Изучение КПД машины Стирлинга в условиях, близких к реальным Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621 (41988.8)

ИЗУЧЕНИЕ КПД МАШИНЫ СТИРЛИНГА В УСЛОВИЯХ, БЛИЗКИХ К РЕАЛЬНЫМ

АБРАМЯН Р. М.

Государственный инженерный университет Армении

Интерес к машинам Стирлинга обусловлен их большими возможностями и экологическими требованиями времени [1-3]. В [4] изучен КПД идеального двигателя Стирлинга в установившемся режиме работы в зависимости от характеристики регенерации. В более реальных условиях необходимо учесть неидеальность рабочего тела (газа), а также теплопотери. Для анализа работы технологических систем термодинамическими методами часто применяют эксергетический подход [5]. При таком подходе можно указать, в каких элементах системы происходят наибольшие потери эксергии. Если также учесть связь диссипации энергии с кинетикой процесса и коэффициентами тепло- и массообмена, то можно получить представление о предельных возможностях тепловой машины. Такой подход принято называть термодинамикой конечной скорости или конечного времени. Основная особенность реальных процессов - это их необратимость. Важную роль в макросистемах играют специального типа подсистемы -посредники, которые могут уменьшить необратимость процессов. Таким посредником в машинах Стирлинга является регенератор. Поскольку в идеальной тепловой машине нет потерь на трение и продолжительность процесса (цикла) не ограничена, идеальная тепловая машина будет работать обратимо. Если же продолжительность процессов теплообмена между рабочим телом и регенератором ограничена, то процесс будет сопровождаться потерей эксергии. В [6] рассмотрен термический КПД цикла Карно, когда рабочим телом является Ван-дер-Ваальсовый газ, где также отмечается, что согласно теореме Карно, КПД не должен зависеть от рода рабочего вещества. В [7] рассмотрен вопрос получения КПД цикла Карно для любого вида уравнения состояния рабочего вещества.

Цель настоящей работы - исследовать двигатель Стирлинга в условиях, приближенных к реальным, и попытаться учесть теплопотери при регенерации теплоты, связанные с конечным значением времени теплообмена.

Рассмотрим работу двигателя Стирлинга в случае, когда рабочее тело -Ван-дер-Ваальсовый газ. Отклонение поведения реального газа от идеального (описываемого уравнением Клапейрона - Менделеева) зависит не только от природы газа, но и от тех условий, в которых находится данный газ: чем более он разрежен и чем выше его температура, тем менее заметны эти отклонения. Основным уравнением, учитывающим качественные особенности взаимодействия молекул на расстоянии и конечный размер самих молекул, является уравнение Ван-дер-Ваальса для рабочего тела (газа) массой то

(1)

где V = то/ц, - количество газа или число молей; р, V, Т - соответственно давление, объем и температура газа; Я - универсальная газовая постоянная; а, Ь - поправки, учитывающие взаимодействие и собственный объем молекул; ц - молярная масса газа.

Уточним размерности перечисленных величин в интернациональной системе СИ:

[ Я]* =

Ш

К • Мо1

; [а] =

М4

М3

[Ь] = . Мо12 Мо1

где N - ньютон; Dj - джоуль.

Значения постоянных а и Ь для каждого газа выбираются таким образом, чтобы уравнение (1) наилучшим образом описывало поведение рабочего тела. Кроме уравнения Ван-дер-Ваальса, было предложено более двухсот эмпирических уравнений состояния реальных газов. Некоторые из них имеют лучшее согласование с опытом за счет большего числа входящих в них феноменологических постоянных. Однако при качественном рассмотрении удобно использовать именно уравнение Ван-дер-Ваальса благодаря его простоте и ясному физическому смыслу [8].

Предварительно рассмотрим работу машины Стирлинга без регенератора, где рабочим телом является Ван-дер-Ваальсовый газ. Применяемый подход аналогичен подходу [4]. Термический цикл для двигателя Стирлин-га, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, изображен на рис. 1. Если предположить, что массовая удельная теплоемкость газа при постоянном объеме Су не зависит от температуры, то внутренняя энергия такого газа выразится формулой

2 а

и = ио +тоСуТ у.

