К расчету неравновесной концентрации электронов на поверхности затупленных тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IV 197 3

№ 2

УДК 533.6.011.55.011.6

К РАСЧЕТУ НЕРАВНОВЕСНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ

О. Ю. Полянский

Рассматривается задача определения концентрации электронов на поверхности затупленных тел, обтекаемых невязким потоком неравновесного газа, в частности, воздуха. Найдены параметры подобия и получены асимптотические выражения для определения концентрации электронов вблизи критической точки и на больших расстояниях от носка. Дана методика оценки концентрации электронов на поверхности тела при малых и больших значениях основного параметра подобия. Приведены примеры расчета.

1. Исследование полей концентрации электронов около затупленных тел, обтекаемых гиперзвуковым неравновесным потоком газа, в последние годы приобрело большое практическое значение (см., например, [1]). Решение этой задачи в точной постановке сопряжено с большими вычислительными трудностями, поскольку приходится совместно решать сложную систему дифференциальных уравнений газовой динамики и кинетики. Даже в тех практически интересных случаях, когда ионизация энергетически несущественна и ее влиянием на динамику газа можно пренебречь, задача все еще остается достаточно сложной и решается обычно в приближенной постановке методом трубок тока при заданном распределении давления р(х), которое обычно берется из решений для равновесного или замороженного течений или из различных приближенных зависимостей. Можно привести достаточное количество аргументов в пользу такого подхода, позволяющего получить приемлемые с инженерной точки зрения результаты. Однако даже в такой приближенной постановке до сих пор эта задача решалась только численно, без попыток параметрического анализа и классификации режимов течения на основе параметров подобия. В настоящей статье предпринята попытка такого анализа, основанная на параметрах подобия и приближенных аналитических решених.

2. Рассмотрим задачу обтекания затупленного тела неравновесным сверхзвуковым потоком газа. Влияние вязкости и диффузии не учитывается. Будем считать, что распределение газо-

динамических параметров — давления р, плотности р, температуры Т и скорости и — известно из расчетов неравновесного или равновесного обтекания. Термодинамически равновесное состояние в критической точке также будем считать известным. (Состояния в критической точке при равновесном и неравновесном состояниях ударного слоя будут очень близкими. Так, при гиперзвуковых скоростях в воздухе различие в равновесной температуре в критической точке при равновесном и неравновесном обтекании составляет доли процента, а различие в давлении — проценты, см. например,

[2], [3].)

Будем считать, что концентрация одного однократно положительно заряженного компонента значительно больше концентрации остальных положительно заряженных компонентов и что среди всех реакций ионизации одна является определяющей. В дальнейшем будем иметь в виду расчет концентрации электронов в воздухе для диапазона скоростей и высот, когда основной реакцией с участием электронов будет реакция*

N + О ^N0+ 4- е К

(например, для скоростей полета до 5 км/сек и высот до 50 км). В этом случае уравнение кинетики ионизации в переменных ^ (г — обозначение компонента) записывается в виде

±х ~ К~(ыо + т)- (1)

Здесь 7 — мольно-массовая концентрация электронов (моль электронного компонента в единице массы смеси, моль/г)-, связь ч с пе — числом электронов в единице объема (см~3)— дается формулой ие=Л^р, где Л/—число Авогадро; к; и кг — константы скоростей прямой и обратной реакций [см3/моль -сек\,

х — координата вдоль поверхности тела с началом в критической точке.

Если предположить, что 7Ко+~Ч и что нейтральные компоненты находятся в равновесии, то уравнение (1) можно записать в виде

<2>

где индекс „р“ означает равновесную концентрацию компонента**.

* Аналогично можно рассмотреть ионизацию и в других газах, например, в азоте при условиях, когда основной будет реакция N + N^±N2" + е.

** Равновесие нейтральных компонентов в реальных условиях осуществляется далеко не всегда. Однако отклонение концентрации электронов от равновесия начинается, как правило, раньше, чем происходит то же с нейтральными компонентами. Поэтому для анализа начальной фазы отклонения 7 от можно воспользоваться условием равновесия нейтральных компонентов. С’другой стороны, при большом отличии концентраций электронов и нейтральных компонентов от их равновесных значений в выражении (1) для скорости изменения -у можно вообще пренебречь членом Лучотк>малым п0 сравнению с кг 7, поэтому допущение о равновесии нейтральных компонентов не должно сильно сказаться на решении.

