К аналогии в подходах к описанию движений небесных тел механиком средневекового Востока Ат-Туси и циклоидальных манипуляторов в мехатронике Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.07.52:62-50 ББК 22.2 С. О. Никифоров, Б. Е. Мархадаев, Б. С. Никифоров

г. Улан-Удэ, Россия

К аналогии в подходах к описанию движений небесных тел механиком средневекового Востока Ат-Туси и циклоидальных манипуляторов в мехатронике

В статье рассматривается идентичность подходов к математическому моделированию движений небесных тел в древности и современных безреверсных мехатронных манипуляционных устройств.

Ключевые слова: мехатроника, циклоидальные манипуляторы, роторные, полицик-лоидальные, моделирование, небесное тело.

S. O. Nikiforov, B. Ye. Markhadaev, B. S. Nikiforov

Ulan-Ude, Russia

The Analysis of Approaches Similarity to the Description of Celestial Bodies Movements Made by the Medieval East Mechanic At-Tusi and Cycloidal Manipulators in Mechatronics

The paper deals with identity of two approaches to mathematical modeling. The first is the description of movements of celestial bodies in an antiquity and the second is mathematical modeling of nonreverse mechatronic manipulator devices.

Keywords: mechatronics, cycloidal manipulator, rotory, polycycloidal devices,

mathematical modeling, celestial body.

Механиком средневекового Востока Ат-Туси предложен метод описания поведения небесных тел, где любые их возможные движения описываются в виде комбинаций равномерных круговых движений, в частности, прямолинейное движение по его известной лемме есть результат сложения двух равномерных круговых [9].

Аналогичным образом в механике, производя наслоение звеньев со стационарными вращениями можно решать одну из основных практических проблем механики - аппроксимацию заданной кривой набором других, легче поддающихся вычислению и последующей реализации. Возможность подобной реализации шарнирными модулями произвольных алгебраических кривых доказывается в работе Кемпе [10].

Подобные подходы использованы в реализации циклоидальных манипуляторов (ЦМ) в мехатронике [1-80], основанные на построении механизмов, в которых ведущие звенья, приводимые во вращательное движение роторами нерегулируемых электродвигателей, совершают равномерное вращение с постоянными угловыми скоростями, а выходные звенья передачи задают рабочему органу движения по траектории, удовлетворяющие определенным ограничениям с мгновенными или длительными остановками в заданных точках позиционирования. Такие манипуляторы принято называть роторными. Проще всего этот принцип реализуется в механизмах, в которых производится сложение двух вращений вокруг параллельных осей. Траектории, воспроизводимые рабочими органами, относятся к классу циклоид. ЦМ не являются классическими циклическими механизмами, лишь в самых простых вариантах они представляют собой механизмы с одной степенью подвижности и одним нерегулируемым приводом. Они должны сохранять обязательные и типовые для промышленных роботов свойства переналаживаемости, программируемости и адаптивности, что требует усложнения структур механизмов, использования нескольких приводов и самостоятельных систем автоматического управления.

Подобные манипуляторы имеют двигатели, роторы которых постоянно вращаются в одну и ту же сторону. Поскольку двигатели не реверсируются, быстродействие можно повысить в несколько раз, если это допускается по условиям сохранения жесткости и прочности конструкции.

© Никифоров С. О., Мархадаев Б. Е., Никифоров Б. С., 2011

127

Основная идея использования циклоидальных механизмов в мехатронике заключается в возможности формирования чисто кинематическими средствами траекторий рабочего органа, сходных с типовыми траекториями схватов простейших ПР с цикловым программным управлением (рис. 1, а) работающих в цилиндрической системе координат. Гипоциклоидальный механизм при определенном выборе параметров позволяет реализовывать подобные траектории с заданным числом вершин (рис. 1, б).

