Итерационный метод приближенного построения интегральных многообразий медленных движений Текст научной статьи по специальности «Математика»

78

УДК 517.928

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 4(78).

ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ МЕДЛЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ

© 2010 Е.А. Тропкина1

Работа посвящена применению метода интегральных многообразий для исследования сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. При использовании данного метода для решения конкретных задач центральным становится вопрос о вычислении функции, описывающей многообразие. В данной работе предлагается итерационный метод построения интегральных многообразий и производится сравнение этого метода с другими.

Ключевые слова: интегральные многообразия, сингулярные возмущения, итерационный метод, асимптотическое разложение.

Введение

Рассматривается система дифференциальных уравнений вида

х = X(х, у, Ь, е), (1)

еу = У (х,у,Ь,е), (2)

где х € Ят, у € Яп, Ь € Я, е - малый положительный параметр. Функции X и У определены, непрерывны и дифференцируемы при всех х € Ят, у € Б С Яп, Ь € Я, 0 < е < 1 (Б - область в Яп).

Рассмотрим порождающую или вырожденную систему, которая получается из (1), (2) при е = 0

х = X(х, у, Ь, 0), 0 = у (х,у,г, 0).

Пусть второе уравнение этой системы имеет изолированное решение у = ко (х,Ь), то есть существует такое положительное число р, что в окрестности \\у-ко(х,Ь)\\ < р нет других решений этого уравнения, и det В(х,Ь) = 0, В(х,Ь) = Уу(х, ко(х,Ь), 0). Тогда при условии, что собственные числа матрицы В(х,Ь) имеют ненулевые вещественные части, система (1), (2) имеет медленное интегральное многообразие

у = к(х,Ь,е), (3)

1Тропкина Елена Андреевна ([email protected]), кафедра дифференциальных уравнений и теории управления Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

движение по которому описывается уравнением

х = X (х,Н(х,г,е),г,е). (4)

Напомним, что гладкая поверхность Б в Кт х Кп х К называется интегральным многообразием системы (1), (2), если любая траектория (х(г),у(г),г), имеющая хотя бы одну общую точку с поверхностью Б, целиком ей принадлежит.

Уравнение (2) описывает движения со скоростями порядка О (е-1), а равенство (4) - со скоростями порядка О(е), то есть медленные движения. Поэтому интегральное многообразие (3) принято называть интегральным многообразием медленных движений, или медленным многообразием [4].

При использовании метода интегральных многообразий для решения конкретных задач центральным становится вопрос о вычислении функции, описывающей многообразие. Ниже предлагается итерационный метод построения интегральных многообразий и делается сравнение с другими методами.

1. Асимптотическое разложение интегрального многообразия медленных движений

Как правило, точное вычисление интегрального многообразия не является возможным и применяются различные виды приближенного вычисления. Для приближенного вычисления интегрального многообразия обычно используется асимптотическое разложение функции Н(х, г, е) по степеням малого параметра [2]

Н(х,г,е) = Н0(х,г) + еН1(х,г) + ... + екНк(х,г) + ... . (5)

Подставим Н(х, г, е) в уравнение (2) вместо у и продифференцируем по г в силу уравнения (1):

дН дН _> _>

е^г + е^Х (х^ек Нк ,г,е) = У (х^екНк ,г,е). (6)

Для функций, входящих в уравнение (6), можно записать формальные асимптотические разложения

екНк ,г,е) = У ек Хк (

X (х^екНк ,г,е) = ^2 ек Хк (х,Но,..,Нк ,г),

к^0 к^0

У (х,^2 ек Нк, г, е) = В(х, екНк + ^ ек Ук (х, Н0,..., Нк-1,г).

к>0 к>1 к>1

В асимптотическом разложении для функции У учтены соотношения У (х, Н0(х,г),г, 0) = 0 и Уу (х,Н0(х,г),г, 0) = В(х,г). Подставляя эти формальные разложения в (6) и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях е, получаем цепочку равенств, позволяющих последовательно вычислить коэффициенты Н0, ..., Нк формального ряда (5). Исходя из невырожденности матрицы В(х,г), для Нк имеем

Нк = -В-1(х,г)

дНк-1 дНр

Ук - - Ь ~дхХк-1-р

(7)

2. Неявная форма задания медленных многообразий

При анализе многих задач решение порождающего уравнения У(х, у, Ь, 0) = = 0 невозможно получить в явном виде. В таком случае для описания медленной поверхности и поведения решений на ней можно пользоваться неявной формой задания поверхности [6]. Уже во втором приближении для неявно заданного медленного интегрального многообразия получается довольно громоздкое выражение. В связи с этим ограничимся случаем автономной системы

х = X(х, у, е), (8)

еу = У(х, у, е). (9)

Для получения первого приближения продифференцируем функцию У(х, у, Ь, е) по времени в силу системы (1), (2). Получаем

е—У = Уу У + еУхЛ.

