К расчету на устойчивость физически нелинейных пластин в упругой среде Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 539.3:534.1

С. П. Иванов, Е. С. Иванова, О. Г. Иванов, Ю. В. Лоскутов, С. В. Шлычков

К РАСЧЕТУ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ПЛАСТИН В УПРУГОЙ СРЕДЕ

В статье предлагается методика расчета плит, выполняемых из нелинейно-упругих материалов, на устойчивость при наличии упругой среды. Выводятся дифференциальные уравнения устойчивости. Упругая среда учитывается в виде однослойного основания. Для конечной реализации поставленной задачи используется численный метод. В качестве примера рассмотрена устойчивость квадратной плиты.

Введение

В условиях упругой среды эксплуатируются дорожные плиты, различные шпунтовые ограждения. Как плиты, находящиеся в упругой среде, можно считать и ребристые плиты, т.к. влияние ребер на напряженно-деформированное состояние плиты можно учитывать в виде упругого основания по винклеровской модели. В настоящее время находят широкое применение пластинки и оболочки в различных областях - строительство, машиностроение, авиастроение, кораблестроение, приборостроение и т.д. Если подходить строго к диаграмме деформирования материалов, то практически все они обладают физической нелинейностью в той или иной степени. А такие материалы, как бетон, различные сплавы, пластмассы, композиты имеют достаточно сильную физическую нелинейность. В данной работе рассматривается упругая среда как однослойное основание. Нами отдано предпочтение этой модели из следующих соображений. Известно, что винклеровская модель применима в основном для несвязанных сред. В связанных средах можно использовать эту модель только при малых толщинах деформируемого слоя. В. З. Власов считает [1], что модель однослойного основания способна более равномерно «распределять» нагрузку.

1. Дифференциальные уравнения устойчивости

В связи с трудностями, возникающими при решении нелинейных задач, вводятся различные гипотезы и допущения. В основе данной теории расчета лежит гипотеза о нелинейно-упругом теле с одинаковой диаграммой работы материала на растяжение и сжатие [2]. Принимаем, что направляющие тензоров напряжений и деформаций совпадают.

Для таких материалов, как бетон, различные сплавы, композиты, зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций в{, как показывают экспериментальные данные, можно принять в виде кубического полинома

о I=Ее1- Е1 е3, (1)

где Е - начальный модуль упругости; Е1 - постоянная, учитывающая степень физической нелинейности материала (принимаются из опытных данных).

Уравнением (1) хорошо описываются кривые деформирования бетона, композитов, сплавов, некоторых видов сталей. Так, в зависимости от марки бетона и возраста [3, 4] указанные величины можно принять в следующих пределах: Е = 2 • 104-4,5 • 105 МПа, Е1 = 1,5 • 1010-6,5 • 1010 МПа. Для композита мар-

4 4

ки ЭДФ -5-6 [5] в зависимости от укладки основы - Е = 1,9 • 10 -2,7 • 10 МПа,

7 7 5

Е1 = 1,4 • 10 -2,6 • 10' МПа, а стали марки 20Н5А [6] - Е = 2 • 105 МПа,

Е1 = 2 • 1010 МПа.

Учитываем гипотезы Кирхгоффа-Лява и гипотезы теории расчета пластин В. З. Власова [1]. Запишем известные соотношения между деформациями и перемещениями:

£х = — гХх; £ х = — гХх ; £х* =-2гХх* , (2)

где

д 2 к д 2 к д 2 к

ах2’ д*2’ дхдх'

Перемещения точки к в нормальном г направлении (рис. 1) представим в виде разложений по В. З. Власову [1]:

к( х, *) = (х) /к (*), (к = 1,2,3,..., п). (3)

к

Рис. 1 Общая расчетная схема плиты на упругом основании с действующими нагрузками

Обобщенные перемещения ^к (х) являются искомыми функциями, зависящими от переменной х в продольном направлении, а координатные функции /к (*) выбираются по виду деформированного состояния пластины в поперечном направлении в зависимости от действующей нагрузки.

Выражения интенсивности деформаций ег- и объемной деформации 0 с учетом гипотез Кирхгофа-Лява и сжимаемости материала (аг = 0, £хг = 0, £хг = 0) можно записать следующим образом:

^/2 1 2 2 2 з 2

2(1 + У)^(ех -Є* ) + (Є* -Єг ) + (Єг -Єх) + 2 Єх* ;

1 - 2у

0 = ---------(ех + е,),

1 -V

а деформации

= —

1 -V

(Є х +Є.).

(4)

(5)

(6)

Учитывая соотношение (6), получим формулу для квадрата интенсивности деформаций:

где V1 = з

(1 + v)Х

-+1

(1 + V)2

; V2 з

V1(є2 + є2) + V2Є хє х + 4 є 2

(7)

2v

(1 -V)2

-1

; V - коэффициент Пуассона.

Принимая, что

Ь0 v1(x.ï + Хх ) + V2ХXХх + ХХХ ’

получим

(8)

еТ =------------- г Ь0.

