Изучение влияния линейных размеров наноплиты на значения модулей Юнга и жесткостей Текст научной статьи по специальности «Физика»

© Глухова О.Е., Вецель С.С., 2011

УДК 539.2.21 ББК 30.6

ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ НАНОПЛИТЫ НА ЗНАЧЕНИЯ МОДУЛЕЙ ЮНГА И ЖЕСТКОСТЕЙ

О.Е. Глухова, С.С. Вецель

Экспериментально уже установлено, что модуль Юнга графена в 5 раз больше модуля Юнга стали. В настоящее время изучаются другие упругие характеристики графена, в частности жесткости, функция прогиба и др. Целью данной работы является определение жесткостей и построение уравнения прогиба нагруженной равносторонней графеновой однослойной нанопластинки размером ~32 нм при помощи метода линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО) в рамках теории упругости тонких плит, а также определение размерного эффекта для упругих характеристик.

Ключевые слова: графен, модуль Юнга, уравнение прогиба, закон Гука, размерный эффект, метод линейной комбинации атомных орбиталей.

1. Математическая модель изгиба тонких плит

Под пластинкой будем понимать упругое и ограниченное двумя параллельными плоскостями тело. Отнесем пластинку к системе координат, которую выберем следующим образом: плоскость XY совместим со срединной плоскостью, а ось г перпендикулярно. Пластинка, которая работает на изгиб, называется плитой. В случае с графеновым листом под двумя параллельными плоскостями понимаются виртуальные плоскости, ограничивающие монослой графена в пределах межслойного расстояния в графите 0,34 нм. Срединной плоскостью ХТ примем плоскость, проходящую через центры атомов. Таким образом, задача об изгибе графена (наноплиты) может, в рамках указанного приближения, рассматриваться как трехмерная задача теории упругости.

Теория равновесия плиты, защемленной по краям, построена на двух предположениях: 1) прямолинейные отрезки, которые в неде-формированном состоянии пластинки были нор-

мальны к ее плоской срединной поверхности, при изгибе остаются прямолинейными и нормальными к изогнутой срединной поверхности (гипотеза прямых нормалей) и не изменяют своей длины; 2) нормальное напряжение oz в сечениях, параллельных срединной плоскости, есть величина малая по сравнению с напряжениями в поперечных сечениях - о

о оу (первая тройка напряжений).

Уравнения равновесия плиты записываются в виде:

'дох дТф дх^ _ _

Эх Эу dz

I дау дту2_ л

| Эх Эу dz

£1*2+ Зту2 | дог _ Q ь Эх Эу dz

где ох, оу - главные напряжения;

т - касательное напряжение.

Уравнения закона Гука [2]:

■е* = а11 °х + а12 + а13 °z + a 16 T bxy

ЕУ = а12 °х + а22 + а23 °z + а2Ь T Lxy

а13 °х + а23 °у~^~а33 öz + a36 ^xy

Yyz = а44 Т Lyz + а45 T-xz

Yxz Tyz + азв 7-XZ

II : а16 ах + а2 6 öy + азе , ez + a66 T

Здесь а11, а12, ..., а66 - упругие постоянные (коэффициенты деформации); еу - относительная деформация вдоль главной диагонали гексагональной решетки графена; ех -относительная деформация вдоль меньшей диагонали, перпендикулярной главной диагонали гексагональной решетки графена; уху - относительный сдвиг.

На основании второго предположения теории Кирхгофа в уравнениях закона Гука а^ можно положить равными нулю и рассматривать два первых и шестое уравнения представленной выше системы:

Е* = а п о-* + а12 ау + а16 Т

£У = а12 Ох + а22 аУ + а26 т ху

II £ а36 О* + а2& аУ + а66 Т

Эту систему можно рассматривать как систему трех алгебраических уравнений относительно а , а , х . Решая ее, получим:

х’ у7 Ху ? ^

°х = (а22 аЬ6 ~ а2ба2б) £х +

+ (а26 °16 — а12аб6 ) £у +

&9А Л.С1п

"Ка12а26 а1ба22 ) Удгу-

Аналогичные уравнения получаются для а ,х . Если ввести обозначения

у Ху

(а

Яда Л

22 и66

26а26

,)

Са2

Д

<х і ¿г а і

(В., называются приведенными коэффициентами деформации), то для напряжений можно записать:

— ВцЕх + В ± 2 Еу

= В12 ¿х +В22 Еу &26 Еу

'16

В 16 Уху В26 Уху $66 Уху

Введем новые постоянные:

СГВЧ=1,2, 6).