а.

Поведение решений на медленном многообразии в первом приближении описывается дифференциально-алгебраической системой уравнений вида

х = X(х, у, е),

Уу У + еУ^ = 0, (10)

где члены порядка О(е) при е ^ 0 следует отбросить. Для получения уравнений второго приближения функцию У(х, у, е) дважды дифференцируем по времени, используя систему (8), (9). Имеем

У + е(Уу)-1УхЛ + е2(Уу^{У^^ + У,,^ - Уху(Уу)-1УxXX-

-УхXy(УуГ'У^ - УуXX(Ууг^ + Ууу(Ууг^(Уу—У^} = 0. (11)

В равенстве (11) члены, содержащие малый параметр в степени выше второй, следует отбросить. Для получения к-го приближения функцию У(х,у,е) следует к раз продифференцировать по Ь в силу системы (8), (9). Для установления справедливости приведенных выше формул получим их явное представление. При нахождении функции к(х,е) в виде асимптотических разложений к = ко + О(е), к = к0 + ек1 + О(е2), к = к0 + ек1 + е2к2 + О(е3) применение уравнений (10), (11) должно давать тот же результат, что и применение уравнения (7). Пусть к = ко. Тогда У(х,ко, 0) =0. Следовательно, ко является нулевым приближением. Пусть теперь к = ко+ек\. Рассмотрим уравнение первого приближения (10) и разложим входящие в него функции в ряд Тейлора в точке (х,ко, 0):

У(х, у, е) = еУу(х, ко, 0)к1 + еУе(х, ко, 0),

Ух(х, у, е) = Ух(х, ко, 0) + еУ,у(х, ко, 0)к\ + еУХе(х, ко, 0),

Уу (х, у, е) = Уу (х, ко,Ь, 0) + еУуу (х, ко,Ь, 0)кл + еУуЕ(х, ко, 0),

X(х, у, е) = X(х, ко, 0) + еXy(х, ко, 0)к1 + еXе(x, ко, 0).

Подставляя полученные разложения в уравнение (10) и приравнивая коэффициенты при е, получаем

к1 = -(Уу )-1[УхЛ (Уу + Уе].

Запишем формулу (7) для к = 1:

Н1 = -В-1(х)

Заметим, что

V дНо Х

II--г— У0

дх

(12)

Х0 = X(х, Н0, 0), V! = 1£(х,Но, 0).

Для того чтобы найти д0, продифференцируем уравнение V(х, Но, 0) = 0 по х:

дх = (Уу) Подставим найденные значения в (12):

Нг = -V )-1[1хХ V)-1 + V]. Далее по индукции может быть доказана справедливость формул для к-го приближения.

3. Итерационный метод построения интегрального многообразия

В ряде случаев при нахождении интегрального многообразия целесообразнее использовать итерационный метод. Обозначим через Нт(г,х,£) сумму т-числа слагаемых разложения (5). Имеем

т

Нт(Ь,х,£) = Но(х,г) + еНг(х,г) + ... + £т Нт(х,г) = ^ £к Нк(х,г).

к=0

Подставляя этот формальный ряд вместо у в уравнение (2), получаем равенство

£~ННт + ^ X (х,Нт,^£) = V (х,Нт,г,£).

Раскладываем V(х,Нт,г,£) в ряд Тейлора в точке (х,Н0,г, 0), слагаемые, содержащие в качестве множителя £ в степени не ниже чем т +1, входят в 0(£т+1), £ ^ 0: дН дН

£—дт— + £—дт— X(х,Нт,г,£) = V(х,Н0,г, 0) +

т

+Vy(х, Н0,г,0)^2£кНк + Vy(х, Н0,г, 0)Н0 - Vy(х, Н0,г, 0)Н0+

к=1 т

+ ££к^к(х, Н0,.., Нк-1, г) + 0(£т+1). к=1

Учитывая, что V(х,Н0,г, 0) = 0 и Vy(х,Н0,г, 0) = В(х,г), а слагаемым порядка 0(£т+1) можно пренебречь, получим:

£~тт~1 + £д Нд— X (х,Нт,г,£) = ВНт + V (х,Нт,г,£).

