CC BY
24
Г.Г. Пестов, А.А. Тоболкин
К-ПЛОСКОСТИ В ^-МЕРНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУППАХ
Теория линейно упорядоченных групп - хорошо разработанная область математики [1]. Определения п-упорядоченного множества были предложены в работах Novoa [2] и Пестова [3]. Эти определения неэквивалентны. Геометрия п-упорядоченных множеств исследована в [4]. Циклически упорядоченные группы изучены в [5-10]. По логике вещей за этим началось изучение п-мерно упорядоченных групп [10-11].
Теорема 1. Пусть А и В - две грани множества М , | А |=| В |. Если В С РА , то РА = Рв .
Доказательство. Эта теорема непосредственно вытекает из следствия 1.7 работы А.И. Терре [7]. Пусть М есть п -упорядоченное множество. Тогда для любых к -граней Xк, Ук некоторой к -плоскости и всякого ип-к-1 ^ м условия С(х ,и^к_,) * о и
, ип_к_х) Ф 0 эквивалентны.
Лемма 2. Пусть А - к -грань множества
< М, £ >, а - произвольный элемент из А ,
В = А \ {а}, тогда Рв с РА.
Доказательство. Выберем произвольный элемент X из плоскости Рв. Тогда для любых элементов С,..., еп_к е М справедливо равенство
С,(В, с,..., еп_к, х) = 0 . Если положить сп_к = а, то получим, что для любых с,...,сп_к_, ё М выполняется С(В,Ссп_к_х,а,х) = 0 или £(А,с,...,сп_к_х,х) = 0 . Последнее утверждение равносильно тому, что х е РА . Итак, если х е Рв , то х е РА, значит, Рв с Р4.
Определение 1. Пусть < М, £ > есть п -упорядоченное множество, А С М . Назовем множество А к -гранью в п -упорядоченном множестве
< М, £ > , если существует В а М , | В |= п - к такое, что С(А, В) ± 0 [5].
Определение 2. Пусть < М, £ > есть п -упорядоченное множество, А - к -грань множества М [5]. Назовем следующее множество к -плоскостью в п -упорядоченном множестве < М, £ > :
Р = {х е М | УС е Ып~к-1 (С(А, С, х) = 0)}. Следствие 3. Пусть А - к -грань множества
< М, ^ > , В С А, В Ф 0, тогда Рв С РА.
Лемма 4. Если кортеж С = (с,...,сп) элементов
группы О принимает всевозможные значения из Оп , то Ух, у е О кортеж хСу = (хеху,..., хспу) также будет
0П
.
Лемма 5. Пусть А -к -грань п -упорядоченной группы < О, £ > , и, V - произвольные элементы из О . Тогда иАу есть к -грань множества < О, £ > .
Доказательство. Пусть А = {,...,ак^^ , тогда иАу = \иаху,...,иаму} . Из определения к -грани следу-
ет, что существуют такие с,...,сп_к, что
^(а,•••, ак+1,С’■■■’сп-к) ^ 0 . Следовательно,
1^(иаху,...,иак^,исху,...,исп1у) Ф 0. Итак, для элементов иа^у,..., иак^ нашлись такие элементы исху,...,исп_ку , что иак^у,иеху,...,иеп ]у) Ф 0 . Это и означает, что
иА\ есть к -грань множества < О, £ > .
Теорема 6. Пусть А - к -грань п -упорядоченной группы < О, £ > , и, V - произвольные элементы из О , тогда иРАУ есть к -плоскость в < О, £ > и справедлива формула ыР4у = РиАг.
Доказательство. Выберем произвольный элемент х из множества иРА V, тогда существует у е РА такой, что х = иуч. Так как у е РА, то УС е 0”~к^ (^(А, С, у) = 0). Следовательно, УС е G''~м
(^(иАу, иСу,иуу) = 0 ), т.е. УС е
(^(иАу,иСу, х) = 0). По лемме 4 X е РиАу , тем самым докано включение иРАу С РиАг. Выберем теперь произвольный элемент X из множества РиАг, тогда УС е Оп - 1 (^(иАу, С, х) = 0). Следовательно,
УС е Оп к 1 (^(А,) = 0), т.е.
