CC BY
8
Региональные проблемы. 2022. Т. 25, № 3. С. 174-176. https://doi.org/10.31433/2618-9593-2022-25-3-174-176
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Научная статья УДК 574.34:517.925.4
ИЗУЧЕНИЕ УСЛОВИЙ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СЛОЖНЫХ РЕЖИМОВ ДИНАМИКИ В БЫСТРО-МЕДЛЕННОЙ МОДЕЛИ МИГРАЦИОННО СВЯЗАННЫХ СООБЩЕСТВ
Е.В. Курилова, М.П. Кулаков Институт комплексного анализа региональных проблем ДВО РАН, ул. Шолом-Алейхема 4, г. Биробиджан, 679016, e-mail: [email protected], [email protected]
Работа посвящена изучению динамики быстро-медленной системы, состоящей из двух неидентичных ми-грационно связанных сообществ «хищник - жертва». Подробно исследуются механизмы формирования сложных пространственно-временных структур в случае слабой связи между сильно отличающимися сообществами, динамика которых оказывается несинхронной либо частично синхронной.
Ключевые слова: хищник - жертва, миграция, синхронизация, пачечная и тоническая динамика.
Образец цитирования: Курилова Е.В., Кулаков М.П. Изучение условий возникновения сложных режимов динамики в быстро-медленной модели миграционно связанных сообществ // Региональные проблемы. 2022. Т. 25, № 3. С. 174-176. DOI: 10.31433/2618-9593-2022-25-3-174-176
Рассматривается модель динамики двух миграционно связанных сообществ «хищник - жертва»:
d x1
d t d У1
= x1(i - a x1 )-
x1 У1 1 + h x1
t
c1x1 y1
= -c1 y1 +--!—!—!— + c1m
(
1 + h x1
\
1
— У 2 - У1
V C2
x2 У2
d x2 = x 2 (1 - a x 2 ) -d t 1 + h x2
(1)
d y2 c2 x2 y2
2 = -c2 У2 + 2 2 2 + c2m
(,
dt
1 + h x2
\
V c1
У1 - У2
где х. и у. - численности жертв и хищников на 7-й территории (7=1, 2), а - коэффициент самолимитирования жертвы, h - коэффициент насыщения хищника, с. - относительная скорость снижения (убыли) численности хищников (смертности) и тс. - коэффициент миграции хищников (7=1, 2) [1, 2].'
В системе (1) предполагается, что два неидентичных сообщества, которые отличаются
параметрами скорости роста жертв, оказываются подобны сообществам с разнои смертностью хищников. Модель (1) и ее модификации встречаются у некоторых исследователей [3, 4], которые, к сожалению, ограничиваются локальным анализом устойчивости и изучением условий однородного распределения особей по ареалу. Данное исследование концентрируется на случае неоднородного распределения, которое проявляется в сложных нелинейных эффектах, связанных с эволюцией периодических режимов, при которых сообщества оказываются несинхронными либо демонстрируют частичную синхронизацию.
Исследование эффектов синхронизации регулярных колебаний, возникающих в системе (1), выявило несколько особенностей. Во-первых, полная синхронизация циклов на разных территориях в такой системе возможна в случае сильной связи (т>0.5), даже при значительной разнице между сообществами (с1<<с2). Однако это приводит к единственно возможному типу динамики -предельному циклу. Во-вторых, снижение силы связи приводит к очень быстрой десинхрониза-
© Курилова Е.В., Кулаков М.П., 2022
2
ции, при которой каждое сообщество испытывает колебания численности с собственным ритмом. При этом даже мало отличающиеся сообщества (с1~с2) неспособны к полной синхронизации при слабой связи, в результате чего формируется двух-частотный предельный цикл с иррациональным отношением частот (числа вращения). Другими словами, было показано, что при слабой связи (га>0.01) синхронизация фактически возможна лишь для идентичных сообществ [1]. Однако, дальнейшее исследование модели (1) показало, что слабо связанные неидентичные сообщества способны, по крайней мере, к частичной синхронизации именно в случае большой разницы между значениями смертности хищников. В этом случае периоды оказываются кратными, причем таким образом, что в разные моменты времени наблюдаются участки с синфазной или противофазной динамикой популяций жертв и хищников на разных территориях, а также с разным соотношением их численности. Кроме того, были обнаружены режимы динамики, состоящие из чередующихся участков медленного «дрейфа» траектории и быстрых ее «срывов» [2].