Таким образом, каждое следующее приближение интегрального многообразия системы (1), (2) находится по рекуррентной формуле вида:

Нт+1 = В

£~Нт + £~Нх~Х (х, Нт,г, £) - V (х, Нт,г, £)

(13)

1

в которой следует отбросить слагаемые порядка 0(ет+1). Установим справедливость указанных выше формул. Для этого в (13) раскроем скобки и выделим коэффициенты при одинаковых степенях е:

т+1

в-

д д

е дЬ (12 е'^) + едх(£ е'^)^2 е"Хк) екУк + ВНо

к=0

д

дх'

Н0 + еВ-

дНо + дНоХ _ У дЬ дх

к=0 2 и-1

к=0

к=1

+ е2 В

дН1 + дк1 + дН0

+ х0 + Х1 - у2 дЬ дх дх

+ ...

... + екВ-

дН

к- 1

дЬ

+ 12 дХХк-1-р- Ук

+....

(14)

Итак, каждое из слагаемых (14) есть не что иное, как уже известное нам представление коэффициентов (7) из асимптотического разложения (5). Таким образом, мы показали эквивалентность предложенных способов построения интегрального многообразия.

1

1

1

4. Примеры

4.1. Случай скалярной быстрой и медленной переменных

Рассмотрим систему двух обыкновенных автономных дифференциальных уравнений

Х = У, еу = Ъу2 + /(х). (15)

Соответствующая вырожденная система имеет вид

х = у, 0 = Ъу2 + /(х). Последнее уравнение дает решение

Но=у - /х

Для описания интегрального многообразия воспользуемся итерационным методом. Получим рекуррентную формулу для приближенного вычисления многообразия для системы (15). Будем искать интегральное многообразие в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра (5). Обозначим через Нт(Ь,х, е) сумму т-числа слагаемых разложения (5):

Нт(Ь,х, е) = Но(х,Ь) + еН1(х,Ь) + ... + етЬт(х,Ь) = ^ екНк(х,Ь).

к=0

Подставляя этот формальный ряд вместо у во второе уравнение системы (15), получаем равенство

дНт-1 ■ ,ц2 . ,п

е дх х = ЪНт + / (х).

Таким образом, каждое следующее приближение интегрального многообразия системы (15) находится по рекуррентной формуле вида:

ЪНт+1 = еННт - /(х).

Но = Но = ■' /(х)

Первое приближение принимает вид:

2ЬН1 + £/'(х) + 2Ь/ (х) = 0. Второе приближение имеет вид:

ЬН2 = _£/''(х)£+Щ'(х) - ,

Применение других методов нахождения интегрального многообразия дает тот же результат.

4.2. Кооперативное явление

Рассмотрим теперь пример так называемого кооперативного явления [4]. Имеется очень много белковых молекул, в особенности ферментов (энзимов), которые имеют более одного связывающего центра для молекулы субстрата. Например, гемоглобин (важный белок — переносчик кислорода в красных кровяных клетках) имеет четыре связывающих центра для молекулы субстрата (кислорода). Реакция между ферментом и субстратом называется кооперативным явлением, если одна молекула фермента после связывания молекулы субстрата в одном активном центре может затем связывать другую молекулу субстрата в другом центре. Разберем в качестве примера случай, когда фермент имеет два связывающих центра. Такая модель включает в себя молекулу фермента, которая может связывать одну молекулу субстрата, образуя один комплекс, а затем связывать другую молекулу субстрата, образуя второй комплекс. Первый комплекс распадается с образованием свободного фермента и продукта, тогда как комплекс с двумя субстратами распадается с образованием комплекса с одним субстратом и продукта. Если мы обозначим свободный фермент Е, субстрат Б, комплекс фермента с одним субстратом С\, двойной комплекс а продукт Р, то схема реакций этой модели будет иметь вид

кг

Б + Е Г С1 -2 Е + Р,

кг (1б)

Б + С1 Г С2 к4 С1 + Р,

где к1, &2, кз, &4, к-1 и к-з — константы скоростей прямых и обратных химических реакций. Обозначая строчными буквами концентрации соответствующих