Постоянные Я . называются жесткостя-

У

ми: D11 и D22 - жесткости изгиба относитель-

но осей OY и ОХ соответственно; Я, - жест’ 66

кость кручения; h - толщина пластинки.

В итоге основное дифференциальное уравнение теории изгиба тонких анизотропных плит имеет вид:

+ 2(И 12 + 2Б66)

+ 40

3 »■ Эх2Эу2 Э4№

+

(1)

26

+ С22 ТТ =СЛХ’У)’

где

Эхдуа “ Эу*

q(x, у) - действующая на плиту нагрузка;

Ж = Щх, у) - функция прогиба пластинки.

Графен имеет два различных модуля Юнга в направлении осей Ох и Оу, а значит его можно считать ортотропным материалом. Ортотроп-ный материал - такой материал, у которого в каждой точке имеется три плоскости упругой симметрии. Пусть три плоскости упругой симметрии совпадают с координатными плоскостями, тогда а16 = а26 = 0. Упростим основное дифференциальное уравнение теории изгиба тонких плит (1). Введем технические константы:

а22 = 1/Е2, а12_ ' ¿Г абб _ 1^’

где

Е1 - модуль Юнга вдоль оси ОХ,

Е2 - модуль Юнга вдоль оси ОУ

2А и

ЕГ£2Р1

и1, и2 - коэффициенты Пуассона вдоль осей Ох, Оу соответственно;

G - модуль Юнга второго рода:

Е

о =

2(1

Выразим приведенные коэффициенты деформации и жесткости через модули упругости:

^ 11~а22Ка11а22 ~ а12^) —

= £"1/(1 — ^^2), ®22=^г/(1 — ^1^2)’

®12= 1^1 £2/(1 — =

= ^£:/(1-ад),в:б =

=В26=0, ^бб=1/аба= б1,

и

12(1 -А±ва)

Діб — ^26 — 0.

03 - 012 + 2066 — т9201+20к —19^2+2Ок.

Уравнение для функции прогиба Ж для ортотропного материала принимает вид:

В1^-^ + 2В3 ~~ + Дт~~~ =^/(х, V). (2) 1 а^* 3 Эд^Эу2 2 эу > у >

2. Размерный эффект

В нашей работе мы также рассмотрели влияние размерного эффекта на значения модулей Юнга Ех и Еу и жесткостей ^1, D2, D3 (рис. 1-5). В ходе исследования мы постепенно увеличивали линейные размеры образцов, таким образом было проведено 60 отдельных экспериментов. В результате получены экспериментальные данные, которые позволили вычислить значения соответствующих модулей Юнга и жесткостей, которые являются коэффициентами при частных производных в уравнении (2).

Рис. 1. Размерный эффект для модуля Юнга Е (линейные размеры приведены в ангстремах, значения модуля Юнга - в ТПа)

Рис. 2. Размерный эффект для модуля Юнга Еу (линейные размеры приведены в ангстремах, значения модуля Юнга - в ТПа)

4,61

Рис. 3. Размерный эффект для изгибной жесткости Я (линейные размеры приведены в ангстремах, значения жесткости - в ТПа*м3)

Рис. 4. Размерный эффект для изгибной жесткости Б2 (линейные размеры приведены в ангстремах,

значения жесткости - в ТПа*м3)

4,61 7,06 9,52 12,00 17,18 22,19

Рис. 5. Размерный эффект для крутильной жесткости В3 (линейные размеры приведены в ангстремах,

значения жесткости - в ТПа*м3)

3. Квантовая модель графена: метод линейной комбинации атомных орбиталей

Метод ЛКАО (или метод сильной связи) был ранее представлен в [1] и модифицирован для изучения стабильности углерод-

ных нанокластеров. В рамках данного метода полная энергия системы ионных ядер и валентных электронов записывается следующим образом:

ЕШ = ЕЬоМ + Егер + EvdW . (3)

В данном выражении ЕЬопа - энергия связи структуры, которая вычисляется как сумма энергий одночастичных заполненных состояний. Эти энергии находятся в результате решения уравнения Шредингера

H|шn > = е„|ш„ >,

(4)

где Н - одноэлектронный гамильтониан; в - энергия п-го одночастичного состояния.

