CC BY
81
3. Храпченко В.М. Об одном способе преобразования многорядного кода в однорядный // ДАН СССР, 1963. - Т. 148, № 2. - С. 296-299.
4. Dadda L. Some schemes for parallel multipliers. - Alta Freg. - May. - 1965. - P. 349-356.
5. Храп ченко В.М. Методы ускорения арифметических операций, основанные на преобразовании многорядного кода // Вопросы радиоэлектроники. - Сер. УП ЭВТ. 1965. - Вып. 8.
- С. 121-144.
6. . . -
ра // Проблемы кибернетики. - М.: Наука, 1967. - Вып. 19. - С. 107-123.
7. Ромм Я.Е., Иванова Л.С. Опенка роста числового диапазона в методе вертикального
/ . - , 2010. - 29 . .
ВИНИТИ 19.11.2010, № 644-В2010.
8. . ., . . -
ленных двоичных кодов с фиксированной точкой / ТГПИ. - Таганрог, 2011. - 56 с. Деп. В ВИНИТИ 19.07.2011, № 350-В2011.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Н.И. Чернов.
Ромм Яков Евсеевич - Таганрогский государственный педагогический институт; e-mail: [email protected]; 347926, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48; тел.: 88634601753; 88634601812; 88634601807; д.т.н.; профессор.
Иванова Анна Сергеевна - e-mail: [email protected]; тел.: +79045001153; аспирантка.
Romm Yakov Evseevich - Taganrog State Pedagogical Institute; e-mail: [email protected]; 48, Initsiativnaya street, Taganrog, 347926, Russia; phone: +78634601753, +78634601812, +78634601807; dr. of eng. sc.; professor.
Ivanova Anna Sergeevna - e-mail: [email protected]; phone: +79045001153; postgraduate student.
УДК 621.82: 621.397
Л.К. Самойлов
ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫБОРА ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ И КОНТРОЛЯ
Частота временной дискретизации низкочастотных сигналов определяется погрешностями трех процессов: дискретизации, восстановления и запаздывания сигнала. Оценка влияния этих трех процессов традиционно базируется на использовании понятия гранич-.
проблемы ограничения их спектра и определения граничной частоты. В работе рассматриваются итерационные алгоритмы нахождения частоты дискретизации реальных сигналов в системах контроля и управления без использования понятия граничной частоты.
Частота дискретизации; восстановление сигналов; запаздывание сигналов; гранич-; .
L.K. Samoylov
THE ITERATIVE ALGORITHMS OF A DETERMINATION OF ANALOGUE SIGNALS SAMPLING FREQUENCY IN THE CONTROL AND THE SUPERVISING SYSTEMS
Sampling frequency of low-frequency signals is defined by errors of three processes: sampling; recovery; signal delay. The estimation of influence of these three processes traditionally is based on the use of concept of boundary frequency. At increasing of accuracy of representation of sensors signals there are problems of obtaining of their finite spectrum and determination of a
value of boundary frequency. In work the iterative algorithms of a computation of sampling frequency of real signals in control and supervising systems without use of concept of boundary frequency are considered.
Sampling frequency; recovery of signals; delay of signals; boundary frequency; control systems.
Параметры объекта управления оцениваются датчиками. Сигналы N датчиков имеют различные спектральные характеристики. Между датчиками и цифровой системой управления находится аналоговый интерфейс, который осуществляет ввод сигналов датчиков в систему.
Аналоговый интерфейс состоит из: 1) N фильтров, ограничивающих спектр сигналов N датчиков; 2) амплитудного мультиплексора (АМХ), осуществляющего временную дискретизацию сигналов N датчиков; 3) аналого-цифрового преобразователя (A/D); 4) генератора импульсов (G), который задает частоту дискретизации датчиков. Цифровая система управления имеет M выходных цифровых сигналов. Эти цифровые сигналы необходимо преобразовать в аналоговые сигналы. Это делается с помощью процедуры восстановления. Различают программное, аппаратное и смешанное восстановление выходных цифровых сигналов системы управления. После процедуры восстановления цифровые выходные сигналы проходят процесс
(D/A). -
, .
Система на рис. 1 может не иметь замкнутого контура управления. В этом случае система (см. рис. 1) называется системой контроля. В системе контроля исполнительные механизмы отсутствуют. Выходные сигналы системы восстанавливаются и поступают на устройства допускового контроля, индикаторы или в
.
