К расчету предельной дальности подачи испаряющихся тонкораспыленных огнетушащих веществ установками импульсного пожаротушения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Пожарная техника

УДК 614.84:664

К РАСЧЕТУ ПРЕДЕЛЬНОЙ ДАЛЬНОСТИ ПОДАЧИ ИСПАРЯЮЩИХСЯ ТОНКОРАСПЫЛЕННЫХ ОГНЕТУШАЩИХ ВЕЩЕСТВ УСТАНОВКАМИ ИМПУЛЬСНОГО ПОЖАРОТУШЕНИЯ

Ольшанский Василий Павлович

B. П. Ольшанский

доктор физико-математических наук, профессор Академии гражданской защиты Украины

C. В. Ольшанский

аспирант Национального технического университета "Харьковский политехнический институт"

Построены приближенные аналитические решения нелинейных дифференциальных уравнений движения испаряющейся капли огнетушащего вещества. Оценка точности предложенных приближенных формул проведена путем сравнения результатов, к которым приводят численное интегрирование уравнений и приближенные аналитические решения. Показано, что полученные формулы можно использовать для расчета предельной дальности подачи мелкодисперсных жидких огнетушащих веществ, которые испаряются в процессе доставки к месту горения.

Состояние проблемы. Общеизвестно, что диспергирование жидких огнетушащих веществ (ОВ) повышает их эффективность при тушении пожаров [1]. Применяемые способы получения мелкодисперсных жидких ОВ описаны в статье [2]. Одним из них является метание импульсными установками пожаротушения ("ШЕХ", "Тайфун" и пр.). Изучение баллистики капель ОВ проводилось авторами монографий [3, 4]. Характерной особенностью движения таких частиц является их испарение по мере доставки в область горения. Установлено, что для эффективного пожаротушения нужно, чтобы за время полета капли к горящей поверхности ее исходный радиус уменьшался за счет испарения не более, чем в два раза [3, 4]. При больших дальностях полета снижается огнетушащее воздействие частиц, поскольку капли маленькой массы быстро тормозятся и могут не достигать горящей поверхности. Таким образом, для эффективного использования тонкораспыленных жидких ОВ необходимо знать предельно допустимую дальность подачи, которая зависит от скорости испарения капель. С этой целью в монографии [3] выведены уравнения движения капли как сферического тела переменной массы и предложено интегрировать их численно на

компьютере, однако не приведены результаты такого интегрирования. В монографии [4] сделана попытка построить решение уравнений движения в виде степенного ряда, но при реализации этого способа в частичной сумме ряда сохранено только два члена разложения и нет оценки погрешности предложенного упрощения. Поэтому остается неясной точность построенных там формул для расчета предельной дальности подачи ОВ.

Постановка задачи и ее решение. С учетом вышеизложенного в данной статье предлагается другой способ аналитического решения уравнений движения испаряющейся капли, которые выведены в работе [3]. Но в отличие от публикаций [3, 4] в уравнениях опускаются слагаемые, учитывающие действие реактивной силы. Без учета этой силы уравнения движения частицы жидкости как материальной точки переменной массы имеют вид:

X (X 2 + у 2)1/2 = 0;

г0 - У

у + (X 2 + у 2)1/2 = ^ (1)

го

где х = х ^), у = у (?) — координаты капли на траектории движения, зависящие от времени;

k — приведенный коэффициент аэродинамического сопротивления движению; r0 — радиус капли в момент выхода на траекторию;

у — скорость убывания радиуса капли во времени за счет испарения; g — ускорение свободного падения; точка над символом означает производную по t. Начальная точка траектории движения совпадает с началом прямоугольной системы координат x0y, показанной на рис. 1.

Сила аэродинамического сопротивления движению принята пропорциональной квадрату скорости обтекания капли воздушным (или газовым) потоком, что делает систему (1) нелинейной и затрудняет ее аналитическое решение. Коэффициент аэродинамического сопротивления k зависит от плотностей ОВ и газовой среды, в которой движется капля, других параметров. Об этих зависимостях идет речь в монографиях [3, 4]. Здесь их не приводим, поскольку, на наш взгляд, значение k лучше идентифицировать в ходе сравнения теории с экспериментом для конкретных условий истечения ОВ. Такой способ определения k обеспечивает "подстройку" теоретической модели под экспериментальные данные, что нередко практикуется в технических расчетах.

В качестве начальных условий к уравнениям (1) берем выражения:

x(0)= y (0) = 0; X(0) = vi = vо cos 9o;

У(0) = v2 = v0 sin 90, (2)

где v0, 90 — скорость и угол истечения капли из ог-нетушащего устройства соответственно; v1, v2 — проекции скорости на координатные оси (см. рис. 1).

Заметим, что при у = 0 поставленная задача Коши сведена к квадратурам [5,6]. Но теперь, когда у >0, приходится искать другие приближенные способы ее решения, поскольку система (1) имеет переменные коэффициенты.