Рис.1. Траектория рабочего органа а) циклового серийного промышленного робота для трех рабочих позиций б) циклоидального манипулятора (гипоциклоида с тремя вершинами

ЦМ позволяют получать траектории движения рабочего органа, близкие к типовым при переносе объектов; при этом двигатели работают в режиме постоянной скорости, а повышение быстродействия достигается за счет увеличения скорости двигателя или уменьшения передаточного отношения передачи. Функциональные возможности ЦМ определяются их аппаратно-конструктивным исполнением. Разновидности компоновочных структур манипуляторов приведены на рис. 2.

Рис.2. Разновидности компоновочных структур циклоидальных манипуляторов:

ЗРМ — зубчато-рычажный манипулятлор; ПЗМ — планетарно-зубчатый манипулятор;

ШРМ — шарнирно-рычажный манипулятор; ТТМ — манипулятор с тросовыми тягами или цепными передачами

В отношении простоты реализации, надежности, стоимости предпочтительны зубчатая и тросовая передачи, но они имеют ограничения в перенастройке траекторий [8]. Траектории в виде гипоциклоид являются плавными и гладкими, в точках возврата осуществляется не выстой на конечное время, а только мгновенная остановка с мгновенным обращением скорости в нуль. Это создает определенные трудности: при движении вблизи точек возврата манипулятор должен надежно захватить переносимый объект или освободиться от него, установив на заданную позицию или сбросив в накопитель.

Программно-перенастраиваемые циклоидальные МС содержат два звена с электроприводами на каждом (рис. 3).

Рис.3.Шарнирно-рычажный циклоидальный манипулятор с перенастройкой рабочих траекторий:

Ы\; М2 — управляющие моменты приводных двигателей ^1; ^2 - углы поворота звеньев

Закон управления звеньями задается в следующем виде:

x = cos pi + е cos (N + 1)pi, y = sin pi + е sin (N + 1)pi,

где N = Ш1 \ W2, е = li \ /2.

В этом случае траектория движения воспроизводящей точки Р будет циклоидальной кривой. Схема автоматического управления ШРМ выглядят следующим образом (рис. 4)

Рис.4. Схемы автоматического управления

Траектории кодируются по таблице. Значения параметра N хранятся в памяти системы управления (СУ).

Таблица 1

№ п/п Код а>1 (двоичн.) Значение N Код га 2 (двоичн.) Форма кривой точки подвеса Знак N 0 - «-», 1-«+»

1 0001 3 000001 Л 0

2 0001 3 000001 <£> 1

3 0001 4 000010 -f 0

4

Возможные виды реализации СУ ЦМ представлены на рис. 5.

Существует большое число производственных операций, которые можно автоматизировать с помощью простых программных механизмов. Нередко гибкость программы управления понимается лишь в смысле возможности переналадки, а между циклами перенастройки СУ являются системами с жесткой логикой.

Рис.5. Типы реализации СУ ЦМ

Итак, при отсутствии требований к перенастройке требуется жесткое механическое управление. В этом случае достаточно одного привода для ведущего звена ЦМ. В случае требований к перенастройке необходимо иметь приводные устройства для каждой степени свободы. Их работа должна синхронизироваться соответствующей СУ (управляющим автоматом). Возможно и динамическое управление ЦМ с импульсным режимом работы приводов [1, 2] (рис. 5).

Создание ЦМ представляет собой взаимосвязанные этапы расчетов и проектирования. На стадии предварительных расчетов производится выбор двигателей и передаточных механизмов. На этапе конструирования предварительные расчеты проводят без учета динамики исполнительного механизма, поскольку еще не сформирована конструкция, неизвестны массоинерционные данные (массы, моменты инерции звеньев, координаты центров инерции) и данные для расчета жесткостей.