Рис. І.Структурная схема системы управления
Каждое устройство системы управления (см. рис. 1), может характеризоваться: величиной погрешности, которую устройство вносит в процесс управления (у), и временем задержки информации (t).
Введем обозначения для устройств системы: датчиков уs и t's , i = 1,2,...N; антиэлайзинговых фильтров yF и tlF , i = 1,2,...N; аналогового мультиплексора (АМХ) уMX и tMX ; аналого-цифрового преобразователя (A/D) у^, tAD ; циф-
ровой системы управления yCY, tCY ; программного восстановления информации Ymp и t'MP, i = 1,2,...N; аппаратного восстановления информации ума и 1мА, i = 1,2,...М, цифроаналогового преобразователя (D/A) уDA tDA; исполнительных
механизмов у ]0M, t]OM .
Кроме этого, каждый канал аналогового интерфейса имеет погрешность наложения спектров (уН), i = 1,2,...N и методическую погрешность восстановления
информации (ур), i = 1,2,...N. Амплитудный мультиплексор и A/D-
преобразователь являются причиной появления динамической погрешности (у1Р).
Система управления рис.1 имеет погрешность за счет запаздывания сигнала в отдельных устройствах (). Погрешности всех устройств некоррелированы между , . Введем понятие погрешности процесса дискретизации - восстановления информации в i-м канале (fdv):
(rl)2 = (rF)2 + yMmx +v2ad + (уМр)2 + (у]ш)2 + vD>a + (уН)2 + (уР)2 + rl. (1)
Погрешность всей системы управления для канала каждого датчика (у^с) равна
у )2 = (у )2+(у0м )2+у+(ftd )2+(у)2. (2)
Погрешность системы контроля для канала каждого датчика ( y'sd ) не имеет погрешности за счет задержек сигналов в отдельных устройствах ():
у )2 = (у )2+(уМм )2+у+у )2. (3)
Выбор частоты дискретизации сигнала i-ro датчика в системе контроля.
Погрешность всей системы ( y‘sd ) для i-ro канала распределяется между отдель-( ). задачи позволяет найти из (3) погрешность, которая выделяется на процесс дис- i- :
(у )2=(уSD )2- [(у; )2+у )2у ]. (4)
Решение аналогичной задачи распределения погрешностей для у позволяет
(1) , -i- :
(ун)2 + (уР)2 = (Ydv)2 - [(уг!)2 +уМмх +y\d + (умр )2 +(уМа )2 +уЭА + Yw]. (5) Прямые задачи распределения погрешностей в (4) и (5) решаются при безусловном выполнении условий
fdV > о; /н >°; fp >°. (6)
Две независимые погрешности (у‘н ) и (у^) определяют две частоты дис-i- :
наложения спектров ((dH ) и частоту дискретизации с точки зрения процессов восстановления информации ((dp).
Из двух частот дискретизации необходимо выбирать большую частоту. Оптимальным вариантом следует считать расчет, когда ю‘н = (др.
Проблемы выбора частоты дискретизации. Современные системы сбора информации и управления имеют разрядность представления сигнала на уровне 14-24 двоичных разрядов [2]. Погрешность величин, участвующих в процессе об—5 —7
работки информации в таких системах, находится в пределах 5 -10 +1-10 . Вы-
сококачественные антиэлайзинговые фильтры имеют погрешность порядка
УР >1-10 4. Такие величины погрешностей фильтров не позволяют применять их в точных системах управления.
Для неограниченного спектра нельзя указать граничную частоту . Соот-
ветственно, нельзя воспользоваться неравенством (8) для определения максимальной производной сигнала. Погрешность наложения спектров у'н имеет существенную величину. Значение частоты 0)'н сравнимо со значением частоты (01р.
Определение максимальной производной низкочастотного сигнала с не.
приводит к наложению спектров. Графики спектральных плотностей исходного сигнала А (ю) и сигнала после дискретизации Ай (ю) показаны на рис. 2.
( . 2)
зависимостью
2
й ю
У н = 2—----------------------------------------------------• (10)
^1 • 2
\А1( ю) йю
0
Формула (10) позволяет получить функцию для определения частоты дискретизации с точки зрения процессов наложения спектров:
юН = ^[Л'(ю), ]. (11)
(7) -
ты (рис. 2):
С01ц = 0,5 -ЮН . (12)
В формуле (12) используется значение из (11). Частота со‘ъ/ из (12) является граничной частотой, за пределами которой можно пренебречь влиянием спек. -
щих учтено в величине у'н .
