CC BY
86
ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ БЕРЕГОВОЙ ЛИНИИ ЮЖНОГО ПОБЕРЕЖЬЯ КРЫМА МЕТОДОМ ФРАКТАЛОВ Бовин А.А.1, Жуков Д.Е.2 Email: [email protected]
'Бовин Александр Александрович — учитель физики;
2Жуков Дмитрий Евгеньевич — учащийся, Средняя общеобразовательная школа № 63, г. Краснодар
Аннотация: в данной работе рассмотрено применение метода фракталов для измерения длины южного побережья Крыма от мыса Херсонес до мыса Такиль. Пользуясь фрактальной теорией, получена формула для определения длины береговой линии юга Крыма и определена её фрактальная размерность. Полученные результаты имеют практическое значение при решении задач, связанных с расстановкой или строительством каких-либо сооружений вдоль береговой линии. Например, строительство дорог, охранных пунктов, пунктов экологического контроля, прокладка кабелей и линий электропередачи и т.п.
Ключевые слова: фрактальная длина, фрактальная размерность, береговая линия.
THE MEASUREMENT OF THE LENGTH OF THE COASTLINE OF THE SOUTHERN COAST OF THE CRIMEA BY THE METHOD
OF FRACTALS Bovin A.A.1, Zhukov D.E.2
'Bovin Aleksandr Aleksandrovich - Physics Teacher; 2Zhukov Dmitrij Evgenyevich — Student, SECONDARY SCHOOL № 63, KRASNODAR
Abstract: in this paper, the application of the fractal method to measure the length of the southern coast of the Crimea from Cape Khersones to Cape Takil is considered. Using the fractal theory, a formula is obtained for determining the length of the shoreline of the south of the Crimea and its fractal dimension is determined. The results obtained are ofpractical importance in solving problems related to the arrangement or construction of any structures along the shoreline. For example, the construction of roads, security points, environmental control points, the laying of cables and power lines, etc. Keywords: fractal length, fractal dimension, coastline.
УДК 556.55:51(470.22)
Введение.
Задачи, связанные с описанием и расчетами параметров природных объектов, не поддаются формализации обычными математическими методами. И только фрактальная теория позволяет работать математикам с подобными объектами.
Созданная Бенуа Мандельбротом теория фракталов впервые была применена для расчета длины береговой линии Великобритании. Пользуясь разработанной для этого методикой можно рассчитать фрактальную длину любой кривой на плоскости, в частности применить её для расчёта длины береговой линии любого побережья - морского, речного или озёрного. Результаты таких расчётов имеют большое практическое значение для прокладки прибрежных автодорог, железных дорог и разнообразных коммуникаций.
В России фрактальные методы определения протяжённости береговых линий водных объектов практически не применялись. Особенное значение имеет решение подобных задач для малоосвоенных территорий. Одной из таких территорий на данный момент является побережье Крыма.
Побережье Крыма весьма разнообразно. Западное, восточное и южное побережья различаются характером изрезанности береговой линии. Очевидно, что и фрактальная размерность для них будет неодинаковой. Следовательно, определять фрактальную длину этих побережий необходимо по отдельности. В данной работе для исследования было выбрано южное побережье Крыма, фрактальную длину которого необходимо было рассчитать.
Фрактальный метод измерения длины береговой линии.
В 1967 г. американскому математику Бенуа Мандельброту была предложена следующая задача - определить, чему равна длина береговой линии Великобритании. Оказалось, что корректно ответить на этот вопрос весьма затруднительно. Свои исследования Б. Мандельброт опубликовал в журнале «Science» в 1967 году [1]. В этой публикации рассматривается парадокс береговой линии, заключающийся в том, что её длина зависит от способа её измерения. Если оценка длины береговой линии осуществляется путём наложения на карту N равных отрезков длиной S, то окажется, что чем меньше длина отрезка измерений, тем больше становится конечная измеряемая длина. При этом в случае стремления длины отрезка измерений к нулю значение длины береговой линии возрастает до бесконечности. Таким образом, чтобы говорить о длине береговой линии, нужны какие-то другие средства количественной оценки береговых линий. Мандельброт рассматривает эмпирический закон, выведенный Льюисом Ричардсоном, который отметил, что измеренная длина L различных географических границ является функцией шкалы измерения 5, т.е. L = L (5) Анализируя опытные данные из нескольких различных примеров, Ричардсон высказал предположение, что может быть аппроксимирована функцией вида
L(S) = AS1-0, (1) где A является положительной константой, а D является константой, называемой фрактальной размерностью.
Фрактальная размерность - величина дробная и. в данном случае, может быть больше или равна 1. При этом, береговая линия, если она выглядит гладкой, должна иметь размерность, близкую к 1, а чем более изрезанной она является, то тем ближе её размерность к значению 2. Ричардсон приводит в своих исследованиях в качестве примера размерность 1,02 для побережья Южной Африки и 1,25 — для западного побережья Великобритании. Таким образом, измерить длину береговой линии можно только приблизительно, задаваясь параметром 5, то есть длиной отрезка прямой, которым «сглаживают» изгибы побережья.