Техническое задание

Режимы

приме-

Топология

:омпоновочных структур раекторий

Перенастройка

1_

Силовое взаимодействие (технологическое усилие) с исполнительным механизмом

Быстродействие,

производительность

1

Точность

Выбор компоновки исполн. мех-ма и типа реализации СУ

Расчет параметров ЦМ

Топологический расчет исполнительного механизма Кинематический анализ траекторий Анализ динамики Анализ точности

Проверка характеристик исполнительного механизма

Быстродействие Точность Время выстоя Прирост кинетической энергии

Рис.6. Алгоритм расчета и проектирвоания исполнительного механизма ЦМ

На рис. 6 представлен алгоритм расчета и синтеза ЦМ. Синтез компоновочной структуры ЦМ начинается с постановки задачи и определения метода поиска ее решения. Параметры проектируемого механизма являются внутренними параметрами синтеза. Связь между критериями оптимальности и внутренними параметрами формируется математической моделью. При топологическом расчете ЦМ с одним приводом для создания планетарных передач используют как методы синтеза, так и методы кинематического и динамического анализов, при которых данный механизм рассматривается как передающее устройство, в то время как входной и выходной валы связаны набором

передаточных отношений N1 (1 = 1, 2, п) [7]. Аналогично набор отношений N1 (1 = 1, 2, п),

определяющих отношение угловой скорости ведомого звена к угловой скорости ведущего звена (для ПЗМ, ЗРМ и ТТМ - водила), определяют для циклоидальных траекторий.

Для этого подходят матрично-кодовый метод и преобразования, которые основываются на представлении компоновочных структур и их элементов в виде графа. Суть данного метода заключается не в рассмотрении каждого конкретного механизма, а в создании планомерного анализа механизмов данного класса на основе их разделения на элементарные механизмы с последующим математическим отождествлением и построением общих вычислений [5]. В работе [5] представлен топологический расчет общего случая п-цепного зубчато-рычажного механизма, в работе [4] - алгоритм и методика топологического расчета подобных устройств на основе выделения исходных базовых модулей, элементарных механизмов и последующего иерархического синтеза.

В плане синтеза рассматриваемые манипуляторы имеют определенные преимущества, поскольку по топологии формирования кинематической схемы допускается реализация путем соединения небольшого набора простых исходных модулей, представляющих собой функционально и конструктивно независимые единицы. В конструктивный модуль кроме механизмов могут входить приводные средства, а также соответствующие энергетические и информационные коммуникации, обеспечивающие одну или несколько степеней свободы.

В соответствии с конкретным топологическим требованием из определенного набора модулей можно сформировать простые быстродействующие ЦМ.

Приведем пример иерархического модульного синтеза ЦМ с одним приводом в ЗРМ компоновке (рис. 7) [7].

Рис. 7. Схема двухцепного циклоидального манипулятора в ЗРМ компоновке:

П — угловая скорость приводного устройства (водила); г ¿(г = 1, 2,6) — радиусы колес

При синтезе будем использовать иерархическую систему модульного проектирования, позволяющую генерировать модули каждого уровня из модулей более низкого уровня. Для упрощения зададим ряд исходных базовых модулей:

1) неподвижное зубчаое колесо

2) корончатое зубчатое колесо

3) водило I__________I_______;

4) цепная передача-------------

5) соединительное звено ^------

6) зубчатое колесо

7) рабочий орган (схват) V.

Тогда в соответствии с кинематической схемой представленной на рис. 7 можно составить возможные комбинации 1-УШ модулей соединения элементарных двухзвенных механизмов (ЭМ)

(рис. 8).

Рис. 8. Варианты комбинаций модулей соединения элементарных механизмов

Из базовых модулей, с учетом их взаимосвязи, можно получать ЭМ. Совокупность полученных модулей соединения можно представить в виде графа, из которого вытекает модель всей компоновочной структуры (рис. 9).

Рис. 9. Граф модели компоновочной структуры

Таким образом, иерархическая система модульного синтеза состоит из уровней: нижнего - соответствует набору исходных базисных модулей; среднего - модули соединения со связью ЭМ; верхнего - структурная модель манипулятора (компоновочная структура).

Совокупность модулей соединения ЭМ в виде графа модели компоновочной структуры можно представить как матрицу смежности, отражающую связь от вершины графа 1 и вершины 511 или 7 (см. табл. 2), в которой рассматривается множество вершин.