Далее ограничимся изучением небольших углов истечения капли к горизонту |901 < 30°. Этому интервалу углов соответствует наибольшая дальность подачи ОВ. Импульсные установки пожаротушения сообщают большую начальную скорость частице ОВ (порядка 120- 140 м/с), вследствие

0

X >

Рис. 1.

Расчетная схема

чего мало время ее полета по траектории. Поскольку также мал вес частицы, то за короткое время сила гравитации слабо искривляет траекторию, особенно на начальном участке движения. Происходит так называемая прямая подача ОВ. Это обстоятельство будем использовать для упрощения задачи Коши, в частности учитывая слабое искривление траектории, в уравнениях (1) положим yx_1 « const = tg0 0. В результате вместо соотношений (1) получаем более простую систему

px/

r0 -yt

= 0; y +

pxy r0 - yt

= g, (3)

где Р = £/со890.

Интегрируя уравнения (3) с учетом соотношений (2), получаем проекции скорости движения:

x (t) = v1

1 -^In Í1 -И

-1;

v 2 +- (r0 + PV) Xt) = -S - g^ . (4)

1 -^ь Í1 -It у

у

Координаты движущейся частицы определяем с помощью квадратур:

г г

х(г) = | х(г) Аг; у(г) = _[ у(г) Аг. (5)

0 0

Для скоростей (4) они не выражаются в элементарных функциях, а сводятся к специальным табулированным. Это можно осуществить с помощью интеграла [7]:

"re^dx „X + ю

= e1 [Ei( -|i" - |ю) - Ei(-|ю)], (6)

где Е1 (-х) — интегральная показательная функция, подробные таблицы которой имеются в справочниках [8, 9].

Итак, подставив проекции скорости (4) в выражения (5) с учетом равенства (6), получаем

x(t) = ea

) Р

y( t) = -

Ei I -a - ln

r0 - yt (a + 1) gr0

- Ei( -a)

ay

2

x (t) + ^f -

у2

x < e

2a

Ei( -2a) - Ei I -2a - 2ln

r0 - !t у

1 I - 1

(7)

где a = y(Pv1) 1.

0

v

v

ПОЖАРОВЗРЫВОБЕЗОПАСНОСТЬ 4'2005

Заметим, что решения (7) определены в области 0 < г < г0у-1. Учитывая, что Е1 (-да) = 0, для координат концевой точки траектории хг, уг получаем

х, = — еаЕ1 (-а);

г р

Уг =

1

У 2

+ (а + 1) gГo

2 +

аУ

е 2аЕ1( -2а) - 1

(8)

у, м 8

1

24 6 8 10 12 14 —1 1 1 16

2

6 4 2 0 -2 -4 -6 -8

Рис. 2. Траектории движения частицы ОВ

В случае отсутствия таблиц интегральной показательной функции вычисления х (г) и у (г) на начальном этапе движения можно проводить с помощью приближенных формул

±1П( У^г0 + 1 - Ь )(1 + Ь)

X (Г) - ^

2 Ь (уг/т0 + 1 + Ь) (1 - Ь) при а < 1/2 ;

уг

г0 + Уг

1 ( уг

— I arctg —

при а = 12;

г0 1

--аг^ —

с с

при а > 1/2;

у( г) - ^

1 + (1 + л

2г0

'0

и1'0

х(1 + ^ -1| х(г) + 1

I 8г0 а) 2

1 | -1

(9)

прямых линий, что подтверждает возможность расчета движения на этом интервале с помощью более простых уравнений (3). Характерная особенность траекторий — их ограниченная протяженность в бесконечном пространстве, которая обусловлена не твердым препятствием на пути движения, а испарением жидкости. Вследствие испарения капля, как и траектория, существуют только при 0 < г < г0 /у. В этом принципиальное отличие закономерностей движения испаряющихся капель и твердых частиц постоянной массы.

В табл. 1 указаны значения проекций скорости движения капли, вычисленные при 00 = -20° и прежних остальных параметрах.

На интервале эффективной доставки ОВ 0 < г < < г0(2у)-1 формулы (4) дают хорошую точность вычислений. Соответствующие этим скоростям координаты указаны в табл. 2. Они получены тремя спо-

в которых Ь = V1 - 2а; с = V2а - 1.

Их несложно получить из решений уравнений (4) и (5) введением аппроксимации

1П11 -1

которая приемлема, когда г < г* = г0(2у)-1. На протяжении этого времени происходит двукратное уменьшение радиуса испаряющейся капли, т.е. формулы (9) позволяют вычислять предельно допустимую дальность подачи ОВ импульсной установкой пожаротушения

тах I = [х 2( г *) + у 2( г *)]1/2.

(10)

Анализ численных результатов (получены при г0 = 10-4 м; у = 2 • 10-4 м/с; к = 10-5; у0 = 130 м/с).