Граничная частота (12) не задается спектром сигнала А (ю). Эта частота вычисляется и может иметь множество значений для одного А (ю). Значение Ан может быть получено из А (ю) :
Ан = А (юЬ/ ). (13)
По аналогии с неравенством Бернштейна (8) для сигнала с неограниченным спектром можно предложить два значения к-й производной при О = (2)‘ь^ из рис. 2:
И!к < (Оь/)к ■ Д;Ы2к < (о!ь/)к ■ А(о!ь/), к = 1,2,3,.... (14)
А(а>)‘ і
Ао А‘(<а)
0,707-А0 Ла(°) * * ё *
1 \ 1 \
Л * 1 \ 1 \ 1 \ * і / * 1 ^1 _ — - *
■ 1 ►
ю‘¥=0,5<а'н а‘н СО
Рис. 2. Предложенные неограниченные значения к-й производной при СО = СО^
Оба значения Мк из (14) будут неточными. Из рис. 2 нетрудно видеть, что
значение М!к будет завышено в 5-10 раз. Проведенные исследования показали,
что использование значения М2 почти всегда дает существенно заниженный ре.
Точное значение Мк может быть получено вычислением максимального значения функции
Мк (О) < 8ИРо[О- А (О)]. (15)
Неравенство (15) является обобщенным выражением для известного неравенства Бернштейна (8). Функция А (о) может быть задана или аналитически, или
таблично. Функция А (О) должна быть определена во всем диапазоне о от нуля до возможных значений частот дискретизации. Табличная функция может быть задана не во всем диапазоне О. В этом случае табличную функцию необходимо аппроксимировать аналитической функцией, которая представлена во всем диапазоне О.
Табличная функция Л‘(®) позволяет получить табличную функцию О О • А1 (о) и найти максимальное значение производной.
( . 1), -
ние А (О) будет определяться амплитудно-частотной характеристикой этого фильтра. Далее в статье рассматриваются результаты, полученные при использова-[4].
; О
Л(о) = А) I „ „ . (16)
/2п , /2п
О3 + О
.
Нв = (----------)2(----------------------------------------г)2п. (18)
В формуле (16) величина п - это порядок фильтра. Частота ю8 является так называемой «частотой среза фильтра» на уровне 0,707 (рис. 2). Если подставить значение А (о) из (16) в неравенство (15), то можно получить
п _ к 1 к —
Мк < А) •оО(--------)2(-----)2п. (17)
п п _ к
(17) . -
п (17)
М‘к из (8) и отличается от него на коэффициент Нв :
^ А -V
п п _ к
Проведенные расчеты показали, что всегда
0,707 < Нв < 1. (19)
Эти результаты исследования позволяют утверждать следующее. Максимальная производная для сигналов с неограниченным спектром может быть вычислена для заданного спектра с небольшими вычислительными затратами. Скорость изменения спектра слабо влияет на значение максимальной производной (19).
Итерационный алгоритм для определения частоты дискретизации низкочастотных сигналов с неограниченным спектром. Как было по казано ранее,
две независимые погрешности (уН) и (ур) определяют две частоты дискретизации сигнала ьго канала: ю1Н и (Ор. Обозначим сумму этих погрешностей (5) в виде
Унр = (Ун )2 + (Ур )2. (20)
(20) -
.
,
Он о р
ОН
< V . (21)
Типичное значение V находится в пределах V = 0,01 0,05 . Минимальная частота дискретизации будет при выполнении равенства О = сО^. Оптимальное решение (21) может быть получено в результате перераспределения погрешностей (уН) и (ур) внутри постоянной суммы (20). Блок-схема итерационного алгоритма приведена на рис. 3. Итерационный процесс начинается при условии, что
УН =УР Ч0,5Унр .
Две частоты дискретизации (®Н и ) вычисляются по формулам (9) и
(11). Если условие (21) не выполняется, то производится перераспределение погрешностей (уН) и (ур) с задаваемым шагом. Итерационный процесс закончится, когда выполнится условие (21). Устойчивость итерационного процесса будет выполняться при монотонном убывании функции спектральной плотности сигнала и использовании восстанавливающих операторов на основе интерполяционной формулы Лагранжа. Процесс является завершенным, когда выполнится условие (21). Устойчивость итерационного процесса будет выполняться при монотонном убывании функции спектральной плотности сигнала и использовании восстанавливающих операторов на основе интерполяционной формулы Лагранжа.