Таблица 2

Конечная вершина

1 21 2" 3 4' 411 -V 5" 6 7

Начальная вершина 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0

21 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0

211 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0

3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

41 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0

411 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

51 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0

5м 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

6 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0

7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1

Заштрихованные клетки указывают на то, что возможна генерация только одной комбинации компоновочной структуры и, очевидно, обобщение на случай п- цепного механизма [5]. Вопросы

топологии траектории, компоновочных структур, быстродействия, кинематики, динамики, точности ЦМ рассмотрены в цикле статей, опубликованных в журнале «Вестник машиностроения» за 1987— 2009 гг.

Задачи, решаемые с помощью ЦМ укрупнено можно подразделить на четыре группы: а) терминальные, б) контурные, в) слежения, г) специальные (рис. 10) [4].

Задачи

Рис. 10. Задачи, решаемые циклоидальными манипуляторами

Представляет интерес рассмотреть характер траекторий рабочего органа при большем числе звеньев на примере виртуального механизма [3]. В качестве виртуального механизма рассмотрим полициклоидальные мехатронные устройства, представляющие собой п - звенный механизм, где ведущее звено совершает непрерывное вращение в одном направлении с постоянной угловой скоростью, а остальные звенья совершают вращения с угловыми скоростями, кратными угловой скорости первого звена (рис. 11).

Рис. 11. п-звенный шарнирно-рычажный полициклоидный механизм

Траектория концевой точки Р будут

X СЕ "=1 СОв ві

. у. 1 ві .5 •й Л и і

ві = фь, і = 1, 2, п

к= 1

где 1г - длина 1-го звена, ^ - угол, характеризующий положение 1-го звена относительно (И)-го звена, - угол между первым звеном и осью абсцисс, неподвижной системой координат, связанной с осью первого шарнира.

Это будут так называемые полициклоидальные кривые [6]. Введем обозначения:

м, = ^ =

фъ Чъ

где ^ - несократимая дробь;

е* = = £1 |Ж;, + 1|, г = 1, 2, ..., п;

ч

п_ 1 п_ 1

К = П Чъ; Д = П рг-

г1

Рис. 12. Влияние параметров рх и р2 на количество осей симметрии и количество петель полициклоиды с параметрами N1 = -3, N2 = — 3,€х = — 1, €2 =0, 5:

I. а) рх = —2 б) рх = —4 в) рх = —4 в) рх = —5 г) рх = —6; II а) р2 = —2 б)р2 = —4 в)р2 = —5 г) р2 = —б

Если все N - рациональные числа, ни одно из которых не принадлежит отрезку [-1, 0], то траектория замыкается при совершении первым от стойки звеном оборотов. Если какое-либо число Nj[—1, 0], то конец + 1)-ого звена по отношению к входному шарниру ^звена описывает эпициклоиду, идентичную эпициклоиде с параметром

щ = А = Ж- = и

^■+1 г^+1 qj

где = -(pj+l) и Nj > 1,з = 1, 2, п.

В этом случае кривая замкнется при совершении первым звеном К оборотов, где в К вместо сомножителя qj берется qj (осуществляется инверсия длин звеньев).

Количество осей симметрии полициклоиды определяет величина (рис. 12). Величины |р21,..., |Рп_11 влияют на количество петель полициклоиды: чем больше значение |рг|, тем боль-

ше формируется петель по периметру основной циклоидальной кривой.

\ а) Ц=0А б)Цх= 1.0 «>¿/,=2.0 Н а) //,= 0.4 б) Ц ,= 1.0 в) //,=2.2

И =0.2 ц 2=1.0 ^2=2.4 /¿2=0.6 //2= 1.0 //2=2.4

Рис. 13. Влияние величин и ^2 на форму полициклоидов: I. а) N = 3 б) N = 3; II) а) N = —3 б) N = —3;

III. а) N = 3 б) N2 = —3; IV а)^ = —3 б) N2 = 3

Характер полициклоиды зависит от величины : при < 1 образуются «волны», а при > 1 -«петли» (рис. 13).