В 1988 г. норвежский ученый Енс Федер решил выяснить, чему равна длина береговой линии Норвегии. Е. Федер, предложили другой способ измерения длины береговой линии. Согласно этому способу, карту покрывали квадратной сеткой, ячейки которой имели размеры 5x5. Видно, что число m(S) таких ячеек, которые покрывают береговую линию на карте, приближенно равно числу шагов, за которое можно обойти по карте береговую линию циркулем с раствором 5. Если 5 уменьшать, то число m(S) будет возрастать.
В своей книге [2] Е. Федер описывает методику определения фрактальной размерности D береговой линии при использовании квадратных сеток разного масштаба. В качестве основы для расчётов используется формула (1), где принято L ( 5) = т 5, тогда
т8 = AS1-0 (2)
Накладывая последовательно на исследуемую береговую линию квадратные сетки с размерами стороны Sj, S2, ,.. Sn подсчитывается соответствующее число квадратов mh m2, ,.. mn. Число n различных сеток должно быть таким, чтобы по числу n точек можно было бы построить график. Разумно брать n > 5. Далее вводятся величины
x = lg5, y = \g(mS). (3) После вычислений получается n пар значений x и у, по которым строится график линейной функции у = ах + Ь. Так как точки с координатами (x,y) не всегда располагаются вдоль прямой, то с помощью метода наименьших квадратов производится линеаризация зависимости y(x). Метод наименьших квадратов позволяет рассчитать коэффициенты а и Ь в функции у = ах + Ь. Иначе эти коэффициенты можно определить непосредственно по графику y(x).
Так как L (5) = т5 , то у = lg(m5) = IgL. Тогда с учётом выражения (3) функцию y(x) можно записать в виде
у = ах + b => IgL = а ■ IgS + b (4)
Потенцируя выражение (3.4) можно его преобразовать к виду
10'^ = Юа ^5+Й => L = 10й ■ Sa. (5) Сравнивая полученное выражение (3.5) с формулой (3.1), имеем А = 10й, а = 1 — D. (6)
Отсюда следует, что фрактальная размерность береговой линии
D = 1-а. (7)
Используя описанный выше метод, Е. Федер рассчитал фрактальную размерность береговой линии Норвегии, которая составила D = 1,52. Следует отметить, что побережье
Норвегии сильно изрезано фиордами. А для береговой линии Великобритании, побережье которой имеет более гладкие контуры, фрактальная размерность составила всего Б = 1,3. Расчет длины береговой линии южного побережья Крыма.
Для проведения измерений был выбран спутниковый снимок полуострова Крым (рис. 1) [3]. На карте чёрной линией отмечен участок южного побережья, который исследовался в данной работе. В качестве крайней левой границы исследуемого побережья был выбран мыс Херсонес, а в качестве крайней правой границы - мыс Такиль.
Рис. 1. Спутниковая карта полуострова Крым
Квадратные сетки изготавливались на компьютере в текстовом редакторе Microsoft Word посредством группирования горизонтальных и вертикальных линий, которые накладывались на шаблон сетки, заимствованной из интернета. Дело в том, что готовые сетчатые структуры, имеющиеся в интернете, непрозрачны.
Далее, скриншот космического снимка исследуемого побережья копировался в выбранном масштабе в Word и на него наносилась заранее заготовленная квадратная сетка. Пользуясь тем, что на космическом снимке в правом нижнем углу был представлен масштабированный отрезок, размер квадратной ячейки сетки можно было сопоставлять с этим отрезком и задавать ей необходимые параметры. В случае, когда линия исследуемого побережья размещалась на нескольких снимках, осуществлялась топографическая привязка положения сеток, так, чтобы они согласовывались между собой.
С помощью описанного способа были изготовлены и использованы квадратные сетки, имеющие следующий ряд размеров ячеек (в км): 20x20; 10x10; 5x5; 2,5x2,5; 1x1 и 0,4x0,4. По этим снимкам было посчитано совокупное число квадратов сетки m, которые пересекала береговая линия. С учётом размещения береговой линии на нескольких снимках получился следующий результат: для размера ячейки 20x20 км m = 14, 10x10 км m = 30, 5x5 км m = 33+29 = 62,
2,5x2,5 км m = 33+29+37+28 = 127,
1x1 км m = 30+32+32+30+32+25+35+35+28+30+29 = 338,
0,4x0,4 км m = 79+81+91+70+75+79+85+104+71+80+75 = 890.
Исходя из найденных чисел квадратов m и размер ячейки сетки S по формулам (3) были рассчитаны значения величин x и y и по этим данным составлена таблица 1.
