CC BY
29
The sufficient conditions for the set Ш to be strongly positively invariant under inclusion can be expressed in terms of so-called Lyapunov functions. Let r > 0 and let fflr = {(£, x) 6 IK x : x 6 Mr(t)} denote a closed r-neighbor hood of the set 9Я. We say that continuous function V : WT -> R is a Lyapunov function with respect to the set Ш if V(t, я) = 0 for (t, ж) £ дШ and V(i, x) > 0 for (t, x) 6 9JT\9Jt. If the Lyapunov function V in addition is locally lipschitz, we can consider the generalized Clarke derivative (see, e.g. [1]) of V at the point (£, ж) in the direction (1, ft) e E x Rn which is defined as follows:
V»(t,*;/.) = limsup nti + 6,y + 6h)-V(0,y)
<5 v0 -
The relation Vp(i, x) = max V"(t, x; h) we will call the derivative of function V with respect to inclusion
h£F(t, x)
(!)■
T h e о r e m 1. Let us have a Lyapunov function (t,x) -» V(t,x)i (£, ж) £ Я7Г, which is locally lipschitz. If for some £ £ (0,r] the inequality V§-{t,x) ^ 0 holds for any {t,x) £ Ш1е\ЗЯ, then the set OR is strongly positively invariant.
We suppose now an ordinary differential inclusion
x £ F(t,ж), F(t + T,x) = F(t,ж) (3)
under the following assumptions:
(PI) F : M x —у comp(Rn) satisfies Caratheodory conditions;
(P2) there exists continuous, T-periodic map M : M —>■ comp(Rn) such that M(0) is convex and the
corresponding set Ш (see (2)) is strongly positively invariant under inclusion (3);
(P3) there exists an integrable function к : M —у M+ such that for a.e. t 6 E and each ж, у € M(t)
dist(F(£} x),F(t, y)) ^ &(£)|ж — y\.
Theorem 2. Let the maps F and M satisfy the conditions (PI) — (-P3). Then there exists a periodic solution t —> x(t) for the problem (3) such that x(t) 6 M(t) for all t.
REFERENCES
1. Clarke F.H. Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley Interscience, New York, 1983.
2. Benedetti IPanasenko E. Positive Invariance and Differential Inclusions with Periodic Right-Hand Side // Nonlinear Dynamics and Systems Theory, (to appear)
ACKNOWLEDGMENTS: The author is partially supported by RFBR Grant 04-01-00324.
Поступила в редакцию 8 ноября 2006 г.
К ПРОБЛЕМЕ ОБУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
© С.Н. Петрунина
В методической литературе для учителей математики, учебниках методики преподавания математики для педвузов выделяют следующие способы рассуждений при доказательстве (или поиске
доказательства) теорем: синтез, восходящий анализ, нисходящий анализ. Традиционно отмечают основной недостаток синтетического метода, состоящий в том, что учащиеся остаются пассивными, "слепо" следующими за рассуждениями учителя. В этом же плане выделяют преимущество аналитических приемов рассуждений.
Но, как известно, обучение аналитическим приемам рассуждений должно опираться на определенный опыт проведения синтетических рассуждений. В этой связи начинать обучать строить доказательства на основе проведения аналитических рассуждений нельзя. Это подтверждает и практика обучения в школе. Опыт показывает, что большинство учащихся 7-8 классов не воспринимают рассуждения, проводимые по схеме восходящего анализа. Еще сложнее обстоит дело при использовании нисходящего анализа.
Таким образом, налицо противоречие - аналитические приемы применять еще рано, а использование синтеза при доказательстве теорем и решении задач, да еще в первый год изучения систематического курса геометрии, мало способствует формированию умения доказывать самостоятельно.
Действительно, буквальное следование учителя текстам доказательств, которые мы видим в учебниках геометрии, ничего хорошего не даст. И здесь проблема не только в том, что дети слабо понимают логику проводимых рассуждений (почему начали с этого, а не с другого, как связаны части доказательства друг с другом и т.д.), но и в том, что даже понимая доказательство, ученик не видит, как надо действовать, чтобы самому доказать тот или иной факт. То есть не решается самая главная задача обучения геометрии - научить ученика доказывать самостоятельно, раскрыв перед ним, так сказать, внутреннюю "кухню" проведения доказательств.
Рассмотрим для примера одну из первых теорем курса геометрии 7-го класса и возможный вариант организации работы учащихся по ее доказательству.
Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (Атапасян Л. С. и др. Геометрия 7-9).
Приведем вначале доказательство из учебника: "Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что ZВ = Z.C. Пусть AD - биссектриса треугольника ABC. Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников ( АВ = АС по условию, AD
- общая сторона, /BAD = Z.CAD, так как AD - биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что /.В = /С. Теорема доказана".
