CC BY
47
POWER MODES AND LIMIT ON DEFORMABLE SUBSEQUENT OPERATIONS ISOTHERMAL EXTRACT AXISYMMETRIC PARTS UNDER VISCOUS FLOW OF
ANISOTROPIC MA TERIAL
S.S. Yakovlev, A.A. Pasynkov, Y.V. Bessmertnaya, V.A. Bulichev
A mathematical model for subsequent operations isothermal axisymmetric drawing parts of anisotropic high-strength materials. The influence of technological regimes, the ani-sotropy of mechanical properties of components and speed of movement of the punch on the power modes and limits of deformation on the subsequent operations isothermal axisymmetric drawing parts in a viscous flow of anisotropic material.
Key words: hood, anisotropy, process parameters, tempo-ture, matrix, punch, strength, destruction, deformation, creep, strength, power.
Yakovlev Sergey Sergeevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tulaarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University
Pasynkov Andrey Aleksandrovich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tulaarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University
Bessmertnaya Yuliya Vyaceslavovna, candidate of technical sciences, assistant, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University
Bulichev Vladimir Aleksandrvich, candidate of technical sciences, docenr, [email protected], Russia, Tula, «Central Design Bureau of Apparatus Building»
УДК 539.3:539.384.4
ИЗГИБ СТЕРЖНЯ ПРИ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЕ, ЛИНЕЙНО ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ КООРДИНАТЫ
Ю.А. Чадаев
Рассматриваются статические и динамические задачи изгиба стержней при действии продольной силы, не зависящей от времени t. Собственные состояния определяются методом начальных параметров.
Ключевые слова: сжато-изогнутый стержень, поперечные колебания, спектр.
Рассмотрим случай, когда стержень нагружен продольной силой, переменной по длине. Как было показано в [1], такое изменение в реальных ситуациях может быть только линейной функцией продольной координаты. Рассмотрим случай, когда распределенная продольная нагрузка
71
постоянна по длине и не зависит от времени.
В этом случае из общих соотношений [1] получим выражения для матрицы модели:
0
А =
0 1 0 0
0 0 1
(1)
0 0 1 0 0 0
Ух п0 + 0
и в этом случае уравнение состояния [1] приобретает переменную матрицу модели, линейно зависящую от продольной координаты X.
Преобразуем это уравнение, выделяя переменную матрицу:
у' =(а° + ух^ - му + у у;
А° =
0 1 0 0"
0 0 00 0 Ух
1 0
по
"0 0 0 0"
0 0 0 0
; з =
0 0 0 0
0 0 1 0_
(2)
решение (2) найдем, полагая уу=0
и
Фундаментальное у(Х)=ЦХ)еш
У = (а0 + Ух%$)р + О2МУ, (3)
где О - безразмерная частота свободных колебаний.
Для решения (3) используем метод последовательных приближений в варианте [3], когда за начальное приближение принимается решение задачи при постоянной матрице модели
(4)
полагая в отличие от [3] отсутствующим влияние растяжения на изгиб.
Применяя преобразование Лапласа, найдем изображение фундаментального решения:
У0* (р) = {р1 - (а0У 0 + О2м)}-1 У0 (0) = У(р)* У 0(0). (5)
Изображение нормированной матрицы фундаментальных решений (матрицы влияния) имеет вид:
у0 = а0 У0 +о2мУ0
У0( р) = 1
г (р)
(р:
- п0 р -Ух О4 О4 р
О4 р2
г ( р)=р р
р
(р2 -
О4+ухр
(о4
п
по )р
О4 +Ухр)р Ухр -О
О4 +
к
р г
2
р р
3 2
р р
3
р
22 п0 р
+ п0 р+Ух)
4
(6)
Оригинал матрицы влияния найдем с помощью обратного преобразования Лапласа, вычисляя несобственный интеграл, входящий в него, с помощью теории вычетов:
у°(|)=X
=1 (Pk)
"0.
-Ух
2\ 2 п jp2
А
■«О
а4
а4 рк а4 р2
р - )рк
а4 + ухрк
Рк
р2 рЗ
' а4 + л
Рк
V +УхРк ,
а4 +
+ (по Рк + Ух )рк.
