CC BY
28
УДК 378.147
В. А. Фахретдиноеа, А. Д. Фёдорова
ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕМЫ «НЕПРЕРЫВНАЯ ОПТИМИЗАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ» НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ № 17 ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЕГЭ-2016
В статье подводятся итоги апробации темы «Непрерывная оптимизационная модель» на примере задачи №17 (ЕГЭ-2016). Данный тип задач можно отнести к задачам математического программирования, поэтому возможно решение таких задач, как школьными математическими методами, так и методами, которые рассматриваются в вузовском курсе математики.
Ключевые слова: математическая модель, целевой вектор, целевая функция, максимум функции.
В демонстрационных материалах по подготовке к ЕГЭ предлагается новая задача № 17, имеющая экономико-финансовую направленность [2]. В данной статье рассматривается один из типов такой задачи, в которой используются непрерывные модели (оптимизация производства, протяжённость во времени, объёмы продукции, и т. д.), поэтому такие задачи относятся к оптимизационным.
В «Методических материалах по оцениванию выполнения заданий ЕГЭ с развернутым ответом» отмечается, что возможны различные способы решения данной задачи, в том числе методы, использующие специфические для математической экономики понятия (целевая функция, симплекс-метод и т. п.) [3]. Поэтому нам представляется целесообразным знакомить некоторых учащихся с основными идеями математического программирования, которые могут способствовать решению задач подобного типа.
Приведём пример такой задачи.
Задача. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 га. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 500 ц/га.
Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Школьный способ решения:
Заметим, что на первом поле большая урожайность у картофеля, а на втором — у свёклы, так и засеем наши поля. Тем самым прибыль составит:
/ = 5000 • 10 • 500 + 8000 • 10 • 500 = 25000000 + 40000000 = 65000000 руб.
Отметим, что продавать свёклу более выгодно, поэтому засеем два поля свёклой. Посчитаем прибыль:
8000 -10 • 300 + 8000 -10 • 500 = 24000000+ 40000000= 64000000 руб.
Выращивать свёклу на двух полях невыгодно: потери от меньшей урожайности не компенсируются более высокой выручкой.
Следовательно, первое поле засеем картофелем, второе — свёклой, наибольший доход составит 65 млн руб.
Ответ: наибольший возможный доход фермера равен 65 млн руб.
Теперь приведем способ решения данной задачи, который использует приемы и методы линейного программирования. Основы данной теории изложены в [1]. Вузовский способ решения:
Пусть х га занимает картофель на первом поле, тогда 10 — х га занимает свёкла на первом поле. Пусть у га занимает картофель на втором поле, тогда 10 — у га занимает свёкла на втором поле. Ограничения задачи примут следующий
Г0<х<10
вид: \ я . ,• Общая прибыль от произведённой продукции равна:
тах.
[0 < V < 10
/ = 5000 • (^500х + 300>>> + 8000(^300(40 - х) + 500(40 - у)) Преобразуем функцию: / = 25 • 105 • х +15 4 05 • у + 8000(^3000 - ЗООх + 5000 - 50%) = 25 • 105 • х
+15 • 105 • у + 64 • 106 - 24 • 105 • х - 40 -10® • у = 105 х - 25 • Ю5 • у + 64 • 106
Математическая модель данной задачи имеет вид:
[ 0 < х < 10 , ,
/ = 103х-25-105 • з' + 64-10
тах
|0< )л< 10
Решаем задачу графическим способом (рис. 1).
тах
Рис. 1
1) Область допустимых решений представляет собой квадрат 10x10.
2) Построим вектор п(\;— 25) , т. к. вектор п(\: 25) коллинеарен вектору ¿(4 00000; 2500000).
3) Построим прямую / перпендикулярную вектору Я . Передвигая данную прямую параллельно самой себе в направлении вектора Л, получим, что точкой «выхода» является точка А (точка максимума): А(\0;0) ,
То есть 10 га занимает картофель на первом поле и 10 га занимает свекла на втором поле.
/=405 4 0 + 64 4 0б = 65 • 10б
Ответ: наибольший возможный доход фермера равен 65 млн руб.
Другие примеры таких задач, а также способы их решения были подробно рассмотрены в статье [4].
В данной статье мы бы хотели поделиться опытом преподавания темы «Непрерывная оптимизационная модель» в различных учебных аудиториях (школьной и студенческой). Нами была проведена апробация в университетском профильном 11 классе (2 часа). В силу ограниченности времени удалось познакомить учащихся только со школьными методами решения задачи № 17 (ЕГЭ-2016). Также в мае 2016 г. были проведены занятия (4 часа) в «Псковской инженерно-лингвистической гимназии», где мы познакомили учащихся 11 классов уже с двумя способами решения задачи ЕГЭ № 17. Кроме того, были проведены 2 практических занятия (4 часа) для студентов 2 курса, обучающихся в ПсковГУ по направлению «Педагогическое образование», профиль «Математика».