Параметрами и Д определяется сложность траекторий, а именно: при малых значениях и Д они по виду просты и лаконичны (рис. 14, а-в), а при больших значениях кривые напоминают сложные узоры в виде розетки или плетенки (рис. 14, г-е).

Рис. 14. Полициклоиды с параметром =1 и различными Я;

а) Я = 9(^ = —3, N2 = —3, ех = 1, £2 = 0, 5); б)Я = 12(^ = 4, N2 = —3, ех = 0, 5, £2 = 1);

в) Я = 9(^ = 3, N = —3, ех = 1, 5, е2 = 0, 5); г)Я = 36(^ = —4, N = —3, N3 = —3, ех = е3 = 0, 5), е2 = 1, 5;

д) Я = 16(^ = 8, N = 2, N = 2, ех = 0, 7, е2 = 0, 5, е3 = 0, 5); е )Я = 48(^ = —6, N2 = 6, N = —3, ех =0, 5

Изменение параметров N и ег дает бесконечное число вариаций полициклоид; их можно объединить в базу данных, которая может служить источником генерирования различных рабочих траекторий.

Таким образом, пользователь получает новый мощный компьютерный инструментарий, где эффективно реализуется эвристический подход при синтезе подобных устройств. Для его успешной деятельности необходимо выработать классификационные признаки базы данных полициклоид, очевидно, в качестве которых будут: число осей симметрии, наличие (отсутствие) петель, плотность и характер заполнения узора, индекс сложности формируемой траектории.

Представляет также особый интерес то, что можно выявлять из спектра подобных кривых те, которые имеют фрактальную размерность. В частности, полициклоиды, представленные на рис. 14 г, д, е, являются именно таковыми. Это следует из линейности зависимости 1пЫ от 1пХ, где М - количество покрытий, а Х-масштаб измерения. На рис. 15 приведена эта самая зависимость на графике и в таблице.

5,3'

4,6

4,13

3,53

\пХ 0 0,4 0,7 1,1 1,38

1п М г) 4,92 4,30 3,85 3,22 2,71

д) 5,10 4,60 4,10 3,60 3,10

е) 5,30 4,60 4,13 3,60 3,53

Рис. 15. Характеристика наличия фрактальной размерности кривых на рис. 14 г—е

Список литературы

1. Мархадаев Б. Е., Никифоров С. О., Сосоров Е. В. Импульсные движения манипуляторов типовых кинематических схем // Вестник машиностроения, № 6. 2005. С. 3-8.

2. Мархадаев Б. Е., Никифоров С. О. Манипуляторы с импульсным заданием движения // Вестник машиностроения. 2004. № 12. С. 3-8.

3. Мархадаев Б. У., Никифоров С. О. Мехатронные системы: полициклоидальные, циклоидальные, импульсные. Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2004. 139 с.

4. Никифоров С. О., Мархадаев Б. Е. Классификация и топологические методы формирования компоновочных переменных структур полициклоидальных манипуляционных мехатронных устройств // Вестник машиностроения. 2007. № 12. С. 3-7.

5. Никифоров С. О. Матрично-кодовый метод расчета зубчато-рычажных циклоидальных манипуляторов с цепными передачами // Вестник машиностроения. № 8. 2003. С. 17-20.

6. Никифоров С. О., Челпанов И. Б., Мандаров Э. Б. Роторные (циклоидальные) демонстрационные роботы // Вестник машиностроения, 2004. №1. С. 19-23.

7. НикифоровС. О., Мархадаев Б. Е. Параметрический синтез компоновочных структур быстродействующих циклоидальных манипуляторов и реализация их управления // Вестник машиностроения. 2009. № 2. С. 9-13.

8. Никифоров С. О. Циклоидальные манипуляторы: новые схемы, механика, управление, применение // Вестник машиностроения. № 6. 2002. С. 3-8.

9. Рожанская М. М. Механика на средневековом Востоке. М.: Наука, 1976. 324 с.

10. Kempe A. B. Оп а general Method of Describing Plain Curve of the London Mathematical Society, Vol. 1. 1876. P. 213-216.

Рукопись поступила в редакцию 20 апреля 2011 г.