и 1XV 1 е , что равносильно х е иРАУ . Таким образом, доказано включение РиАу С иРА V. Два включения иРАУ С РиАг и РуАу С иРАV эквивалентны равенству иРАУ = Р^ .
Теорема 7. Пусть < О, £ > - И -упорядоченная группа, множество А = {{,..., ак^- к -грань < О,^ > . Для того чтобы плоскость РА была подгруппой группы О , необходимо и достаточно, чтобы У/, у е 1, к +1 ( а а е р ).
Необходимость очевидна.
Достаточность. Пусть У/, у е 1, к +1 (аа е Р). Покажем, что РА < О. Рассмотрим произвольный элемент X е РА, тогда
УС е С-1 (С(А, С, х) = 0).
Функция порядка ^ согласована с алгебраической структурой группы О , поэтому
Уг е 1,к +1 УС е Сп к 1 ( Аа,, Са, ха ) = 0 ).
Из леммы 5 получаем, что Ла{ и хА являются ¿-гранями < О, £ > . Из леммы 4 вытекает, что для всех I справедливо ха{ е РАа ; тогда хА С РАа . По теореме 1 получаем, что РхА = РАа . По условию для всех I выполнено Аа,- С РА , следовательно (теорема 1) р = р 1 Ащ 1 А .
Таким образом, РА = РхА. Пусть теперь у произвольный элемент РА, тогда
УС Є Єп к 1 (£(хЛ, С, у) = 0).
Умножая слева все аргументы функции С, на х“1, получим
УС Є Сп к 1 (£(А, х~1С, х~ху) = 0).
Из леммы 4 получаем ух - Є РА .
Таким образом, для любых X и у из РА элемент
ух 1 тоже принадлежит РА . Поэтому РА < О . Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972.
2. NovoaL.G. On n-ordered sets and order completeness // Pacific J. Math. 1965. Vol. 15, № 4. Р. 1337-1345.
3. Пестов Г.Г. n-упорядоченные множества // Труды Иркутского государственного университета. 1983. Т. 74, вып. 6. С. 146-169.
4. Терре А.И. Элементы геометрии n-мерного порядка. Томск, 1982. 35 с.
5. ЗабаринаА.И. О циклически упорядоченных группах: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Томск, 1985.
6. Пестов Г.Г. О классе циклически упорядочиваемых групп // Вестник Томского государственного университета: Бюл. опер. науч. информ.
2004. № 21. Томск: ТГУ, 2004. С. 39-43.
7. Rieger L.S. On the ordered and cyclically ordered groups I-III // Vöstnik Kral. Ceske Spol. Nauk. 1946. № 61-31; 1947. № 1. Р. 1-33; 1948. № 1.
Р. 11-26.
8. Swierczkowski S. On cyclically ordered groups // Fund. Math. 1953. № 47. Р. 161-167.
9. Желева С.Д. О циклически упорядоченных группах // Сибирский математический журнал. 1976. Т. 17 (5). С. 1046-1051.
10. Забарина А.И., Пестов Г.Г. О критерии циклической упорядочиваемости группы // Межвузовский научный сборник. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 1986. Вып. 9. С. 19-24.
11. Забарина А.И., Пестов Г.Г. Об n-мерно упорядоченных группах // Вестник Томского государственного университета. 2003. № 280. С. 40^3.
12. Тоболкин А.А. Теорема о мультипликативной группе кватернионов. Актуальные проблемы математики и методики её преподавания // Материалы заочной Всероссийской научно-практической конференции. Томск: Изд-во Том. гос. пед. ун-та, 2007. С. 21-31.
Статья поступила в редакцию журнала 4 декабря 2006 г., принята к печати 11 декабря 2006 г.