1Г
Ун ~Ун(1 0,5V) Ур — л! У нр ~(Ун )
Рис. 3. Предлагаемый алгоритм нахождения минимальной частоты дискретизации с граничной частотой
Необходимая скорость работы АМХ и А/D в системе контроля рис. 1 ( «т ) может быть определена суммированием отдельных частот дискретизации:
N
т. = ^md . (22)
i=1
Предлагаемый алгоритм нахождения минимальной частоты дискретизации позволяет проводить процесс оптимизации системы контроля (рис. 1). Приведем .
Антиэлайзинговые фильтры уменьшают эффект наложения спектров. Это должно приводить к снижению частоты дискретизации.
Но фильтры имеют инструментальную погрешность ур, которая уменьшает
значение погрешности у1Нр. Уменьшение у1Нр приводит к увеличению частоты .
порядка фильтра n. Ответ можно получить путем расчетов по предлагаемым ите-
.Не,| Л Ун Ун
oc/jj >odp
■ ( Ур = V Тнр ~ ( Ун )
рационным алгоритмам. Частота дискретизации сигнала (mld) уменьшается при увеличении порядка восстанавливающего полинома. Но при этом растет погрешность устройства аппаратного восстановления yMa, чт0 приводит к увеличению .
Выбор частоты дискретизации сигнала i-ro датчика в системе управления с учетом влияния задержек. Изменение состояния объекта управления (см. рис. 1) фиксируется датчиками. На основании сигналов датчиков цифровая система управления вырабатывает сигналы для исполнительных механизмов. Исполнительные механизмы реагируют на изменение состояния объекта управления
с временной задержкой. Временная задержка информации в i-м канале (^) определяется от момента изменения состояния объекта управления до момента начала воздействия исполнительного механизма:
t'L = ts ^ tF ^ tMX ^ tAD ^ tCY ^ tMP ^ tMA ^ tDA ^ tOM . (23)
Некоторые составляющие суммарного времени задержки (23) не зависят от выбора значения частоты дискретизации. Обозначим их сумму как
tcns = ts ^ tMX ^ tAD ^ tF ^ tDA ^ tOM . (24)
Значение (23) запишется в виде
t'L = tCY + tMP + tMA + tcns . (25)
В момент начала воздействия исполнительного механизма на объект управления он уже будет в другом состоянии. Максимальная скорость возможного изменения состояния объекта может быть определена первыми производными от
величины A'(О) из (15):
Mimax (О) ^ SUPo[ol‘ A (о)]. (26)
Максимальное значение приведенной погрешности за счет задержки информации в контуре управления будет равно
M1 • tl
Yd = . (27)
А>
В формуле (27) величина A> - максимальное значение амплитуды сигнала i- . (27) -
ности y'dv и увеличит требуемую частоту дискретизации. Для системы управления
(2)
(fdv )2 = (Zsd )2 - [(Y )2 + (Yom )2 + YCy + (Ytd )2 ]. (28)
Далее расчеты производятся по формулам, аналогичным для алгоритма рис. 3.
Структура предлагаемого итерационного алгоритма по расчету частоты дискретизации с учетом временных задержек [5], на первом шаге алгоритма учитываются только постоянные задержки t‘cns (24):
4 = t1 .
Ъ cns
На первом шаге (m=1) вычисляется значение частоты дискретизации, равное (О У . Величина (Od У позволяет определить значения времен задержки осталь-:
1CY = J1(°d );
ti = J (О ). (29)
lMP J 2( °d >’
tMA = J3(°d )•
Полученные значения времен задержки позволяют уточнить величину t^
(25). На втором цикле (m=2) полученное значение (Od )2 всегда больше (Od У.
Это приводит к уменьшению времен t'F, t'MP, t'MA и снижению частоты. Итерационный процесс закончится при выполнении условия
(Ог1 -(Od)m <а (30)
(oi)m
Устойчивость итерационного процесса обеспечивается монотонным характером зависимостей времен задержек от частоты (29).
Проведенный анализ полученных алгоритмов показывает, что системы управления предъявляют повышенные требования к частоте дискретизации [4].
Предлагаемые итерационные алгоритмы позволяют проводить процесс оптимизации систем управления и контроля. Оптимизация состоит в перераспределении суммарной погрешности системы между устройствами системы и процессами дискретизации - восстановления.
Обычно итерационные алгоритмы рис. 3 и 4 реализуются в виде приклад.
база данных приборов, участвующих в процессе дискретизации - восстановления информации и алгоритмов восстановления.