(2)

Р.

▲

3 1

Г-

Т- 4

2 - Т.

Т2 ---- Г1 -►

V У2 V

Рис. 1. Термический цикл для двигателя Стирлинга

Термический КПД такой машины Стирлинга определится формулой

. А2 + ^34

П =

Я+& '

(3)

где Ь\2 - работа сжатия газа в изотермическом процессе при температуре Т2; Ьз4 - работа расширения рабочего тела при температуре Т1; Я - теп-

лота в процессе подвода энергии 2-3, а О' - энергия, полученная рабочим телом в процессе 3-4. Имеем:

Ц7 =чКГЛп ^ ХЬ +у2а

М2 2 V

(\_ - О

V V> у

(4)

£34 =\КТЛп + У2а

34 1 У2-vЪ

Г1 -

V V >2 у

(5)

0 = т0СУ (Т1 - Т2).

(6)

С помощью первого закона термодинамики для процесса 3-4 можно записать

0' = А^34 + Lз4 = ^1п ^ уЪ

У2 -\Ъ

(7)

Подставляя (4)-(7) в (3), получим

(Т -Т^Я 1п ^ хЪ

1 2 V - vЪ

Т - Т — 11 2

т0с¥ (Т - Т2) + Т^Я 1п

V;-vЪ Т + 5''

V ^Ъ

где

5'= тоСГ (Т1- Т2 ) _ Мт (Т1- Т2)

V« 1п

V - vЪ

Я 1п

V ^ъ

(8)

Мы воспользовались тем, что су для идеального и Ван-дер-Ваальсового газа имеет одинаковое значение [9].

Для КПД идеального цикла Стирлинга, т. е. для цикла, где не рассматривается теплообмен с окружающей средой, пренебрегают силами трения, а рабочим телом является идеальный газ, имеется выражение

П =

Т - Т

11 2

Т - Т

11 2

Т то Су (Т - Т2) Т +5'

Т + у

V« 1п^

V

(9)

где

5 =

МСГ (Т1 - Т2) Я 1п

V

Из неравенства V > следует, что 5 < 5, а следовательно, и п' > п Сопоставление п' и п показывает, что чем меньше объем рабочего тела V (при одинаковой степени сжатия РУ^У, тем заметнее будут поправки

Ван-дер-Ваальса. Возможно, поэтому машины Стирлинга эффективнее будут работать при меньших начальных объемах рабочего тела (т. е. при больших давлениях). Этот эмпирически отмеченный факт [10] здесь получен аналитически.

Перейдем теперь к рассмотрению работы машины Стирлинга с регенератором при условии, что при теплообмене регенератора с рабочим телом теплопотерями, которые возникают за счет конечного времени теплообмена, нельзя пренебречь. Рассмотрим теплообмен между рабочим телом и регенератором как теплообмен между двумя теплоизолированными телами, которые непосредственно обмениваются теплотой через поверхность соприкосновения площадью S. Действие регенератора сводится к выигрышу энергии в количестве 02.

В установившемся режиме в процессе 4-1 регенератор аккумулирует энергию, доведя свою температуру до какого-то значения Т*, затем отдает некоторое количество теплоты рабочему телу в процессе 2-3, охлаждаясь при этом до Т* (рис. 1). Так как при решении отдельных задач теплообмена неизбежно приходится вводить упрощения и условности, предположим, что теплопроводность обоих тел очень велика и выравнивание температур между различными частями тел происходит мгновенно, т. е. в каждый момент времени ^ регенератор (а также рабочее телo) во всех своих точках имеет одинаковую температуру, зависящую только от времени. Поток теплоты от рабочего тела к регенератору в соответствии с законом Ньютона (или Ньютона - Рихмана) [11, 12] запишем в виде

= -кБ(Т - Т*), (10)

&

где к - коэффициент теплообмена, Дж/(с-м2-К); Ж01 - энергия, переданная рабочим телом регенератору за время Т, Т* - соответственно температуры рабочего тела и регенератора в момент времени ^ (в момент ^ = 0 имеем соответственно Т1 и Т*).

