Изгиб пластины, нагруженной подвижными тепловыми источниками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ІІІ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ В МЕТАЛУРГІЇ ТА МАШИНОБУДУВАННІ

УДК 536.2

Канд. физ.-мат. наук В. К. Хижняк, канд. техн. наук В. С. Левада,

канд. техн. наук Т И. Левицкая

Национальный технический университет, г. Запорожье

ИЗГИБ ПЛАСТИНЫ, НАГРУЖЕННОЙ ПОДВИЖНЫМИ ТЕПЛОВЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

Решена задача изгиба пластины, имеющей вид бесконечной полосы, находящейся под действием двух точечных источников тепла, движущихся в одном направлении на одинаковых расстояниях от краёв пластины.

Ключевые слова: термоупругость, пластина, бесконечная полоса, изгиб, источник тепла, подвижная нагрузка.

Постановке, исследованию и решению задач термоупругости посвящено большое количество работ, что обусловлено исследованием процессов, моделируемых задачами термоупругости.

Проблемы термоупругости подробно исследованы в монографиях [1-3]. Задачи термоупругости при действии движущихся источников тепла рассматривались в работах [4, 5].

В данной работе изучается изгиб пластины, представляющей собой бесконечную полосу шириной 21 и толщиной к , под действием двух движущихся по прямой точечных источников тепла. Распределение температуры в этой полосе описывается уравнением [6]:

- а2Д0 + 626 = V(8(у - (о) + 8(у - 21 + уо)) • 80 - у0г), (1)

от

2 X 2 12a 6k ,

где a = — , Ь =----------1----, V = const, X - коэф-

cp h2 cph

фициент теплопроводности, c - удельная теплоемкость, p - плотность материала, k - коэффициент теплоотдачи, vq - скорость подвижного источника, А -оператор Лапласа, T - температура, m = const, h -толщина пластины, 8(z) - функция Дирака.

Решение задачи (1), (2) будем искать в виде 0=0(1, у), где 1= x - v0t.

Учитывая симметричность теплового излучения, получим следующую задачу:

2

А0+ \§-~2 9 = -V5(-•у0)5(^) а2 Л, а2 а2

(3)

у є (0, 21), у0 є (l, 2l), х є R , t є R

с граничными условиями

^-Х0

ду

у=0

='!+*>

= 0 0 = 0 ’ it=-<» ;

У=21

(2)

50

"дУ

= 0

У=1

50

дУ

+ Х0

= 0

y=2l

(4)

Условие (4) гарантирует выполнение условий (2). Решение задачи (3), (4) будем искать в виде

0(|,у) = ^Uk(|) Yk(у), k=1

(5)

где Yk (у) - решения задачи на собственные значения

h

© В. К. Хижняк, В. С. Левада, Т. И. Левицкая, 2011

ц+А = о

Решение задачи (10)-(11) найдем с помощью функции Грина, удовлетворяющей уравнению

dYk

dy

= 0

y=l

d¥L

dy

+ XYí,

= 0,

y=2l

2 2 d 2G

A2G-P2 — = AS(y -y1)5(^-^1)

dt2

(12)

Yk (y) = cos щ (y -1),

и граничным условиям

здесь ці - корни уравнения tg^ =-

h

Ці

Подставив (5) в (3) и, учитывая граничные условия (4), получим

G

d 2G

у=о

y=2l

dy2

= о

y=0

y=2l

d Uk _v0 dUk

dt2 <

2 2 dt

2 b ц2 +_

Uk = V -8(t), (6)

G|

„ dG

ü i —— 0 -----------

t—±<» > dt

— 0.

t—±«>

(13)

Uk

t—±rc

■>0,

V

где V0 =---- Ці cos цку0 •

a

Решение задачи (6), (7) имеет вид

% vos

Uk (t) =

2a 2

(7)

(8)

где A = 1, p2 = * .