Таблица 1. Вычисленные значения x и y
Ô, км 20 10 5 2,5 1,0 0,4
X = lgô 1,301 1,000 0,699 0,398 0 - 0,398
m 14 30 62 127 338 890
у = lg (mS) 2,447 2,477 2,491 2,502 2,529 2,551
Далее, используя табличные данные, было необходимо построить график зависимости y(x). Для построения графика был использована программа Advanced Grapher. Полученный график приведён на рис. 2.
Рис. 2. График зависимости у(х)
Как видно из графика (рис. 2), точки из таблицы 1 не располагаются на одной прямой. Для линеаризации графика был применён метод наименьших квадратов [4]. Согласно методу наименьших квадратов была составлена таблица 2.
Таблица 2. Коэффициенты для линеаризации графика
i X; Vi X,2 xiVi
1 1,301 2,447 1,6926 3,18355
2 1,000 2,477 1,0000 2,47700
3 0,699 2,491 0,4886 1,74121
4 0,398 2,502 0,1584 0,99580
5 0 2,529 0 0
6 - 0,398 2,551 0,1584 - 1,01530
I £ ¡X; = 3,000 £ ¡у; =14,997 £ ¡xf =3,4980 £ ¡ху =7,38226
'езультаты расчётов из таблицы 2 были подставлены в систему уравнений:
3,000а + 6 Ъ = 14,997,
' Xj ■ а + nb = ' уг, i i ^ xf ■ а + ^ X; ■ b = ^ Х;У;
3,4980а + 3,000Ь = 7,38226.
Решение системы линейных уравнений (8) даёт:
а ~ -0,05818, b ~ 2,5286. Таким образом, уравнение линеаризованного графика согласно (4) принимает вид:
у = —0,05818х + 2,5286. График линеаризованной зависимости y(x) представлен на рис. 3. Далее, следуя выражениям (5) - (7), были вычислены: коэффициент A
А = 1 0 » = 1 0 2'5 28 6 « 3 3 7,8 (км) , фрактальная размерность исследуемой береговой линии
D = l — а = 1 — (-0,05818) = 1,05818; (9)
получена формула фрактальной длины береговой линии
L = 337,8 £-0.05818 (10)
Рис. 3. Линеаризованный график у(х)
Обсуждение и трактовка полученных результатов. Выводы.
В результате выполненных расчётов фрактальным методом длины береговой линии южного побережья Крыма была получена формула (10). Как видно из формулы, береговая линия не имеет строго определённой длины. Её длина зависит от выбора параметра сглаживания 3.
Какую же длину береговой линии считать наиболее правдоподобной? Это зависит от конкретной задачи. Если, например, вдоль берега прокладывают пешеходную дорожку, для которой параметр сглаживания можно принять равным 3 м ( 0,003 км), то тогда
Ь = 3 3 7,8 ■ 0,003 " °05 818 ^ 47 3,6 км.
Если прокладывается автомобильная скоростная дорога, то для неё следует брать значение 5 не менее 100 м (0,1 км), тогда
Ь = 3 3 7,8 ■ 0 , 1"0-05 81 8 « 3 86,2 км.
Таким образом, формула фрактальной длины береговой линии (10) позволяет на практике рассчитать протяжённость той или иной прибрежной магистрали, линии электропередачи или необходимое количество береговых сооружений. Результаты таких расчётов способствуют оценки материальных затрат на их реализацию.
Анализируя результаты выполненной работы можно сделать следующие выводы.
• части побережья Крыма имеют разный характер изрезанности береговой линии, поэтому для измерения было выбрано только южное побережье полуострова;
• в результате расчётов по методу Е. Федера выведена формула фрактальной длины береговой линии южного побережья Крыма: Ь = 3 3 7,8 5" °05 8 18;
• определена фрактальная размерность береговой линии:
• величина фрактальной размерности исследуемой береговой линии незначительно отличается от 1, что свидетельствует об относительной плавности и малой изрезанности этой линии;
• полученная формула фрактальной длины береговой линии южного побережья Крыма имеет реальное практическое значение.
Заключение.
Введение математиками понятий «фрактал», «фрактальная размерность» и разработка теории фракталов во второй половине XX века позволило не только формализовать математическое описание природных объектов, но и успешно применить эту теорию во многих областях человеческой деятельности. Большое практическое значение имеет приложение теории фракталов для измерения длины береговой линии.
Данная работа наглядно демонстрирует применение фрактальных методов на примере крымского побережья. В дальнейшем можно продолжить подобные исследования, применяя подобную методику для других участков побережья Крыма и других прибрежных территорий.
Список литературы / References
1. Мандельброт Б.Б. Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и фрактальная размерность. Арт-фрактал. Сборник статей/ пер. с англ., фр. СПб.: «Страта», 2015.
2. ФедерЕ. Фракталы / Пер. с англ. М.: Мир, 1991.
3. Спутниковая карта Крыма. [Электронный ресурс]. Режим доступа:https://www.google.ra/maps/@45.Ш8205,34.5454825,255421m/data=!3m1 !1e 3/ (дата обращения: 22.05.2017).
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1984.