ГТ1 ГГ1* ГТ!

Таким образом, Т и Т* - максимальная и минимальная температуры регенератора в установившемся режиме. Следовательно, абсолютный внутренний КПД машины Стирлинга с учетом конечности времени теплообмена составит

/12+!'3\), (11)

01 + 0 - 02

подставляя Ж01 = т0су& в (10), будем иметь

ЖТ кБ (Т - Т *)

(12)

& т0су

Такой же поток теплоты получает регенератор, т. е.

тС&Т- = кБ(Т - Т•), (13)

Ж

где т - масса регенератора; с - удельная теплоемкость его вещества.

Складывая (10) и (13), получим

m0cVT + mcT = const = m0cv T— + mcT*.

Обозначая а = тС (характеристика регенератора), придем к выра-

тоСу

жению

Т + аТ * =Т +аТ*. (14)

Уравнение (14) соответствует сохранению энергии в данном процессе. Вычтем почленно из (12) уравнение (13). Тогда приходим к соотношению

"(Т - Т '> -ЩТ - г/ 1 1 '

v mocv mc j

Обозначив — = hS т

( 1 1 >

v mc mc j

получим Т - Т = (Т1 - Т,)е т, или же

Т - Т = (Т - Т*)К, (15)

г

где К = е т - характеризует время установления теплового равновесия и называется временем релаксации или временем выравнивания температур.

Теперь рассмотрим процесс передачи теплоты от регенератора, имеющего температуру Т*, рабочему телу, имеющему температуру Т2 в момент г = 0. Рабочее тело получит за время г от регенератора теплоту

О2 = т0 ¿V (Т^

где Т - температура рабочего тела в момент времени г.

Этот процесс в конечном итоге увеличит КПД машины Стирлинга. Поступая аналогичным образом (как при получении формул (14) и (15)), для такого теплообмена получим:

Т ' + аТ. =Т2 +аТ *; (16)

Т. - Т ' = (Т* - Т2)К. (17)

Используя уравнения (14)-(17), выразим Т *- Т. через Т1- Т2

Т. - Т = (1 - к)(Т - Т2) * 1 + 2а + К

и с помощью формулы (16) будем иметь

О2 = ,а(\ К\ (Т1 -Т2) = т0¿VРК(Т1 -1 + 2а + К

где Рк - степень регенерации в рассматриваемых условиях.

Подставляя в (11), окончательно получим

_ т - т2

Т +ЪК(Т -т2)

где

. _ т0су (1 ) °К _ У-хЬ ■

1п-

У2 -\Ь

В идеальном двигателе Стирлинга t ^ да, К = 0, поэтому получится

а

следующее значение для Ря: Ря-_р [4].

2а+ 1

Таким образом, для значения абсолютного внутреннего КПД двигателя Стирлинга при работе в стационарном режиме, с Ван-дер-Ваальсовым рабочим газом, с учетом конечного времени теплообмена можно пользоваться формулой

Т - т

_ (Т-Т2Х1 -1Я) <18)

^ я 1п У-Ь

У2 -\Ь

Из формулы (18) видно, что двигатели Стирлинга будут работать тем эффективнее, чем больше молярная масса рабочего тела. Этот опытным путем подтвержденный результат здесь получен аналитически. Сказанное подтверждает точку зрения, что в качестве рабочего тела можно рекомендовать аргон, углекислый газ или криптон [10].

Приведем несколько численных оценок для КПД машины Стирлинга, когда рабочим телом является азот. Пусть то = 2,8 • 10-2 кг, т. е. число молей V = 0,1 моль; Ь = 3,9 • 10-5 м3/моль; су = 1040 Дж/(кг-К); Ух = 2 • 10-4 м3;

У2 = 4 • 105 м3 при Т1 = 600 К и Т1 = 300 К. Примем также максимальное значение для коэффициента регенерации р _ 0,5. Тогда для КПД машины Стирлинга с регенератором получим при идеальном газе 32,4 %, а для Ван-дер-Ваальсового газа - 33,0 %. Если в тех же условиях взять V = 1 моль, то получим для азота КПД, равный 42,7 %. В аналогичном случае цикла Карно КПД равен 50 %.