^ 1 (1 + v)2

Запишем выражение удельной энергии [2]

(9)

'I

|(1 + V) ■аійеі ,

(10)

где К = Е/[3(1 - 2v)] - модуль объемного сжатия.

Подставляя в (10) соотношения (1)-(9), получим

Ф =

Е(1 2 ^ [-г (Хх + Хх )]2 + т+-( г %)------------------------------ЕЦ г 2Ьо)2. (11)

2 1 + V ™ ' ••^з

2и \2

6(1 -V)

2(1 + V)

Работа, отнесенная к единице площади поверхности плиты, равна

8/2

А = | Фёг. (12)

-8/2

Раскрывая (12), получим

. Е (1 - 2 V) 8З Е8З , 1,2

А =---------------2"^ + пп + ^ Ь0 ~~л ДЬ()’

72(1 -V)2 12(1 + V) 4

1 ~ ~ , ,.ЛЗ. , Л2.

(1З)

где Д =—Е]8 ; Е^ = Е± /(1 + V) ; ^ = (хх + Х*) ; 8 - постоянная толщина плиты.

еі =

V

еі =

Записываем полную энергию системы (рис. 1):

а Ь

п =

Л

00

А+<£Ук/к +1 Мх X № /к )2

й*йх.

(14)

Определим минимум функционала (14), используя уравнения Эйлера-Лагранжа [7]:

а2 дF й дF

+

дF

йх2 дЖк" йх дИ£ д№к

= 0,

(15)

где F - подынтегральная функция (14), штрихи означают обычные производные от функций по переменной х.

Полагаем, что прогибы пластины совпадают с осадкой упругой среды.

Развернув уравнения (15) и присоединив работу реактивных давлений 2осн

упругой среды [1] в нормальном направлении г

2осн = 2£ р^ - X 4>к , (16)

к к

получим дифференциальные уравнения продольно-поперечного изгиба физически нелинейной пластины в упругой среде:

п Г ( N Л

X а1к№™ + -^ак- 2Ь1к- Р0к + (к + 4 )

- 2г = Фк, нел , (17)

(г = 1, 2, 3, ..., п).

Выражение Мх соответствует полной величине сжимающей нагрузки, Ь -ширина пластины.

Коэффициенты уравнения имеют вид

Ь Ь Ь

агк = |/к/гй*; сгк = {/кЛйУ; Ьгк = {/к/й- ^[/к/г/+ /к/г]0;

0 0 0

Р0к =

Е0 Я

[,/к/. )]0;

*0 = *гк ='

|к/й + Я (16 Vo) |!

н(1 ^0)Й {0

Н^16(1 -V,)) Ь Е83

+ ^----^-[( /к/)]0; й = -

(18)

6й

12(1 -V2)

Упругая среда учитывается через Н - толщину деформируемого слоя; Е0, vo - соответственно модуль деформации и коэффициент Пуассона. Постоянные Е, V - соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала плиты; 8, Ь - соответственно толщина и ширина плиты. Если в урав-

0

нении (17) принять поперечную нагрузку равной нулю (@{ = 0), то получим уравнение устойчивости плиты. В формулах (18) выражения только в квадратных скобках означают разность значений произведений координатных функций и их производных на краях плиты; выражения в двойных скобках означают сумму значений произведений координатных функций по краям плиты, а в случае закрепления краев плиты в направлении оси х вышеуказанные выражения обращаются в нуль.

Правая часть уравнения (17) учитывает физическую нелинейность материала плиты и имеет следующий вид:

В (19) индексы после запятой указывают на дифференцирование по данным переменным, а функции, находящиеся под интегралами, записываются следующим образом:

Рассмотрим наиболее часто используемые граничные условия для пластин:

1. В направлении оси 5 края защемлены, тогда прогибы и углы поворота на краях (х = 0, х = а) равны нулю:

2. В случае шарнирного опирания краев прогибы и изгибающие моменты Мх будут равны нулю:

Первое условие в (22) выражает отсутствие прогибов; второе - равенство нулю работы изгибающего момента в шарнирном закреплении.

3. При свободных краях для записи граничных условий воспользуемся «естественными» условиями:

где F - подынтегральная функция (14).

Первое условие будет аналогично второму условию (22). Раскрывая уравнение (23), второе условие получим в виде

/"#1, хх/ґй5 + /#2 /ґ, 55й5 |#3, х/їй5.

(19)

5

5

5

N1 = Ді^іх х + о^ 2Х 5); N2 = Ді^іх 5 + о^ 2х х);

#3 = Д1^хХ5 ,

(20)

где Ді = 9 £2§2/10, Ег = (Еі/ Е )[(1- v)(1 + v)2].

2. Постановка граничных условий

Щ (х) = 0; Wk(х) = 0.

(21)

х

дF = дF й дF

___* °; Т“"Т " Т“"“

(23)

о

2у V

(Ь1к -----------а Ик

1 + V

1 -V

(24)

-У1X а«кЧкГ(х) + |м1,хЛ *[ = О,

к 5 \

где О - модуль сдвига материала пластины.