В случае значительной разницы между сообществами, т.е. при с1<<с2, модель (1) относится к классу быстро-медленных систем, в которых присутствуют процессы, протекающие в разных временных масштабах.
Согласно геометрическому методу исследования быстро-медленных систем, разделение полной модели на быстрые и медленные подсистемы и их детальное изучение позволило определить, что динамика сильного сообщества, представляющего собой медленную подсистему, полностью определяет поведение слабого сообщества, соответствующего быстрой подсистеме. Оказалось, что динамика быстрого сообщества сильно зависит от численности хищников в медленном. Другими словами, численность хищников в медленной подсистеме можно рассматривать как бифуркационный параметр в быстрой подсистеме. Бифуркационный анализ этих подсистем позволил сконструировать инвариантные многообразия, на которых реализуются участки с пачечной и тонической активностью системы (1). В результате были подробно описаны механизмы возникновения пачек с различной формой волны. Обнаружена и описана зависимость формы быстрой динамики от внешнего вида инвариантного многообразия и расположения его частей относительно релаксационного цикла.
Работа выполнена в рамках государственного задания Института комплексного
анализа региональных проблем ДВО РАН.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Кулаков М.П., Курилова Е.В., Фрисман Е.Я. Синхронизация, тоническая и пачечная динамика в модели двух сообществ «хищник-жертва», связанных миграциями хищника // Математическая биология и биоинформатика. 2019. Т. 14, № 2. С. 588-611. DOI: 10.17537/2019.14.588
2. Курилова Е.В., Кулаков М.П. Квазипериодические режимы динамики в модели миграцион-но связанных сообществ «хищник-жертва» // Региональные проблемы. 2020. Т. 23, № 2. С. 3-11. DOI: 10.31433/2618-9593-2020-23-23-11
3. Ghosh S., Bhattacharyya S. A two-patch prey-predator model with food-gathering activity // J. Appl. Math. Comput. 2011. Vol. 37. P. 497-521. DOI: 10.1007/s12190-010-0446-z
4. Kang Y., Sasmal S.K., Messan K. A two-patch prey-predator model with predator dispersal driven by the predation strength // Mathematical Biosciences and Engineering. 2017. Vol. 14, N 4. P. 843-880. DOI: 10.3934/mbe.2017046
REFERENCES:
1. Kulakov M.P., Kurilova E.V., Frisman E.Ya. Synchronization, tonic and burst dynamics in the model of two «predator-prey» communities connected by predator migrations. Mathematical biology and bioinformatics, 2019, vol. 14, no. 2, pp. 588-611. DOI: 10.17537/2019.14.588 (In Russ.).
2. Kurilova E.V., Kulakov M.P. Quasi-periodic regimes of dynamics in the «predator-prey» model of migration-related communities. Regional'nye problemy, 2020, vol. 23, no. 2, pp. 3-11. DOI: 10.31433/2618-9593-2020-23-2-3-11 (In Russ.).
3. Ghosh S., Bhattacharyya S. A two-patch prey-predator model with food-gathering activity. J. Appl. Math. Comput., 2011, vol. 37, pp. 497521. DOI: 10.1007/s12190-010-0446-z
4. Kang Y., Sasmal S.K., Messan K. A two-patch prey-predator model with predator dispersal driven by the predation strength. Mathematical Biosciences and Engineering, 2017, vol. 14, no. 4. pp. 843-880. DOI: 10.3934/mbe.2017046
STUDY OF CONDITIONS FOR COMPLEX DYNAMIC REGIMES IN THE FAST-SLOW MODEL OF COMMUNITIES COUPLED BY MIGRATION
E.V. Kurilova, M P. Kulakov
The paper deals with the study of dynamics of fast-slow system consisting of two non-identical communities «predator - prey» coupled by migration. We study the mechanisms that lead to the complex space-time structures in the case of a weak coupling between very different communities. The community dynamics in this case is non-synchronous or partially synchronous.
Keywords: predator - prey, migration, synchronization, burst and tonic dynamics.
Reference: Kurilova E.V., Kulakov M.P. Study of conditions for complex dynamic regimes in the fast-slow model of communities coupled by migration. Regional'nye problemy, 2022, vol. 25, no. 3, pp. 174-176. (In Russ.). DOI: 10.31433/2618-9593-2022-25-3-174-176
Поступила в редакцию 15.04.2022 Принята к публикации 15.09.2022