Волновые функции | уп ) могут быть аппроксимированы линейной комбинацией атомных орбиталей (ЛКАО)

|пп )=Е С«1 Ф/б), (5)

где К а} - ортогональный базисный

набор;

I - индекс квантового числа;

а - обозначает ионы.

Матричные элементы в уравнении (4) были вычислены после подбора подходящих данных, полученных из эксперимента.

Терм Еер в уравнении (3) - феноменологическая энергия, которая представляет собой отталкивательный потенциал. Эта энергия может быть представлена в виде суммы парных потенциалов

Екр =1^ У, (6)

б,в) б

парный потенциал между атомами а и р. Этот потенциал описывает взаимодействие между связанными и несвязанными атомами [1]:

где

V -

гер

V = V0

гер цу

1.54

ар

х ехр<{ 2.796

'ар

2.32

1.54

232

(7)

где

1 и, - орбитальные моменты волновой функции, у представляет тип связи (а ог л). Значения пара-

V!:

метров V0 = 3.969;

5р<3 ’

С = -4.344; V0 = 5.457;

рра ’

Vй =-1.938 еУ [1].

ррл L J

4. Результаты

Вычислены значения модуля Юнга, модуля Юнга второго рода для графена и рассчитаны жесткости. Результаты приведены в таблице 1. Для сравнения: модуль сдвига для алмаза составляет 478 ГПа, а модуль Юнга для стали 210 ГПа. Для образцов графена микронных размеров были получены значения модуля Юнга 1,0 ± 0,1 ТПа [3]. Это достаточно хорошо согласуется с полученными здесь результатами: с увеличением размеров образца модуль Юнга будет увеличиваться, стремясь к определенному значению (по аналогии с углеродными нанотрубками [1]).

Таким образом, зная жесткости и приведенные коэффициенты деформации В., для графена (табл. 2), мы можем записать систему для определения главных и касательных напряжений, а также и уравнение для функции прогиба Ж(х, у). Следовательно, зная коэффициенты уравнения для функции прогиба, можно решать задачу изгиба гра-феновой наноплиты.

Таблица 1

Значения модуля Юнга первого и второго рода, коэффициентов Пуассона

2.796

х

+

Модуль Юнга Ех (Яі). ТПа Модуль Юнга Еу(Ег), ТПа Коэффициент Пуассона Коэффициент Пуассона Уг Модуль сдвига Сд., ТПа Модуль сдвига С , ТПа

0,852 0,671 0,92 0,062 0,39 0,32

Таблица 2

Значения приведенных коэффициентов деформации и жесткостей

В11 В22 В12 В66 Й1, ТПа * м3 В2, ТПа * м3 Б3, ТПа * м3

0,8568 0,6749 0,0620 0,3902 2,806 * 10-30 2,211 * 10-30 2,243 * 10-30

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глухова, О. Е. Теоретическое изучение зависимостей модулей Юнга и кручения тонких однослойных углеродных нанотрубок «zig-zag» и «arm-chain> от геометрических параметров» / О. Е. Глухова, О. А. Терентьев // Физика твердого тела. -2006. - Т. 48, вып. 7. - С. 1329-1335.

2. Лехницкий, С. Г Анизотропные пластинки / С. Г. Лехницкий. - М. : Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1957. - 463 с.

3. Changgu, Lee. Measurement of the Elastic Properties and Intrinsic Strength of Monolayer Graphene / Changgu Lee, Xiaoding Wei, Jeffrey W. Kysar, James Hone // Science. - 2008, 18 July. -Vol. 321. - P. 385-388.

STUDY THE INFLUENCE OF THE LINEAR DIMENSIONS OF NANOPLATE ON THE VALUES OF YOUNG’S MODULUS AND HARDNESS

O.E. Glukhova, S.S.Vetsel

Experimentally found that the Young’s modulus of graphene to 5 times more of Young’s modulus of steel. Currently exploring other elastic properties of graphene, in particular the stiffness, Poisson’s ratio, a function of deflection, etc. The purpose of this study is to determine the stiffness and the construction of the equation of deflection loaded equilateral-layer graphene plate size ~32 nm by the method of linear combination of atomic orbitals (LCAO) using elasticity theory of thin plates, and determination of the size effect for the elastic characteristics.

Key words: graphene, Young’s modulus, stiffness equation of the deflection, Hooke’s law, size effect, method of linear combination of atomic orbitals.