веществ, запишем систему дифференциальных уравнений, отвечающую схеме (16):

¿в

— = -к1 в е + (к-1 - к3в)с1 + к-зС2, (17)

аЬ

¿С1

—— = к1 в е - (к_ 1 + к2 + кзв)с1 + (к_3 + к4)с2, (18)

аЬ

= кз вС1 - (к-з + к4)с2, (19)

ае

— = -к1 в е + (к-1 + к2)с1, (20)

¿Р

— = к2 с1 + к4 с2 (21)

аЬ

с начальными условиями

в(0) = во, е(0)= ео, с1(0) = а(0) = р(0)=0. (22)

Складывая уравнения (18)—(20), имеем

! .

аг (С1 + с2 + ^ = 0,

отсюда с учетом (22) получим закон сохранения С1 + С2 + е = в0, с помощью которого от системы (18)—(21) можно перейти к системе вида

-ф = -к1 ве0 + (к-1 + к1в - к3в)с1 + (^в + к-3)02,

-С- = к1 ве0 - (к-1 + к2 + кьв + к3в)с1 + (к-3 + кА - к1в)с2,

= кз вС1 - (к-з + к4)с2.

(23)

Вводя безразмерные переменные и параметры

0,1

У1(т) = С1(г)

= ,

«0 ' е0

= к-1 к2

к1в0' 02 = к1в0'

У2(т) = = кз

03 = ~т, к1

С2(г)

е0 '

04 =

е0

т = к1 е0 г, £ = —, «0

к-з к4

05

к1в0'

к1в0'

у1 у2

(24)

приведем систему (23) к безразмерной форме

х = -х + (х - озх + 01)у1 + (04 + х)у2,

У1 \ = ( -(х + 0зх + 01 + 02) (04 + 05 - х) У2 ) V 0зх -(04 + 05)

с начальными условиями х(0) = 1, У1(0) = У2(0) = 0. Эта модель представляет собой сингулярно возмущенную систему дифференциальных уравнений с малым параметром 0 < £ ^ 1. Найдем интегральное многообразие системы (24), применяя рекуррентную формулу (13). Здесь

В-1 = { -(х + 0зх + 01 + 02) (04 + 05 - х) 4 1 \ 0зх -(04 + 05)

0 I -(04 + 05) х - 04 - 05

д У -0зх -(х + 0зх + 01 + 02) где 2 1

д = х + 01 + 02 + 030х2, 0 = (04 + 05)-1 В нулевом приближении имеем

-(04 + 05) х - 04 - 05

-0зх -(х + 0зх + 01 + 02) 0 {-х(04 + 0,5)\ { х/д \ Д\ -0зх ) \0з0х/д/ Вычислим следующее приближение интегрального многообразия:

0х£(05 0з0х - 02)

Н1 =--д4-Х

Н0 = - Д

00зх - (01 + 02 )(04 + 05 + 200зх - 20зх)

0 х/0

-003х3 - (01 + 02)0зх(1 + 20(01 + 02) + 0х(3 + 203))) д \0зх2

Таким образом, интегральное многообразие в первом приближении имеет вид

х

у1 =

(02 + 03050х)0х

д " д4

х [030х3 - (01 + 02)(04 + 05 + 203х - 2030х2)] + 0(£2),

у2

030х

~а

2

(02 + 03050х)0х £--п---X

Д4

х[-030х3 - (01 + 02)03х( 1 + 20(01 + 02) + (3 + 203)0х) + 0(£2).

х

4.3. Модель бимолекулярной реакции

Рассмотрим бимолекулярную реакцию, представленную схемой:

Б ^Х,

к1

2У к-г (25)

X + Z к У + Z, У -Р,

где Б и Р означают субстанции с постоянными концентрациями; константы скоростей химических реакций к1, к-1, к2 положительны, параметр к-1 предполагается большим. Введем малый параметр £ = 1/к-1 в предположении однородности процесса. Динамическое поведение химической системы, отвечающей схеме (25), описывается системой дифференциальных уравнений

^ = 1 - к2ХУ

£= -'2£к1Х2 + 2у + £(к2Х1у - г), (26)

£ % = £к1Х2- У.