Если в тех же температурных пределах в машине Стирлинга рабочим телом будет гелий, то для таких же изменений объема получим КПД, равный 36,3 % при V = 0,1 моль, а при V = 1 моль - 39,6 %. Если же гелий рассматривать как идеальный газ, то КПД будет равен 36,0 %.

Таким образом, из рассмотрения подсчета ясно, что двигатели Стир-линга будут работать более эффективно при малых объемах и больших перепадах давления.

В Ы В О Д

Получен абсолютный внутренний КПД двигателя Стирлинга без регенератора и с регенератором в условиях, когда рабочим телом является Ван-дер-Ваальсовый газ. Показано, что при учете собственного объема молекул

термический КПД двигателя Стирлинга зависит от числа молей рабочего вещества и несколько увеличивается по сравнению со случаем идеального газа. Рассмотрен вопрос учета теплопотерь при работе машины Стирлинга с регенерацией теплоты. Получена зависимость степени регенерации от времени теплообмена.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Р и д е р, Г. Т. Двигатели Стирлинга: пер. с англ. / Г. Т. Ридер, Ч. Хупер. - М.: Мир, 1986. - 464 с.

2. У о к е р, Г. Машины, работающие по циклу Стирлинга: пер. с англ. / Г. Уокер. -М.: Энергия, 1978. - 151 с.

3. У о к е р, Г. Двигатели Стирлинга: пер. с англ. / Г. Уокер. - М.: Машиностроение, 1985. - 405 с.

4. А б р а м я н, Р. М. О максимальном значении КПД регенеративного идеального цикла Стирлинга / Р. М. Абрамян // Изв. НАН Армении. Сер. Физика. - 2010. - Т. 45, № 3. -

C. 210-214.

5. Ц и р л и н, А. М. Необратимые оценки предельных возможностей термодинамических и микроэкономических систем / А. М. Цирлин. - М.: Наука, 2003. - C. 348.

6. A g г a w a l, D. C. The Camot cycle with the van der Waals equation of state /

D. C. Agrawal, V. J. Menon // European Journal of Physics. - 1990. - Vol. 11. - No 2. -http://iopscience.iop.Org/0143-0807/11/2/004.

7. P a u l u s, C. Tjiang and Sylvia H. Sutanto / C. Paulus // Efficiency of Carnot Cycle with Arbitrary Gas Equation of State. - http://arxiv:org/abs/physics/ 0601173, 2006.

8. Вукалович, M. П. Уравнение состояния реальных газов / M. П. Вукалович, И. И. Новиков. - М.; Л.: Гос. энергетич. изд-во, 1948. - 340 с.

9. П р и г о ж и н, И. Современная термодинамика / И. Пригожин, Д. Кондепуди. -М.: Мир, 2002. - 461 с.

10. Д в и г а т е л и Стирлинга: c6. ст.: пер. с англ. / под ред. В. М. Бродянского. -М.: Мир, 1975. - 446 с.

11. Ми х е е в, М. А. Основы теплопередачи / М. А. Михеев, Н. М. Михеева. -М.: Энергия, 1977. - 343 с.

12. Ш о р и н, С. Н. Теплопередача / С. Н. Шорин. - М.: Высш. шк., 1964. - 490 с.

Представлена кафедрой

общей физики Поступила 28.08.2012

УДК 501.22:621.763

ОПЫТ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ С МАКРОГЕТЕРОГЕННОЙ СТРУКТУРОЙ ДЛЯ НОРМАЛИЗАЦИИ ТЕПЛОМЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБИН

Инж.| КОБЗАРЬ Ю. В., докт. техн. наук, проф. КАЛИНИЧЕНКО А. С.1', инж. ВОРОНОВ Е. О.2'

1Белорусский национальный технический университет, 2)РУП «МИНСКЭНЕРГО»

При эксплуатации многоцилиндровых паровых турбин возникает ряд проблем, связанных с тепловыми перемещениями узлов турбоагрегатов, поэтому устранение этих проблем является важной задачей для теплоэнергетики. Следует отметить, что нормализация тепловых перемещений паро-