Операции на этапе (а = 1) и на всех последующих шагах итерации такие же, как на этапе (а = 0). Итерации прекращаются, когда вычисленные
A
в
изгибающие моменты Мк_1 станут достаточно близкими к Шк, где к — номер итерации. Если при этом деформации в бетоне и арматуре не превышают предельных значений, балка может считаться прочной.
2.5. Алгоритм расчета балки, арматура которой не задана
Рассматривается балка, пролет и нагрузки которой известны. На всех участках (г) балки заданы: размеры поперечного сечения, начальные значения модулей деформации бетона Ев и арматуры Е5, характеристики прочности материалов: Яь и Требуется найти количество растянутой и сжатой арматуры, при котором прочность всех элементов обеспечена.
ЭТАП (а = 0). Принимается минимальное количество растянутой и сжатой арматуры
4(0) = 4(0) ~ (0,1 - 0,2%).
В каждом элементе, образующем балку, выполняются следующие операции:
1. Определение ординат центров жесткости 1С по формуле (5).
2. Определение жесткости Б1 по формуле (6).
3. Формирование матриц А и 0 балки (параграф (2.2)).
4. Решение системы уравнений (3.3), определение прогибов ш/0-1, кривизны и моментов м/%о формуле (4).
5. Определение по формулам (8) деформаций е( ^^, е(0)5, слоев бетона и арматуры (на этом этапе е = 0).
6. Определение напряжений ст(0)5, ст^0-1 по формулам (9) и (10).
7. Определение секущих модулей деформации слоев по формулам (12):
„(0) (0) ,(0)
р (0) = Е 0 р ,(0)_^1> Е Ь] = (0) , Е 1 = (0) ,р = .(0).
bj
s е(°)
.'(О)'
j = - %
£« =
£S(1) = - 4
+ £
(0)
'+£<0), °)+£<°).
4(1) = 4(0) (2)
1 + ■
,(!) -
es2
zs 2
. A ■« = A'<0)
1 +
V У ~ 42
sB2
b £(i) ' s E(i)' s ж
c- bj s c- s
13. ЭТАПЫ (a > 1). Принимаются площади арматуры и A^, модули деформации, вычисленные на предыдущем этапе. Все верхние индексы увеличиваются на единицу и выполняются операции 1—10. Итерации заканчиваются, когда площади арматуры стабилизируются.
2.6. Примеры расчета железобетонных балок
Пример 1. Исходные данные для этого примера заимствованы в [6], пример 45. Дано: железобетонная плита перекрытия гражданского здания прямоугольного сечения размерами h = 200 мм, b = 1000 мм; h = 173 мм; пролет l = 5,6 м; бетон класса В15 (Eb = 24000 МПа; Rb ser = 11 МПа, Rbt ser = 1,1 МПа); арматура класса А400 (As = 769 мм2 5014) принята постоянной по длине плиты; полная равномерно распределенная нагрузка q = 7,5 кН/м, в том числе ее часть от постоянных и длительных нагрузок q¡ = 6,5 кН /м; прогиб ограничивается эстетическими требованиями.
Требуется определить напряженно-деформированное состояние и прогиб балки. Начальная матрица жесткости и матрица нагрузок сформированы по Б1 (параграф 2.2). Решение выполнено по алгоритму 2.4. Алгоритм поверочного расчета. В расчетах принято: шаг узлов, нанесенных на балку, Дх = 560/12 = 46,67 см; шаг слоев, на которые разделена высота поперечного сечения, Дг = 20/10 = 2 см.
Результаты расчета даны для половины пролета балки в форме графиков.
8. Определение продольных деформаций по формуле (7):
(0) = е уч(0)- 4(0ч(0) +
е Аь^Е^- 4(<ч(0)+4«)Ерг
9. Определение полных деформаций по формуле (8):
>(0).
0).
10. Определение площади растянутой и сжатой арматуры по формулам
где — текущая деформация растянутой арматуры; £52 — предельная деформация арматуры; е42 — предельная деформация бетона при сжатии; £'(2)текущая деформация сжатой арматуры.
11. Определение напряжений о^Р, О1^, ст^1' с учетом полных деформаций по формулам (9) и (10).