Полагая £ = 0 в (26), получим вырожденную систему

^ = 1 - к2ХУ

0 = 2у,

0=у

и соответствующую матрицу Якоби

' 0 2

В~ ' 0 -1

которая является вырожденной в силу det В = 0. Это означает, что метод инвариантных многообразий не может быть применен непосредственно к системе (26). Однако введение новой переменной

Х2 = г + 2у

приводит систему (26) к виду

Х1 \ = ( 1 А + ( -к2У 0 \( Х1 ) Х2 ) \2у ) + I к2у -1 Х2 ) , (27)

£ У = -у + £к1(Х2 - у) .

К ней и применим итерационный метод. Теперь, полагая £ = 0, мы получим вырожденное уравнение системы (27) у = 0, соответствующая матрица Якоби имеет вид В = (-1).

Но = 0, Н1 = -[-£к1Х2\ = £к1Х2,

Н2 = -

дН1(ХЛ - £к1(Х2 - Н1 )2

= £к1Х~2 + 2£2к1Х~2(1 - к1Х~2)

эх \Х2 у

Таким образом, мы можем записать второе приближение медленных движений системы (26):

^ = 1 - £к1к2х1 х2 + £22к1к2х1х2(1 - к1х2) + 0(£3), ^ = -Х2 + £(2 + к2Х1)к1Х22 + £2(2 + к2Х1 )2к1х2(1 - к1Х2) + 0(£3), у = £к1х2 + £22к1х'2(1 - к1х2) + 0(£3), г = Х2 - 2у.

4.4. Система "фермент—субстрат—ингибитор"

В этом разделе рассматривается реакция, в которой участвует фермент Е с одним связывающим центром, за который конкурируют два субстрата [4]. Фермент образует один из двух комплексов, который распадается, давая один из продуктов и исходный фермент. Когда один субстрат связывается с ферментом, это означает, что он ингибирует (т. е. подавляет) реакцию другого субстрата с этим ферментом. Схематически эти реакции могут быть представлены в виде

Б + Е ЕБ ^ Рв + Е, (28)

к-1

кз

I + Е ^ Е1 Ь РI + Е, (29)

к-3

где Б и I — два субстрата, которые конкурируют за один и тот же фермент; Рз и Р1 — продукты двух фермент-субстратных реакций; к1, к2, к3 и к4 (к-1 и к-3) — константы скоростей прямых (обратных) химических реакций. Когда два субстрата конкурируют за один и тот же центр фермента, то систему реакций типа (28), (29) называют полностью конкурентной. В таких реакциях один из субстратов может быть выбран для измерения скорости его реакции в эксперименте. при этом он называется субстратом, а другой — ингибитором. Мы выбрали в качестве ингибитора I; его реакция описывается уравнением (29). Применение закона действующих масс к (28) и (29) дает кинетические уравнения для концентраций реагентов. Рассмотрим кинетические уравнения для субстрата, ингибитора и комплексов фермента, концентрации которых как функции времени г обозначены следующим образом:

в(г) = [Б], г(г) = [1], е(г) = [Е], Са(г) = [ЕБ], Ф) = [Е1].

Кинетические уравнения для этих концентраций в реакциях (28), (29) имеют следующий вид:

— = -к1 в е + к-1 Се, (30) = к1 в е - (к-1 + к2)Се, (31)

сг

сг

— = -к3 ге + к-3 С1, (32) сг

—г = к3 ге - (к-3 + к4)с^, (33)

!е

— = -к1 в е - к3 ге + (к-1 + к2)св + (к-3 + к4)с,. (34)

Соответствующие начальные условия для уравнений (30)—(34) состоят в том, что начальные концентрации ферментных комплексов равны нулю, а начальные концентрации в, г, и е ненулевые:

в(0) = в0, г(0) = г0, е(0) = е0, св(0) = а(0) = 0.

Уравнение сохранения для фермента е получаем немедленно, складывая (31), (33) и (34) и учитывая начальные условия: (се + с + е) =0, откуда следует се + с^ + + е = е0. Исключая е из (30)—(34), и с помощью последнего равенства получаем четыре уравнения для в, г, с3 и с^. Введем безразмерные переменные:

( ) в(г) ( ) г(г) ( ) Се(г) ( ) съ(г) х1 (т )= -, х2(т ) = —, У1(т ) = -, У2(т ) = -,

в0 г0 е0 е0

к1 ео г, £ =—, в =—, 7 = т~,

к1

= в го

— -, 7 =

во во

к-з + к4 Ьв = к2

кзго ' к1во'