D D

Решение задачи (12), (13) представим в виде G(t^y1) = ]Гgkt1)sin-knnysin^Пу1, (14)

где gk являются решением уравнения

где s2 = v» + 4а4ц2 + 4a2b2 .

Таким образом, окончательно получим

% v» + 1|^к

ТО ------------

0(%, У) = V Z C0S ЦкУ» e 2а2 cos Цку. (9)

к=1 sk

Далее рассмотрим изгиб пластины, шарнирно опертой по краям [6]:

2 oh д2W

A2W -'—-4- = а(1 - v)A0 :

d dt2

(10)

,4 ,2

gj^ - (2ц2 +P2) gr + ц4 gk = A0§(t-t1) (15)

dt dt

при условии

gkl

t—±«>

—0

dgk

dt

— 0,

t—

1 . kn

где A0 = — sin ЦкУ, ^k = ■

Решая задачу (15), (16), получим

(16)

W\

d 2W

У=0 л. 2

y=2l dy

= 0

y=0 y=2l

W|

Г ——±TO

— 0,

dW

dr

— 0,

Г— ±TO

(11)

где а и V - коэффициенты теплового расширения и Пуассона, Б - жесткость пластины.

Перейдем к подвижной системе координат, полагая | = х - У$ї и

5 V 2 3 V

- = v0

dt2

gk (t ti) =

sin Ц іУі

Dl(mk - «2)

-mk |t-t1 -«k |t-ti|

mk

«k

(17)

где

mk = + P2 ^ц2Р2 + P4

-■{y

«k = Vц2 + P2 ^ц2Р2 +P4 •

Таким образом, окончательно получим

G(t y, Уі) =

= — V 1

ГЛ7 і

Dl k=imk -«2

-mk lt-t1 „-«і |t-ti|

Л

mk

«k

sin sin ^(18) 2l 2l

2

a

+

+

Решение задачи (10), (11) с учетом (9), (8) запишем в виде

х 21

или

V(5,У) = | |6(5,у,§і,уі)а(1 ^)ДЄ(§і,уі)&,іфі

—х 0

V (5, у) =

а(1 — v)V Б1

X 21 —х 0

к=1 Шр — «I

^ е ~тк 15—51 е ~пк 15—51'' --------------+------------

тк

хД

51 у+51 К

I соє Ц и (У0 — I) е ^ С05 ц п (У1 — I)

П=1

пк

Й?51Й?У1.

. кпу . кпу-і Є1П—-єіп- 1

21 21

В результате интегрирования решение (10), (11) принимает вид

. а(1 — v)Vл ^ ,соє ц к (у0 — I) р

V (5, У) = _ 2 I соєц кі----¿---------------------—

БІ2 к=1

Р=1,3,5,...

Як

21

8ІП ^У

2 2 х 1 Р,к (5).

Ц2 Шр — Пр

При 5 > 0

!р,к (5) =

— ^ + -к і 2

2ШрЄ 2а

~'ШР^+ 2^ 2а 1 Ч"Р+ 2а2

у0 + Як \~ПР5

Ш,

ш2р—

(0 + 4а 4

Р А

п2, -

(0 + ЯкУ

4а4

Р А

(0 + Як )2

4а4

Ц р

—шр 5

-пр 5

Шр I Шр—

2а

2

п |п — ^ — -к Пр\Пр 2а2

(0 — Як )2 4а 4

2

■Ц к

1

х

п

+

п

е

+

+

При 5 < 0

!р, к (5) =

у0 — Як і

2шре 2а2 — I шр — ——^ |еШр5 2пре 2а2

2а

у0 — Як I

— 1 пр —

у0 — -к |епр5 2а2

(0 — -к)2 Л

Шр

т2р -

(0 — -к) 4а 4

Р А

п 2р —

(0 — -к) 4а 4

2А

-ц2

™р 5

„пр 5

Шр1Шр +

^ + Як 2а 2

пр1 пр +

^ + Як 2а 2

(0 + -к )2 4а 4

2

■Цк

+

п

+

+

Или при 5 = х — Vot

W (X, y, t) =

a(1 - v)Vn Dl2

Z cos. kl

k=1 P=1,3,5,...

cos .k (У0 - l)

sin

РПУ

2l

sk

\2 2 2

pn | 2 mp - np

"2/") ^k

x Jp, k(x - V).