12. Определение секущих модулей деформации слоев по формулам (12):
Иллюстрация 7. Результаты расчета «плиты 45»
На Иллюстрации 7 показаны сжимающие и растягивающие напряжения. Ниже эпюры сжимающих напряжений (незаштрихованная часть) напряжений нет, там проходят трещины.
Согласно СНиП 2.01.07-85 предельно допустимый прогиб в данном случае /иН = 2,87мм > 2,594. По расчету, выполненному в [10], прогиб равен 27,6 мм.
Пример 2. Исходные данные для этого примера заимствованы в [6], пример 46. Дано: железобетонная плита покрытия с расчетным пролетом 5,7 м.; размеры (для половины сечения плиты; бетон класса В25 (Бь = 30000 МПа; Яь жг = 18,5 МПа, ЯЬТ жг = 1,55 МПа); рабочая арматура класса А400 (А,, = 380 мм2 1022); постоянная и длительная равномерно распределенная нагрузка ql = 11 кН/м; прогиб ограничивается эстетическими требованиями; влажность окружающего воздуха пониженная ^ < 40%).
S
Иллюстрация 8. Поперечное сечение плиты покрытия
Требуется определить напряженно-деформированное состояние и прогиб балки. Начальная матрица жесткости и матрица нагрузок сформированы по Б1 (параграф 2.2). Решение выполнено по алгоритму 2.4. Алгоритм поверочного расчета.
Результаты расчета даны для половины пролета балки в форме графиков. В расчетах принято: шаг узлов, нанесенных на балку Дх = 570/12 = 47,5 см; шаг слоев, на которые разделена высота поперечного сечения, Дг = 30/12 = 2,5 см.
На Иллюстрации 9 показаны сжимающие напряжения. Ниже эпюры сжимающих напряжений (незаштрихован-ная часть) напряжений нет, там проходят трещины.
4 Построена матрица жесткости элемента железобетонной колонны, учитывающая физическую и геометрическую нелинейность. Разработаны алгоритм и программа «КЖБ» расчета деформаций, напряжений и прогибов железобетонных колонн.
5 Приведены примеры расчета колонн и балок.
6 Все изложенное в этой статье основано на деформационном методе, и направлено на более широкое применение методов строительной механики в практике расчетов железобетонных конструкций.
Список использованной литературы
1 Залесов А. С., Чистяков Е. А., Ларичева И. Ю. Новые методы расчета железобетонных элементов по нормальным сечениям на основе деформационной расчетной модели // Бетон и железобетон. 1997. № 5. С. 31-34.
2 Свод правил СП 63.13330.2012. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. Актуализированная редакция. СНиП 52-01-2003. Издание официальное. М., 2012.
3 Пратусевич Я. А. Вариационные методы в строительной механике. М. ; Л., 1948.
4 Соломин В. И., Хомяк В. П. Определение усилий и перемещений в сжато-изогнутых стержнях переменной жесткости // Вестник отделения строительных наук РААСН. 2014. Вып. 18. С. 89-94.
5 Соломин В. И., Хомяк В. П. Напряженно-деформированное состояние и прочность железобетонной колонны // Строительная механика и расчет сооружений. 2013. № 2. С. 11-16.
6 Пособие по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры (к СП 52-101-2003) / ЦНИИПромзданий ; НИИЖБ. М., 2005.
Иллюстрация 9. Результаты расчета «плиты 46»
Заключение
1 Получено уравнение изогнутой оси стержня переменной жесткости при продольном изгибе.
2 Разработан метод расчета деформаций, напряжений и перемещений в железобетонных стержнях.
3 Составлена таблица конечных элементов — железобетонных стержней. Учитываются нелинейные деформации бетона, арматуры и продольный изгиб стержней. Стержни могут быть нагружены поперечными нагрузками, взаимными линейными перемещениями или поворотами концов стержней. Эти конечные элементы позволяют сформировать уравнения метода конечных элементов для расчета железобетонных стержневых систем в физически и геометрически нелинейной постановке.
1107030511110804051006050411090805090906040310060304092106041127060304112103041009060308110803