4. Анализ результатов расчета

В качестве примера рассмотрен продольно-поперечный изгиб квадратной плиты со сторонами а и толщиной 8 = а/20 с шарнирно опертыми краями при действии на нее продольно-поперечной равномерно распределенной нагрузки (рис. 2).

Рис. 2 Расчетная схема плиты на упругом основании (вид в направлении оси 5)

В расчетах приняты следующие характеристики: величина отношения толщины Н упругой среды к размеру а плиты - Н/а = 2,5; отношение модуля

деформации Ео упругой среды к модулю упругости Е материала плиты -

-3 5

Ео/Е = 10 ; отношение Е^Е = 10 учитывает физическую нелинейность материала плиты (можно принять бетон); коэффициенты Пуассона материала плиты V = 0,2, упругой среды vo = 0,3.

Для решения данной задачи достаточно первого приближения (3):

М<х, 5) = Чх(х)Л (5). (25)

Известно из [1], что уже первое приближение дает точный результат для прогибов, а погрешность при определении изгибающих моментов составляет около 2%.

Для рассматриваемой задачи уравнение (17) с учетом (25) принимает следующий вид:

апЩ™ +

— а11 - 2Ь11 - р01 |Чх + (с11 + 5°1)Ч1 - 21 = Ф1, нел, (26)

где Р - полная величина сжимающей нагрузки при Их = Р.

Выберем функцию /1(5) как линию прогибов балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой. В безразмерном виде функцию запишем следующим образом:

/

/1( 5) =-а

2 3 ^

1 - 2 4+4'

2 3

ч а а у

к

ч

Нелинейную задачу решаем численным методом при помощи ПЭВМ. Интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений проводим методом Рунге-Кутта. Для поиска недостающих граничных условий краевой задачи используем итерационный метод типа Ньютона.

Для решения задачи устойчивости в качестве ведущего параметра принята продольная нагрузка Р. На каждом приращении нагрузки АР решается краевая задача. Момент расхождения итерационного процесса принимаем за критическое состояние системы. Таким образом можно с требуемой точностью определить величину критической нагрузки.

(W / S)106

Рис. 3 Зависимости прогиба срединной поверхности пластины от продольной нагрузки: 2, 4 - по линейной теории соответственно без учета и с учетом упругой среды; 1, 3 - по нелинейной теории без учета и с учетом упругой среды

На рисунке 3 представлены графики зависимости прогиба срединной

поверхности пластины от продольной нагрузки Q. При отсутствии упругой

среды и решении задачи в нелинейной постановке величина критической на-2 -3

грузки Q = P/GS = 2,71 ■ 10 (см. кривую 1), а при учете упругой среды в

-3

линейной постановке Q = 3,07 ■ 10 (см. кривую 4). Кривая 2 представлена

-3

при расчете по линейной теории без упругой среды Q = 2,85 ■ 10 . При наличии физической нелинейности и упругой среды величина критической на-

-3

грузки уменьшается Q = 2,95 ■ 10 (см. кривую 3). Кривые 2 и 4 получены

из расчета в тригонометрических рядах по линейной теории соответственно без и с учетом упругой среды. Разница результатов, полученных численным методом и в рядах, составляет не более 2%.

Заключение

По результатам вычислений можно сделать следующие выводы:

1. Напряженно-деформированное состояние плиты значительно зависит от соотношения модуля деформации Ео упругой среды к модулю упругости Е материала пластины и высоты Н сжимаемого слоя упругой среды.

2. При учете физической нелинейности и упругой среды критическая нагрузка оказывается близкой к критической нагрузке, полученной по линейной теории без учета упругой среды.

3. Разработанная методика и алгоритм позволяют рассчитывать на продольно-поперечный изгиб, устойчивость пластины, взаимодействующие с упругой средой и при наличии нелинейной диаграммы деформирования материала плиты.

Список литературы

1. Власов, В. З. Тонкостенные пространственные системы / В. З. Власов. - М. : Госстройиздат, 1958. - 502 с.

2. Лукаш, П. А. Основы нелинейной строительной механики / П. А. Лукаш. - М. : Стройиздат, 1978. - 204 с.

3. Карпенко, Н. И. Общие модели механики железобетона / Н. И. Карпенко. -М. : Стройиздат, 1996. - 416 с.

4. Залигер, Р. Железобетон, его расчет и проектирование / Р. Залигер. - 4-е изд. -М. ; Л., 1929. - 281 с.

5. Тарнопольский, Ю. М. О механизме передачи усилий при деформации ориентированных стеклопластиков / Ю. М. Тарнопольский, Т. Я. Кинцыа // Механика полимеров. - 1965. - № 1. - С. 28-36.

6. Писаренко, Г. С. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов : справочник / Г. С. Писаренко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев. - Киев : Наук. думка, 1971. - 325 с.

7. Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. А. Смирнов. - М. ; Л. : ГИТЛ, 1957. - 627 с.