При получении этого уравнения использовано соотношение

= АТП__ 7р

К (То)р (ты)Р

где К(Т)—-константа равновесия.

Уравнение типа (2) можно получить и в более общем случае, когда преобладающий положительно заряженный компонент

вступает с электронами в несколько реакций,' в результате которых образуются различные нейтральные компоненты (см. [4]).

Приведем уравнение (2) к безразмерному виду. Обозначим

-т - 7р — х ~Р — и ~т кг

,, _ _ — , х = — , р =3 , и = — кг— . — . /3)

1 Уо ,р То г г Ро их ’ г 6,0 ^

Индексом „0“ отмечены параметры в критической точке, г — радиус кривизны тела в критической точке, ии — скорость невозмущенного потока.

Представим и в виде

“= (^) ■*£(■*)■

При гиперзвуковых скоростях функция g(x) в достаточно большой окрестности критической точки близка к единице. Например, на поверхности сферы при х = тс/4 величина g(x) отличается от единицы всего лишь на 3—5%.

С учетом (3) и (4) уравнение (2) принимает вид

Й—<5>

где

№) и а и

\йх /о \ й х /о

Ро кг0 g{x) ’

Н—высота полета.

Начальным условием при интегрировании уравнения (5) будет

у = 1 при л; = 0 (6)

(при этом^р=1 и ф = 1).

Учтем характер изменения ур вблизи критической точки, а именно, то, что при х<^ 1

Хр =\—Ьх2, (7)

где Ь = Ь{иоэ,Н) (для воздуха Ь будет порядка единицы).

Для области вблизи критической точки, где тр не сильно отличается от единицы, применяя обычную процедуру линеаризации относительно замороженного или равновесного значений 7 (1 и

7Р соответственно), уравнение (5) можно заменить эквивалентным ему линейным уравнением. Так, при линеаризации относительно 7р из (5) получим

2 Гф (х) Тр А? ^ ^ ^Тр ^

й х х й х

где Ду = 7 — 7р. _ _

В окрестности критической точки ф — 1 + О (л:?), 7Р = 1 + 0 (л2),

— о и ~

поэтому, приближенно полагая Ф = 1, 7В=1, —— = — ^ох, изурав-

у йх

нения (8) для области, близкой к критической точке, получим

1д1 + 2л^ = 26х.

Л х х

Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (6), имеет вид

Ьх2

Ач = т+т

и

т = Тр -Ь Дт = 1 + ^ТТГ^2 (0<>-<оо). (9)

Очевидна простая геометрическая интерпретация полученного результата, если сравнить выражения (9) и (7) для 7 и 7р. (Точно к такому же выражению для 7 мы пришли бы, если бы проводили линеаризацию не относительно 7Р, а относительно единицы— замороженного предела 7).

Полученное решение (9) позволяет не только исследовать окрестность критической точки и „выйти" из особой точки л; = 0 при численных расчетах, но и прогнозировать характер дальнейшего развития течения и на основе величины параметра X провести классификацию неравновесных течений. Если Х<^;1, то концентрация электронов вблизи критической точки близка к замороженной, если А. ^>1—близка к равновесной.

3. Покажем, что при А<СТ концентрация электронов во всей головной области тела (на расстояниях х от критической точки порядка единицы) близка к замороженной, т. е. 7^1 (при этом 7Р, вообще говоря, может уже на несколько порядков отличаться от единицы).

Если в уравнении (5) пренебречь членом 7р, малым по сравнению с 72, то получим уравнение

*1 = ?. ’И*) ~2

— — I >

Л х х

решением которого, удовлетворяющим условию 7 = 71 при х = хи будет функция •

Т1

(Х>х:). (10)

И») .

•=— йх

х\

Нетрудно показать, что это решение, 7ас, будет меньше 7 — решения уравнения (5), принимающего при х — хх значение 71. Учтем, что для воздуха ф<1. Тогда, полагая ф=1 и тем самым мажорируя знаменатель в выражении (10), получаем систему неравенств

1 > Т > Тае > ----(П)

1 4- Х1п

*1

Неравенство (11) верно при любом х, >0. [При практическом использовании условия (11) для оценки величины 7 целесообразно х1

I (^ Л- 1 1п А.

Х1 .

симума или было близко к нему].

Из условия (11) с учетом (9) очевидно, что при Х<С 1 и л: порядка единицы величина 7 близка к единице, т. е. электроны

практически заморожены, при этом га. = -—.