Обратим внимание на несколько моментов. Доказательство начинается с дополнительного построения, необходимость которого (как и любого другого дополнительного построения) для учащихся весьма не очевидна. Далее, почему надо проводить биссектрису, а не медиану или высоту, которые изучались чуть раньше вместе? (Ключевой момент, который дети и не понимают). Указывается, что АВ = АС по условию, но ничего подобного в условии нет! В условии сказано четко: дан равнобедренный треугольник. И последнее. При обосновании того, что /BAD = /.CAD. ссылка идет на тот факт, что AD - биссектриса. И что из этого?! Без явного упоминания определения биссектрисы треугольника утверждение о равенстве углов нельзя считать обоснованным. Каждый учитель может привести бесчисленные примеры подобных утверждений в рассуждениях учащихся, которые, по сути дела, как мы видим, поощряются учебником.
Предложим следующий вариант изучения данной теоремы, устраняющий данные недостатки. Ключевым моментом в вопросах учителя является фраза "Что следует из такого-то факта?", побуждающая учащихся проводить синтетические рассуждения.
Учитель. Сформулируйте теорему в виде "Если ..., то ..." и выделите условие и заключение теоремы.
Ученик. Если треугольник является равнобедренным, то его углы при основании равны. Условие
- треугольник является равнобедренным, заключение - углы при его основании равны.
Учитель. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что /В = /С. Что следует из того, что треугольник ABC равнобедренный?
Ученик. По определению равнобедренного треугольника, получаем, что АВ = АС.
Учитель. Итак, нам известно, что АВ = ВС. Какие еще факты нам известны?
Ученик. Больше никаких.
Учитель. Таким образом, чтобы иметь возможность выводить следствия и тем самым продолжить рассуждения, надо получить новые фигуры. Отсюда вытекает необходимость дополнительных построений. Посмотрите на заключение, что нам требуется доказать?
Ученик. Требуется доказать равенство углов В и С.
Учит,ель. Равенство отрезков и углов чаще всего доказывают путем включения их как соответствующих элементов в равные треугольники. Какое дополнительное построение можно сделать, чтобы получить два треугольника, в которые входили бы как известные равные элементы (стороны АВ и АС), так и элементы, равенство которых надо доказать (углы В и С)?
Ученик. Соединить вершину А и точку на основании ВС между ними.
Учитель. Правильно. Назовем эту точку В. Но надо отметить, что полученный отрезок АО является произвольным. Не лучше ли провести какой-нибудь "хороший" отрезок?
Ученики. "Хорошими" будут медиана, биссектриса, высота. Далее важно рассмотреть все три варианта, показав, что только биссектриса позволит доказать требуемый факт. Действительно, если АВ - медиана, то мы выйдем на третий признак равенства треугольников, который еще не известен учащимся (заодно показывается необходимость новых знаний!). Если АВ - высота, то имеем две стороны и угол не между ними, а значит, уже изученный первый признак равенства треугольников применить нельзя.
Учитель. Итак, нам необходимо рассмотреть биссектрису АВ, Что тогда следует из данного факта?
Ученик. По определению биссектрисы угла треугольника, получаем, что /АВВ = /АС В.
Учитель. Выделите, что теперь нам известно в треугольниках АВВ и АС В и какие следствия можно из этого получить.
Ученик. АВ = АС, /.АВВ = /АСВ, АВ - общая, следовательно, согласно первому признаку равенства треугольников, данные треугольники равны. А значит, согласно определению равных треугольников, получаем, что /В = /С как соответствующие элементы в этих треугольниках, что и требовалось доказать.
Поступила в редакцию 8 ноября 2006 г.
ТЕХНОЛОГИЯ ИНТЕГРИРОВАННОГО ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА В УСЛОВИЯХ МОДУЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ
(с) С.Н. Петрунина
Сегодня многие школы и гимназии испытывают значительные трудности в создании и преподавании элективных курсов, особенно интегрированных. Внедрение в учебный процесс интегративного подхода обеспечивает совершенно новый психологический климат для ученика и учителя, заставляет учителей искать новые приемы обучения.
Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента и могут выполнять несколько функций: дополнять содержание профильного курса, развивать содержание одного из базовых курсов, удовлетворять разнообразные познавательные интересы школьников, выходящие за рамки выбранного ими профиля. Элективные курсы могут выполнять еще одну важную функцию - быть полигоном для создания и экспериментальной проверки нового поколения учебных материалов. На элективных курсах обучающийся может более самостоятельно или полностью самостоятельно работать с предложенной ему программой, включающей в себя целевой план действий, банк информации, методическое руководство по достижению поставленных дидактических целей, что отражается и в модульном обучении, название которого связано с международным понятием "модуль", одно из значений которого - функциональный узел. В модульном обучении педагог исполняет консультативно-координирующую, а не информационную функцию.
Основное средство модульного обучения - программа, состоящая из отдельных модулей. Каждый модуль состоит из блоков занятий и имеет различный уровень интегрирования.