Наличие данных yf ,ymx ,Уad ,ymp yma yda ,yh ,yp yip , Ys yom ycy ,
t's>t'F, tMX , tAD , tCY , t‘MP, t‘MA, tDA, tOM, A (О) для типичных устройств конкретных систем управления позволит оперативно получать оптимальный результат.
Для получения оптимального результата желательно иметь: время задержки реакции датчика; время задержки реакции исполнительного механизма; зависимость времени задержки низкочастотного фильтра от порядка фильтра; величины динамических погрешностей АМХ и A/D [5]; зависимость времени задержки информации при программном восстановлении от порядка восстанавливающего по.
В системах управления и контроля стараются обеспечить режим конечных спектров сигналов датчиков. Это необходимо для получения граничных частот . -числяются на основе величин граничных частот с помощью неравенства Берн.
В статье показано, что максимальные производные сигналов можно вычислить для случая неограниченных спектров без использования понятия граничной .
При дискретизации аналоговых сигналов есть две частоты дискретизации: 1) ; 2) -
. -ант будет при равенстве этих двух частот.
Предлагаемый в статье итерационный алгоритм нахождения оптимальной частоты дискретизации позволяет проводить оптимизацию системы путем выбора
порядка фильтра и степени восстанавливающего полинома. Задержки сигналов в устройствах систем управления являются причиной появления дополнительной
. . В статье предлагается итерационный алгоритм нахождения оптимальной частоты дискретизации с учетом влияния задержек информации в отдельных устройствах систем управления и контроля.
Рис. 4. Предлагаемый алгоритм нахождения минимальной частоты дискретизации без использования понятия граничной частоты
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. ТревисДж. LabVIEW для всех. - М.: ДМК Пресс: Прибор комплект, 2005. - 544 с.
2. Редькин ПЛ. Прецизионные системы сбора данных семейства MSC12xx фирмы Texas Instruments: архитектура, программирование, разработка приложений. - М.: Издательский дом «Додэка-XXI», 2006. - 608 с.
3. Самойлов Л.К., Жуков А.В. Выбор частоты дискретизации реальных сигналов // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2009. - № 1.
4. Samoylov L.K. The account of influence of time delays of processing of signals in digital control systems” in The 2nd Chaotic Modeling and Simulation International Conference, Chania, 1-5 June 2009.
5. Самойлов Л.К. Динамические погрешности аналоговых мультиплексоров // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. - № 2 (115). - С. 118-122.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Я.Е. Ромм.
Самойлов Леонтий Константинович - Технологический институт федерального автономного государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: +78634311193; д.т.н.; профессор.
Samoilov Leonty Konstantinovich - Taganrog Institute of Technological - Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: [email protected]; 44, Nekrasovsky, Taganrog, 347928, Russia; phone: +786343111193; dr. of eng. sc.; professor
УДК 681.51.01
A.B. Семенов, A.P. Г айдук
СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ СЛЕДЯЩИХ
СИСТЕМ
Рассматривается синтез двумерного устройства управления электромеханической дискретной следящей системы по заданным показателям качества. Введена классификация дискретных неминимально-фазовых одномерных объектов управления. Предложен метод синтеза дискретных неминимально-фазовых астатических следящих систем с многомерным устройством управления. Метод позволяет обеспечить показатели качества
- -ся режиме не хуже заданных. Рассмотрен численный пример синтеза дискретной астатической системы управления неминимально-фазовым объектом.
Следящая система; неминимально-фазовый; двумерное устройство; цифровой; ; .
A.V. Semenov, A.R. Gaiduk SYNTHESIS OF DISCRETE NONMINIMUM-PHASE TRACKING LOOP SYSTEM
Synthesis of two degree of freedom control device of discrete tracking loop system by specified quality parameters is investigated in the given paper. Classification of nonminimum-phase one-dimensional control object is suggested. Method of synthesis of discrete nonminimum-phase astatic tracking loop systems with multivariable control device is offered. The method provides specified quality parameters of synthesized tracking loop system both for transient and stable mode. Example of synthesis of discrete astatic tracking loop system of nonminimum-phase object is described.
Ttracking loop; nonminimum-phase; two degree of freedom; digital; control; control quality.
Рассматриваемая в данной работе электромеханическая следящая система (СС) предназначена для угловых перемещений некоторого объекта - нагрузки. Функциональная схема системы приведена на рис. 1, где: ИП - измерительный преобразователь; ЦУУ - цифровое устройство управления; ЦИ - цифровой инвертор, ИД - исполнительный двигатель, Р - редуктор.