При x - vot > 0

Ip, k (x - v0t) =

- V° + "lk (x-v0t) ( v + _ I , . - V0 + "lk (x-v0t)

^ o,-,2 ( v0 + Sk I -mp(x-v0t) ^

2mpe 2a -| mp +——\e 2npe 2a -| np +-

f( \2 A

(0 + sk ) ..2

-----71------------. k

4a

2a

m,

m2p -

(0 + sk)' 4a 4

+

v0 + sk L-np(x-v0t) 2a2

n 2p -

-mp (x - v0t)

-np ( x - v0t)

mp1 mp -

v0 - sk 2a 2

np1np -

v0 - sk 2a2

(0 - sk)2

4a4

2

.k

(v0 + sk)' 4a 4

n

e

e

+

+

x

При x - v0t < 0

1 p,k (x - v0t) =

2mpe

v0 - sk 2a 2

(x -V)

-| mp -

2a

2

0 - sk |emp(x-v0t)

v0 - sk

mp

m2p -

(0 - sk )

4a4

(0 - sk )2 4a 4

. 2k

mp ( x -v0t)

«p (x-v0t)

mp1 mp +

v0 + sk 2a 2

np1np +

v0 + sk 2a 2

Получено аналитическое решение, позволяющее исследовать напряженное состояние пластины при различных параметрах. Найденная в работе функция Гри -на дает возможность получать решения о прогибах пластины, вызванных различными видами подвижных нагрузок.

Перечень ссылок

1. Новацкий В. Вопросы термоупругости / Новацкий В. -М. : Изд-во АН СССР, 1962. - 364 с.

2. Коваленко А. Д. Термоупругость / А. Д. Коваленко. - К. : Наукова думка, 1975. - 302 с.

3. Подстригач Я. С. Обобщенная термомеханика / Я. С. Подстригач, Ю. М. Коляно. - К. : Наукова думка,

2npe

2a

(x -V)

-| np -

2

v0 - sk \enp(x-v0t)

2a

np -

(0 - sk )

4a4

(v0 + sk )2 4a 4

. k2

1976. - 311 с.

Калоеров С. А. Термонапряженное состояние анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами / С. А. Калоеров, Ю. С. Антонов // Прикладная механика. - 2005. - Т. 41. - № 9. - С. 127-136.

Авраменко Л. Е. Термоупругость тонких пологих оболочек под действием движущегося локального источника тепла / Л. Е.Авраменко // Динамические системы. - 2005. - Вып. 19. - С. 31-37.

Болотин В. В. Динамические задачи термоупругости для пластин и оболочек при наличии излучения / В. В. Болотин // Тр. конф. по теор. пластин и оболочек. - Казанский гос. ун-т, Казань. - 1961. - С. 27-32.

Одержано 06.09.2010

Хижняк В.К., Левада В.С., Левицька Т.І. Згин пластини, яка навантажена джерелами тепла, що рухаються

Розв ’язано задачу згину пластини, що має вигляд нескінченої смуги та знаходиться під дією двох точкових джерел тепла, які рухаються в одному напрямку на однакових відстанях від країв пластини.

Ключові слова: термопружність, пластина, нескінченна смуга, згин, джерело тепла, рухоме навантаження.

Khizhnyak V., Levada V., Levitskaya T. Bending of plates loaded with mobile heat sources

The problem ofplate bending, having the form of an infinite strip under the influence of two point heat sources, moving in one direction at equal distances from the edges of the plate is solved.

Key words: thermoelasticity, plate, infinite strip, bend, heat source, moving load.

+

x

n

+

+

x