На рис. 2 представлены три траектории движения капель. Кривые 1, 2, 3 соответствуют 00 = 0; 30°. Они построены на компьютере путем численного решения дифференциальных уравнений (1). В интервале абсцисс 0 < х < 11 м траектории имеют малую кривизну, т.е. незначительно отличаются от

Таблица 1. Значения х( г) и у(г) (числитель — результаты, полученные численным интегрированием уравнений (1), знаменатель — по формулам (4))

г, с 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

х, м/с 96,55 96,54 72,53 72,51 49,91 49,85 36,91 36,81 28,39 28,28 22,31 22,19

- у, м/с 34,97 34,96 26,01 26,00 17,48 17,47 12,50 12,47 9,19 9,15 6,78 6,74

Таблица 2. Значения х (г) и у (г), м

г, с Численное интегрирование системы (1) По формулам (7) По формулам (9)

х (г) -у (г) х (г) -у (г) х (г) -у (г)

0,02 2,17 0,79 2,17 0,79 2,17 0,79

0,05 4,67 1,69 4,67 1,69 4,68 1,69

0,10 7,68 2,76 7,67 2,76 7,69 2,76

0,15 9,82 3,50 9,81 3,49 9,86 3,51

0,20 11,44 4,03 11,43 4,03 11,53 4,06

0,25 12,70 4,43 12,68 4,42 12,87 4,47

х, м

с

г

Таблица 3. Значения х, и уг (числитель — результаты, полученные численным интегрированием уравнений (1), знаменатель — с помощью формул (8) и таблиц специальных функций [8])

-30°

0°

30°

х,, м

14,67 14,57

16,83 16,83

14,48 14,57

у,,м -7,99 -7,84 0,58 0,58 8 8 93 99

Таблица 4. Значения шахЪ и у (г*), м

У0, м/с Численное интегрирование системы (1) и формула (10) По формулам (7) и (10) По формулам (8) и (10)

шахЛ У (г*) шахХ У (г*) шахЛ У (г*)

60 8,64 0,22 8,64 0,22 8,75 0,24

80 10,31 0,21 10,31 0,21 10,45 0,23

100 11,71 0,20 11,72 0,20 11,88 0,22

120 12,94 0,19 12,94 0,19 13,13 0,22

140 14,02 0,19 14,02 0,19 14,22 0,21

160 14,98 0,19 14,99 0,19 15,21 0,21

собами: численным интегрированием уравнений (1), с помощью решения уравнений (7) и по формулам (9).

Результаты расчета слабо зависят от способов вычислений, из которых наиболее прост вариант расчета по формулам (9).

Заметим, что при небольших углах истечения капли к горизонту (|90| < 30°) решения уравнений (7) обеспечивают хорошую точность вычислений х (г) и у (г) не только при г < г0(2у)-1, а и на всем интервале движения капли. Это подтверждают результаты расчета координат концевых точек хг и уг траекторий, представленных на рис. 2. Они сведены в табл. 3.

Для обеспечения рационального использования ОВ при тушении пожара важно знать предельно допустимую дальность полета частиц шах£. Ее вычисление с приемлемой для практики точностью можно проводить по формулам (9) и (10). В этом

убеждают численные результаты, представленные

*

в табл. 4, где указаны шах£ и у (г), найденные тремя способами при 00 = 0, различных у0 и прежних остальных параметрах. Исследование показало, что предельно допустимая дальность полета ОВ в условиях испарения нелинейным образом зависит от начальной скорости истечения капель.

Проведенные исследования приводят к следующим выводам:

1. Получены простые формулы для расчета траекторий движения капель тонкораспыленных испаряющихся ОВ.

2. При надлежащем задании параметров модели (для конкретных типов импульсных установок пожаротушения) выведенные формулы удобно использовать в расчете предельной дальности подачи ОВ.

0

ЛИТЕРАТУРА

1. Цариченко С. Г. Состояние вопроса использования тонкораспыленной воды при тушении пожаров // Алгоритмы безопасности. — 2003. — № 2. — С. 14-16.

2. Дауэнгауэр С. А. Пожаротушение тонкораспыленной водой: механизмы, особенности, перспективы // Пожаровзрывобезопасность. — 2004. — Т. 13, № 6. — С. 78-81.

3. Севриков В. В. Карпенко В. А., Севриков И. В. Автоматические быстродействующие системы пожарной защиты. — Севастополь: Изд-во "СевГТУ", 1996. — 260 с.

4. Абрамов Ю. А., Росоха В. Е., Шаповалова Е. А. Моделирование процессов в пожарных стволах. — Харьков: Фолио, 2001. — 195 с.

5. Ольшанский В. П., Халыпа В. М., Дубовик О. А. Приближенные методы расчета гидравлических пожарных струй. — Харьков: Митець, 2004. — 116 с.

6. Ольшанский В. П., Дубовик О. А. Вопросы внешней баллистики огнетушащих веществ. — Харьков: Митець, 2005. — 236 с.

7. Градштейн И. М., Рыжик И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физ-матгиз, 1962. — 1100 с.

8. Абрамовиц А., Стиган И. Справочник по специальным функциям (с формулами, графиками и математическими таблицами). — М.: Наука, 1979. — 832 с.

9. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1977. — 344 с.

Поступила в редакцию 11.05.05.