Рк
р2
рЗ
(7)
zl( р):
dp
4 Р 4 - 2«5 Р -Гх
Определим последовательные приближения для решения (3) [3]:
ут (X) =
м
у0(Х)+X дт у(Х)
т=1
у (0),
(8)
АтУ(£) = Гх|П£-£)8Ат-1У(£)ХХ .
Так как верхний предел интеграла в (8) ограничен (Х<1), а из (7) следует интегрируемость матрицы влияния в смысле конечности любой ее нормы, то последовательность приращений в (8) представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом
X
AvX) = Гх \ v\Z-Zl)$vQШldZl (9)
и знаменателем у, и, следовательно, сходится по норме при у<1.
Оценим величину безразмерной продольной нагрузки ух. Из выражения для безразмерной нагрузки ух=дхЬ/ЕЛ имеем
ёРЛ1 1 ёР1 _пх 1
Ух = П
= п
г
(10)
EJ г2 Е
Комплекс Ьта = Е^р имеет размерность длины и может быть назван характерным размером материала. Для реальных материалов (сталь, алюминиевый сплав, стеклопластик) этот параметр имеет величину (1...3)-106 м. Величина г2=1/ДЬ2 - безразмерный радиус инерции сечения -для тонких стержней имеет значение, не превышающее квадрата отношения характерного размера поперечного сечения к длине, то есть имеет по-
2 3
рядок 10 . Тогда величина ух~п(х)-10- . Реальные величины продольной перегрузки ограничены величиной примерно 100, тогда ух меньше 1, и последовательные приближения сходятся. Далее приводятся графики изменения
е
к
0
0
норм при разных количествах приближений в зависимости от продольной нагрузки при различных значениях безразмерной продольной нагрузки и безразмерной частоты.
Из рис. 1 - 4 видно, что наибольший вклад в изменение нормы матрицы вносит второе приближение; третье практически не отличимо от второго во всем диапазоне исследуемых параметров. При этом параметр ух принимал свои предельные значения ±1, однако, сходимость была достигнута, видимо, в результате того, что оценка интеграла в (8)) меньше 1.
- 10
- 5
о £
0 N0
10
а
0.05
10 - # ^ч 0
- 0.05
- 0.1 V ✓ V -У
5
о
б
Рис. 1. Зависимость норм матрицы влияния от продольной силы (а) и относительных приращений (б) при ух=1, £2=1. 0 - начальное; 1 - первое; 2 - второе и т.д. приближения
74
Поэтому при проведении практических расчетов достаточно второго приближения.
Рассмотрим зависимость собственных частот от продольной сжимающей нагрузки, полагая, что ее градиент (продольная распределенная нагрузка) принимает свои крайние значения, при которых достигается сходимость (±1).
N0
б
Рис. 2. Зависимость норм матрицы влияния от продольной силы (а) и относительных приращений (б) при ух=-1, £2=1: 0 - начальное, 1 - первое, 2 - второе и т.д. приближения
75
N0
а
о
0.0164
0
б
Рис. 3. Зависимость норм матрицы влияния от продольной силы (а) и относительных приращений (б) при ух=1, £2=10: 0 - начальное, 1 - первое, 2 - второе и т.д. приближения
76
о 2
1 8x10 - / X/ ' ¿г
7x10 ' С^Л п6- л л?
6x10 * * г\6. /X
5x10 -^ХЮ6
- 10
- 5
0 N0
10
а
о £
0 n0
б
Рис. 4. Зависимость норм матрицы влияния от продольной силы (а) и относительных приращений (б) при ух= -1, £2=10: 0 - начальное, 1 - первое, 2 - второе и т.д. приближения
77
5
Рис. 5. Зависимость частот свободных колебаний о от безразмерной продольной силы при уч=0
■■■ 1
♦ ♦♦ 2
••• 3
а
- 100 0 100 200
-п2
Рис. 6. Зависимость частот свободных колебаний а от безразмерной продольной силы при ух=1 (сжимающая нагрузка)
- 100 0 100 200
-п2
Рис. 7. Зависимость частот свободных колебаний Пот безразмерной продольной силы при ух=-1 (растягивающая распределенная нагрузка)
Сравнивая рис. 6 - 7 с рисунками в [1], легко заметить, что они отличаются только направлением оси п2 и, казалось бы, что влияние распределенной нагрузки пренебрежимо мало. Однако, если построить график относительного отклонения первой частоты без учета распределенной нагрузки и с учетом таковой (рис. 8), то нетрудно заметить, что вблизи критических значений (р2, 4Р2, 9р и т.д.) наблюдаются выбросы отклонения, по абсолютной величине достигающие 75 % от номинала частоты, вычисленной при у=0.
