CC BY
366
УДК 537.86
А. А. Персичкин, А. А. Шпилевой
ИЗМЕРЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ/ШУМ СМЕСИ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА И УЗКОПОЛОСНОГО ШУМА
Предложен алгоритм определения отношения сигнал/шум для смеси сигнала и узкополосного шума при различных уровнях шума, что может использоваться при разных способах обработки сигналов.
The algorithm of definition of the attitude a signal/noise for a mix of a signal and narrow-band noise is offered at various noise levels that can be used at various ways of processing of signals.
Ключевые слова: узкополосный шум, отношение сигнал/шум, дисперсия шума, фильтрация.
Key words: narrow-band noise, the attitude a signal/noise, dispersion of noise, filtration.
Из наблюдений, сделанных в ходе работ по спектральному анализу, следует, что при повторении эксперимента с одинаковыми условиями амплитуда спектральной линии на частоте полезного сигнала испытывает девиацию, что, очевидно, связано с наложением на гармонический сигнал шумовой составляющей. Предполагается, что данный эффект
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 10. С. 126—130.
можно использовать для вычисления SNR для гармонических сигналов, смешанных с узкополосным шумом, так как проблема определения отношения сигнал/шум для таких сигналов связана с тем, что в их спектре отсутствует шумовое основание, которое является количественной мерой мощности шума. Действительно, в случае пропускания шума через узкополосный фильтр с центральной частотой f0 на его выходе получаем гармоническое колебание вида [1]
x(t) = U(t) • cos(2 • п • f 0 + ф(£)), где функция U(t) соответствует распределению по закону Рэлея с мате-
матическим ожиданием mU =
-•8.
Согласно [1; 2] сумма гармонического сигнала с амплитудой В узкополосного шума подчинена распределению Райса
Р (U, ф) =
U
2 -п-8'
-• exp
U2 + B2 - 2 • B • U • cos ( 2_82
Реализация смеси узкополосного шума, образованного полосовым фильтром с полосой 100 Гц с центральной частотой 2000 Гц и гармонического сигнала такой же частоты, представлена на рисунке 1.
□ 01 D 02 0 03 0 04 0 05 0.06 0 07 0 08 0 03 0 1
t(s)
Рис. 1. Реализация смеси узкополосного шума и гармонического сигнала
С учетом того, что фаза распределена равномерно, одномерная плотность вероятности указанного процесса
2я 7 т ( 7 т2 , ™2
Р (U) = j Р (U,
U
= 82 •exp
U2 + B2 " 2 •S2
• 10
U • B
где 10 — модифицированная функция Бесселя.
Анализ функций плотности вероятности процесса, распределенного по закону Райса, при разных отношениях а = В/б показывает, что при а > 3 распределение плотности вероятности достаточно точно приближается к нормальному.
2
12?
Аналогично при указанных условиях из огибающей реализации узкополосного процесса возможно вычислить амплитуду полезного сигнала, которая будет равна математическому ожиданию, а также дисперсию шума. На основе этого измерения SNR предлагается проводить не в частотной, а во временной области по следующей методике:
1) обрабатываем смесь полезного гармонического сигнала и узкополосного шума при помощи амплитудного детектора (рис. 2);
Рис. 2. Результат амплитудного детектирования смеси гармонического сигнала и узкополосного шума
2) фильтром низкой частоты с частотой среза ¥с << /0 выделяем огибающую (рис. 3);
вд
Рис. 3. Результат выделения низкочастотной огибающей после амплитудного детектирования смеси гармонического сигнала и узкополосного шума
3) вычисляем амплитуду В гармонического сигнала как среднее значение от огибающей;
4) исходя из этого определяем среднеквадратичное значение шума и получаем искомое выражение для отношения сигнал/шум по мощности: SNR = Б/ 5 = а.
Для измерения отношений сигнал/шум при а < 3 предлагается теоретически изучить зависимость измеряемого SNRm от истинного значения SNR = В/5 и на основе полученных результатов ввести корректирующие коэффициенты. В этом случае закон распределения Райса можно переписать в виде
Р U >4 • exp (-^ - SJR )•' 0 (2Т SNR ).
Для оценки энергетических параметров полезного сигнала используем квадрат математического ожидания
ОТ
M (SNR ) = JU• p(U)dU,
0
параметров шума — дисперсию огибающей:
да
D (SNR) = J (U - M1 )2 • p (U)dU.
0
Соответственно, SNR =М^.
m VD
При вычислении указанных интегралов возникают трудности, связанные со сложностью аналитического представления функции Райса в широком диапазоне значений переменных [3]. Существующие подходы к ее вычислению [3; 4] не затрагивают нашего диапазона. Поэтому вычисления проводились численными методами в среде MATLAB [5].
На практике более интересна обратная зависимость — истинного отношения сигнал/шум от измеряемого, представленная на рисунке 4.
Рис. 4. Зависимость истинного значения отношения сигнал/ шум от измеряемого при а < 3 и 8 = 1
129
Указанная зависимость достаточно точно аппроксимируется выражением
SNR =
В соответствии с полученными результатами можно предложить следующий алгоритм определения отношения сигнал/шум для смеси гармонического сигнала и узкополосного шума при а < 3:
1) выполняется настройка измерительного оборудования, в результате чего добиваются отношения б = 1. При этом измеряется среднее значение шума в отсутствие сигнала. В данном случае шум будет распределен по закону Релея и среднеквадратичное значение находится из
2) производится измерение среднего значения и дисперсии смеси гармонического сигнала и узкополосного шума и по приведенной формуле вычисляется искомое отношение сигнал/шум;
3) по формуле (1) находится фактическое отношение сигнал/шум.
Список литературы
1. Баскаков C. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М., 2009.
2. Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику. Ч. 1 : Случайные процессы. М., 1986.
3. Черпаков В. Г. Функции Бесселя и Релея-Райса в прикладной математике. М., 1997.
4. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. СПб., 1995.
5. Кетков Ю., Кетков А., Шульц М. MATLAB программирование численных методов. СПб., 2011.
Об авторах
Андрей Андреевич Персичкин — ассист., Балтийский федеральный университет им. И. Канта.
E-mail: [email protected]
Андрей Алексеевич Шпилевой — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта.
E-mail: [email protected]
Authors
Andrey Persichkin — lecturer, I. Kant Baltic Federal University.
E-mail: [email protected]
Dr Andrey Shpilevoy — assistant professor, I. Kant Baltic Federal University.
E-mail: [email protected]
130 12
______ среднего по формуле [3] 5 = J— • i