пе о Ро

При Х<С^1 нетрудно получить более точные простые формулы для оценки 7 на поверхности затупленных тел. Представим 7 в виде

"Т(х)=1 +й(1)(^) + ^7<2> £) + ... (12)

Подставив (12) в (5) и приравнивая члены, стоящие перед л, А2 и т. д. в левой и правой частях полученного уравнения, найдем

выбирать так, чтобы выражение \\ + Мп—) достигало мак-

т(1)=-

о

X г X

Т<2) = 2 [[<!>, (1 —ъ)йх

и т. д. Здесь

- - - -

_ ’И-*) _ Р (*) кг (х) \dxjp

1 х Ро кг0 и (х)

4. При а^>1, как уже отмечалось, вблизи критической точки концентрация электронов близка к равновесной [см. формулу (9)]. Однако утверждать, что при этом во всей головной области тела (т. е. при а: — 1) 7 близка и 7Р еще нельзя. При умеренно больших значениях X (например, при X = 10 —100) отклонение 7 от 7р в области х~1 для воздуха может быть очень большим. И, как показывают расчеты, лишь при очень больших значениях параметра X, порядка 104 и выше, на всей головной части тела кон-

центрация электронов близка к равновесной.

Построим решение уравнения (5) для случая Х^>1. Будем искать 7 в виде

- 7(1) 7(П)

1 = ТР + -у + + ■ • • (13)

Подставив (13) в (5) и приравняв члены с одинаковыми степенями X, получим

-(I)____________dx

^ 2 7Р 4*1 (х) ’

^п> — __ (Т(1)_)2 _ ^ 1

2 Тр dx 2ф, 7Р

И Т. д.

Ограничиваясь первыми двумя членами ряда (13), получим

di

dx

р

■ (14)

2Х 7р ^ '

Отсюда видно, что концентрация электронов близка к равновесной до тех пор, пока

^ 7Р й* <1.

2

2 .

1

В области, где т2^Э>Тр> оценить величину 7 можно по асимптотической формуле (10):

?(*) =----------1^=--------• (Юа)

1 + X 1 (*1) j Ф1 dx

_ На выбор точки хх накладывается единственное ограничение Т (-^1)Тр(-^1)* Для оценки 7 (х,) можно воспользоваться формулой

(14) при

2 Х-г„2 фц

1.

р Ь'

5. Для тонких затупленных конусов в области достаточно больших х, где газодинамические функции близки к своим асимптотическим значениям при х -»сю, но где при этом еще выполняется условие 7р<С^Т2 (при не слишком больших значениях параметра X такие области существуют), на основе анализа формул (10), (10а) можно предложить универсальную (верную при различных значениях X) приближенную формулу для оценки уровня электронной концентрации

Т (*) = т

+ ХФ1 оо х ' где

d и

. _ р (со) kr(oo) \ dx /о

00 Ро кг 0 и (qo)

3—Ученые записки ЦАГИ № 2 33

Фиг. 2

6. В заключение приведем данные, позволяющие оценить уровни электронной концентрации на сфере в атмосфере Земли. На фиг. 1 приведены значения Х(Иоо, Н) при /*=1 м, на фиг. 2 — графики равновесной концентрации электронов в критической точке пей (при построении этих графиков использованы данные [5]). На фиг. 3 представлены результаты численного расчета 7 на сфере по формуле (5). Функции 7р(х) и 'Их) брались типичными для случая

Фиг. 3

«со = 4 км/сек и Н = 0. Выражение А, бралось в виде кг = АТ~\ сл$

А = 2- 101Э моль;^, Г —в градусах Кельвина [5]. Результаты расчета подтверждают сделанные ранее оценки и выводы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Агафонов В. П., В е р т у ш к и н В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М., „Машиностроение”, 1972.

2. V i п о с u г М. On stagnation — point conditions in nonequilibrium inviscid blunt-body flows. J. Fluid Mech., vol. 43, part 1, 1970.

3. Полянский О. Ю. Влияние неравновесных процессов на газодинамические параметры в гиперзвуковых установках и в критической точке затупленного тела. .Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 5, 1971.

4. Eschenroeder A. Q. Ionization nonequilibrium in expanding flows. ARS J„ No 2, 1962.

5. Мартин Дж. Вход в атмосферу. М., „Мир", 1969.

Рукопись поступила 30jVI 1972 г.