При объяснении нового материала особое внимание уделялось подробному анализу условия задачи, так как это необходимо для верного составления математической модели задачи. Использовались приёмы совместного обсуждения с учащимися особенностей предложенной задачи и выдвижения гипотез об этапах её решения. Были рассмотрены разные алгоритмы решения таких задач. После совместных рассуждений и поэтапного разбора одной из задач, учащимся предлагалось решить аналогичные задачи самостоятельно. Так как задачи являются довольно сложными, то ребятам предлагалась работа в парах, чтобы была возможность обсуждать ход решения друг с другом. Учитель также управлял работой в парах, направлял мыслительную деятельность учащихся по поиску решения в нужном направлении. Для проверки верного решения использовались карточки с готовым решением.
Таким образом, можно сделать вывод, что качественная работа с задачей на первых этапах её решения позволяет избежать дальнейших ошибок и непонимания со стороны учеников.
Также одна из трудностей, с которой мы столкнулись при решении задач данного типа, состоит в том, что задачи довольно разнообразны и рассуждения, которые нужно проводить для решения таких задач школьным способом, тоже разные. А вот подход с позиции методов математического программирования более алгоритмизирован. Это и было одной из причин, по которой было принято решение о целесообразности знакомства учащихся с основами математического программирования.
В результате апробации занятий можно сделать выводы о том, что оба метода решений учащимся школы были понятны, предпочтительнее для учеников оказался школьный способ, однако находились ученики, которые прибегали к графическому способу решения.
Студентам физико-математического факультета после проведенного курса занятий предлагалось поучаствовать в анкетировании, на основе которого можно сделать следующие выводы.
Всем студентам проведённые занятия понравились, они содержали достаточное количество задач и примеров. На вопрос, какой из способов решения задач вам показался легче (школьный или вузовский), 85 % студентов выбрали вузовский метод. 85 % студентов считают полезным знакомить учащихся 11 классов с основными идеями линейного программирования для решения задачи № 17.
Также студенты оценили степень трудности предложенных задач. Результаты представлены на диаграмме (рис. 2).
Степень трудности решения данных задач
■ не трудно
достаточно
легко трудно
сложно
Рис. 2
Таким образом, можно сделать вывод о том, что студенты, изучающие курс линейного программирования в течение семестра, в решении задач № 17 прибегают к вузовскому способу решения, так как он более алгоритмизирован и позволяет наглядно продемонстрировать решение задачи.
Литература
1. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2001. С. 238.
2. ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень / Под ред. И. В. Ященко. М.: ACT: Астрсль. 2016.
3. Методические рекомендации по оцениванию выполнения заданий ЕГЭ с развёрнутым ответом: [Электронный ресурс]: URL: http://alexlarin.net/ege/2015/metod2015.pdf (дата обращения: 01.03.2016).
4. Фахретдинова В. А., Фёдорова А. Д. Оптимизационная задача с развёрнутым ответом в контрольно-измерительных материалах единого государственного экзамена // Вестник Псковского государственного университета. Серия «Естественные и физико-математические науки». 2015. Выпуск 7. С. 106-111.
Об авторах
Фахретдинова Виктория Александровна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике, физико-математический факультет, Псковский государственный университет, Россия.
E-mail: [email protected]
Федорова Анастасия Дмитриевна — студентка 4 курса физико-математического факультета, Псковский государственный унивсрситст. Россия
E-mail: nastushkafeodorova@mail. ru
V. Fahretdinova, A. Fedorova
EXPERIENCE OF TEACHING THE TOPIC "CONTINUOUS OPTIMIZATION MODEL" ON THE EXAMPLE OF A TASK No. 17 (EGE 2016)
Abstract: The article sums up the teaching topic "Continuous optimization model" on the example of a task No. 17 (EGE-2016). This type of tasks can be carried to problems of mathematical programming. There are two ways to solve this problem : the school one and the university one, using techniques of mathematical programming.
Key words: mathematical model, the target vector, the objective function, the maximum offunction.
About the authors
Dr. Victoriya Fahretdinova, Associate Professor, Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Pskov State University, Russia.
E-mail: [email protected]
Anastasiya Fedorova, fourth-year student, Faculty of Physics and Mathematics, Pskov State University, Russia
E-mail: [email protected]