К = к-1 + к2 = к-3 + к4 £ = к2 = к4

к1во кз%о к1во кз%о

Тогда четыре уравнения для в, г, ев и ег примут безразмерный вид

Х 1\ = ( -1+ у1 + У2 0 х^ / (Кь - Ьа)у1

Х2 ) V 0 + 1у1 + 1у2 ) V Х2 ) V ^(Кг - Ьг)у2

у1 \ = [ -(Х1 + К в) -Х1 А / у^ / Х1

у2 ) V -в^Х2 -в1(х2 + Кг) ) \ у2 ) \ ^(Х

(35)

с начальными условиями Х1(0) = Х2(0) = 1,у1(0) = у2(0) = 0. Соответствующая вырожденная система имеет вид

^ХТ = -Х1 + (Х1 + К8 - Ье)у1 + Х1у2,

= 7[-Х2 + Х2у1 + (Х2 + Кг - Ьг)у2], 0 = Х1 - (Х1 + Ке)у1 - Х1у2, 0 = в![Х2 - Х2у1 - (Х2 + Кг)у2\. Последние два уравнения имеют единственное решение

у0 = КгХ1/а, у2 = КаХ2/а,

описывающее медленную поверхность системы. Здесь дв^ - определитель матрицы Якоби:

В-1 = ( -(х1 + Ке) -Х1 \ 1 = 1 ( -(ч(х2 + Кг) Х1

-(7Х2 -в7 (Х2 + Кг)) (1 Д\ в!Х2 -(х1 + Ка) где Д = КеХ2 + КгХ1 + КвКг. Применим итерационный метод к системе (35):

Но = (у,о) = ( хК

у2

д

Н = £КгКе ( (Кг + х^в^хлР - ххЯ \ +1 (Кгхл

в^Д4 \-Х1Х2в1Р +(Х1 + Ке)х2Я) Д\, К в Х2

где

Р =(КгЬв - чКвЬгХ + К2Ь3, Q = -(КгЬв - 7КвЬг)х1 + ^К2аЬг.

^в - ^в^г)-^ 1 т /

Следовательно, первое приближение медленных движений представимо в виде: ¿Х1 Кг

¿Х2

¿г д

+ 0(£2), + 0(£2),

£Кв

-ЬвХ1 + вД в [КгХ1 + (К в - Ьв)(х2 + Кг)]Рх1 + ЬвQxlХ2) £К-

-ЬгХ2 + вф (в1Х1Х2ЬгР + [КвХ2 + (Кг - Ьг)(х1 + Кв)^Х2)

у1 = КХ1 + £КК №(Х2 + Кг)Рх1 - х1Х2Я\ + 0(£2),

у2 = КХ2 + £вКК [-^Х1Х2Р + (Х1 + Кв)х2Q\ + 0(£2).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю проф. В.А. Соболеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

т

Литература

[1] Воропаева Н.В., Соболев В.А. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. М.: Физматлит, 2009.

[2] Гольдштейн В.М., Соболев В.А. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем. Новосибирск: Ин-т математики АН СССР. Сиб. отд-ние, 1988.

[3] Лыкова О.Б., Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: 1973.

[4] Murray J.D. Mathematical Biology I. An Introduction. N.Y.: Springer Verlag, 2001

[4] Соболев В.А., Стрыгин В.В. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988.

[5] Schneider K.R., Wilhelm T. Model reduction by extended quasi-steady state assumption //J. Math. Biology. 2000. V. 40. P 443-450.

Поступила в редакцию 3/ii/2010; в окончательном варианте — 3/ii/2010.

ITERATIVE METHOD FOR APPROXIMATE CONSTRUCTION OF SLOW INTEGRAL MANIFOLDS

© 2010 E.A. Tropkina2

The paper is devoted to the application of integral manifolds method for the investigation of singularly perturbed ordinary differential systems. When the method of integral manifolds is used to solve a specific problem, a central question is the calculation of the function in terms of the manifold described. The iterative method of construction of integral manifolds is proposed and the comparison of this method with others is also made.

Key words: integral manifolds, singular perturbations, iterative method, asymptotic expansion.

Paper received 3/ii/2010. Paper accepted 3/ii/2010.

2Tropkina Elena Andreevna (elena_a.85amail.ru), Dept. of Differential Equations and Control Theory, Samara State University, Samara, 443011, Russia.