-1-----1-
-05------
=05
---
п2
Рис. 8. Зависимость относительного отклонения первой частоты свободных колебаний дапри ух=1 от частоты при ух=0
79
■ ... ! ♦♦♦ 2 ••• з --
■—|-ШЯ1
0 5 10 15
-1Г
Рис. 9. Зависимость частот свободных колебаний Пот безразмерной продольной силы при ух=0 вблизи первой критической силы
Для выяснения влияния распределенной нагрузки были построены зависимости П(п ) в диапазоне продольной сжимающей нагрузки, близкой к первой критической силе р (рис. 9 - 11). Сравнивая эти рисунки, заметим, что вертикальная касательная в вершине нижней кривой смещается влево при сжимающей распределенной нагрузке (то есть уменьшает критическую силу), а при растягивающей - вправо (увеличивает критическую силу).
0 5 10 15
-п2
Рис. 10. Зависимость частот свободных колебаний П от безразмерной продольной силы при ух=1 (сжимающая нагрузка) вблизи первой критической силы
15]
10
О
■ ■■ 1
♦ ♦♦ 2
••• 3
5
0 5 10 15
-п2
Рис. 11. Зависимость частот свободных колебаний О от безразмерной продольной силы при ух=-1 (растягивающая нагрузка)
вблизи первой критической силы
Аналогичные результаты получены и для других схем закрепления.
Выводы
1. Матрица фундаментальных решений определяется аналитически методом последовательных приближений. Показано, что в безразмерном виде метод сходится за 2 - 3 приближения.
2. Наибольшее влияние распределенная продольная нагрузка оказывает вблизи точек бифуркации. Показано, что приложение растягивающей нагрузки увеличивает критическую силу, а приложение сжимающей уменьшает ее. Влияние распределенной нагрузки имеет порядок 0,1 от ее величины без действия распределенной нагрузки.
Список литературы
1. Чадаев Ю.А. Определение спектра поперечных колебаний стержней, нагруженных продольной нагрузкой // Известия ТулГУ. Естественные науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. Вып. 1. Ч. 1. С. 225-231.
2. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004. 592 с.
3. Васина М.В. Численно-аналитический метод определения форм свободных колебаний пространственно-криволинейных неоднородных стержней: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Тула, 2011. 129 с.
4. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчи-
81
вости. М.: Гос. Изд-во физ.-мат. лит., 1961. 340 с.
5. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1957. 984 с.
6. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979 580 с.
Чадаев Юрий Андреевич, асп., inbiatsu. tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
LINEARLY DEPENDENT ON THE COORDINATES BENT ROD UNDER
LONGITUDINAL FORCE
Y.A. Chadaev
This article considers static and dynamic problems of rod bend under longitudinal force which depends on time t. Own states are determined by initial parameters method.
Key words: compressed-bent rod, transverse vibrations, the spectrum
Chadaev Yury Andreevich, postgraduate, inbi@,tsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.99
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ РЕЗАНИЯ ПРИ ФРЕЗОТОЧЕНИИ РЕЗЬБЫ
А.С. Ямников, О.А. Ямникова
Представлены результаты экспериментальных исследований сил резания при фрезоточении резьбы. Отмечается, что наибольшее влияние на силы резания оказывают глубина резания и радиальная подача. Получены эмпирические зависимости для твердосплавного и быстрорежущего инструмента.
Ключевые слова: фрезоточение резьбы, силы резания, эмпирические зависимости.
В Тульском государственном университете были проведены теоретические работы по обоснованию параметров прогрессивного способа формообразованию резьбы путем её нарезания винтовым инструментом при параллельных осях инструмента и заготовки, синхронном вращении инструмента и заготовки и их радиальном сближении [1 - 5]. Для количественной оценки степени влияния различных факторов на силы резания
82
