CC BY
14
Литература
1. Шугрина Е.С. Соглашения о перераспределении полномочий между муниципальными образованиями // Практика муниципального управления. - 2010. - № 10. - С. 49.
2. Кузнецов Д.С. Отдельные вопросы по изъятию земельных участков для муниципальных нужд // Сибирский юридический вестник. - 2010. - № 2 (49). - С.171.
3. Кузнецов С.П. О дефиниции «вопросы местного значения муниципальных образований» // Проблемы права. - 2013. - № 1. - С.101.
4. Мустакимов Ш.Р. О контрольных полномочиях органов местного самоуправления в сфере землепользования // Административное и муниципальное право. - 2010. - № 1. -С.212.
5. Михалычева Ю.С. Полномочия органов местного самоуправления в сфере земельных отношений: Дис. ... канд. юрид. наук. - М., 2007. - С.93.
6. Пашова М.С., Пашов Д.Б. Правовое регулирование резервирования земель для государственных или муниципальных нужд // Аграрное и земельное право. - 2010. - № 3. -С.242.
Literatura
1. Shugrina E.S. Soglasheniya o pereraspredelenii polnomochij mezhdu municipal'nymi obrazovaniyami // Praktika municipal'nogo upravleniya. - 2010. - № 10. - S.49.
2. Kuznecov D.S. Otdel'nye voprosy po iz"yatiyu zemel'nyh uchastkov dlya municipal'nyh nuzhd // Sibirskij yuridicheskij vestnik. - 2010. - № 2 (49). - S.171.
3. Kuznecov S.P. O definicii «voprosy mestnogo znacheniya municipal'nyh obrazovanij» // Problemy prava. - 2013. - № 1. - S.101.
4. Mustakimov SH.R. O kontrol'nyh polnomochiyah organov mestnogo samoupravleniya v sfere zemlepol'zovaniya // Administrativnoe i municipal'noe pravo. - 2010. - № 1. - S.212.
5. Mihalycheva YU.S. Polnomochiya organov mestnogo samoupravleniya v sfere zemel'nyh otnoshenij: Dis. ... kand. yurid. Nauk. - Moskva, 2007. - S.93.
6. Pashova M.S., Pashov D.B. Pravovoe regulirovanie rezervirovaniya zemel' dlya gosudarstvennyh ili municipal'nyh nuzhd // Agrarnoe i zemel'noe pravo. - 2010. - № 3. - S.242.
УДК 33.330.46
Соискатель А.Н. МАНИЛОВ
(СПбГАУ, [email protected])
ИТЕРАТИВНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ РАЗМЕЩЕНИЯ С НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИЕЙ
ЗАТРАТ НА ПРОИЗВОДСТВО
Исследования, проведенные в ряде организаций, показали, что производственно-транспортные задачи размещения обладают свойствами, позволяющими сформулировать следующие приближенные утверждения [1]:
- в лучший вариант с к предприятиями входят пункты производства с ненулевыми мощностями, входившие в лучший вариант с (к-1) предприятиями, и, обратно, лучший вариант с (к-1) предприятиями может быть получен из лучшего варианта с к предприятиями путем исключения одного из предприятий;
- относительная загрузка предприятий в условно-оптимальном плане (в котором суммарная номинальная мощность предприятий существенно превосходит суммарный спрос потребителей) характеризует предпочтительность использования тех или иных предприятий в оптимальном плане.
Достаточной предпосылкой для применения итеративного алгоритма считается следующее (обычно соблюдаемое для ремонтных предприятий) условие [2]: для всех рассматриваемых типоразмеров мощностей каждого предприятия затраты на производство единицы продукции последовательно повышаются при уменьшении мощностей предприятий.
Цель исследования. Если рассмотреть общую схему итеративного алгоритма решения производственно-транспортных задач с нелинейной функцией затрат на производство, то следует выявить некоторые особенности решения таких задач размещения машинно-технологических станций. Эти особенности, несомненно, должны быть учтены при решении задачи и при составлении итеративного алгоритма. Целью данной статьи является пошаговое описание алгоритма решения однопродуктовой задачи размещения с нелинейной минимизирующей функцией затрат на производство.
Материалы, методы и объекты исследования. Для составления простейшего варианта алгоритма, реализующего сформулированные положения, составляют матрицу транспортной задачи линейного программирования, в которую в качестве поставщиков записывают все потенциальные предприятия, а в качестве потребителей - потребителей задачи размещения. Мощность каждого поставщика-предприятия принимается равной максимально возможной его мощности, спрос каждого потребителя - реальному расчетному спросу. Показатели связи между у'-м предприятием и г-м потребителем рассчитываются как сумма затрат на транспортировку объекта ремонта между соответствующими пунктами и затрат на ремонт одного объекта в '-м предприятии при мощности предприятия, записанной в матрицу. Как известно, для возможности решения транспортной задачи суммарное предложение предприятий-поставщиков должно быть равно суммарному спросу потребителей. Однако сумма максимальных мощностей всех потенциальных предприятий заведомо больше спроса потребителей. Для достижения баланса вводится фиктивный потребитель с соответствующим спросом [3].
Если т - количество реальных потребителей г = (1, т), то номер-индекс (т+1) следует отнести к фиктивному потребителю. После решения транспортной задачи (с производственно-транспортными показателями связи Су) получим некоторый план, в
котором предприятия полностью загружены поставками от реальных и фиктивного потребителей. По каждому предприятию определяется коэффициент интенсивности его загрузки К., равный отношению мощности, неиспользуемой реальными потребителями, к полной номинальной мощности, с которым предприятие занесено в матрицу.
Предприятие с Ки = 1 (то есть те, которые полностью загружены фиктивным
потребителем, и, следовательно, совершенно не используются реальными потребителями) исключается из дальнейшего расчета. Мощность предприятия с наибольшим из коэффициентов К, уменьшается соответственно ее использованию реальными предприятиями; в связи с этим пересчитывается вектор-строка производственно-транспортных затрат этого предприятия, так как при уменьшении мощности изменяются (т.е. увеличиваются) удельные затраты на производство.
С учетом внесенных изменений (устранение некоторых предприятий, то есть приписывание им нулевой мощности; уменьшение мощностей ряда предприятий, пересчет элементов матрицы затрат Су, связанных с модифицированными предприятиями)
составляется новая транспортная задача. После ее решения вновь вносятся изменения в мощности предприятий и связанные с ними изменения производственно-транспортных затрат и т. д., пока по всем предприятиям не будет достигнута полная загрузка номинальных (введенных в матрицу) мощностей поставками от реальных потребителей. Иными словами, мы начинаем расчет, вводя заведомо избыточные мощности предприятий, получаем некоторые условно-оптимальные планы с относительно низкими затратами (так как чем
выше мощности, тем ниже удельные издержки на производство и тем больше возможность прикрепления потребителей к предприятиям, наиболее дешевым для них по транспортным и производственным издержкам). Далее, уничтожая избыточность мощностей, постепенно приближаемся к реальному плану, в котором минимальные мощности соответствуют реально используемым потребителями мощностям, а следовательно, и номинальные производственные затраты при этих мощностях соответствуют реальным затратам в системе.
Полученный план размещения можно считать оптимальным в той степени и в том смысле, в которых его оптимальность обеспечивается использованием изложенной приближенной оптимизационной процедуры.
Результаты исследования. Реализация итеративного алгоритма может отличаться многими существенными чертами. Рассмотрим некоторые из них:
1. Задание вариантов развития (мощностей) предприятий. Алгоритм может быть реализован как при вариантной, так и при безвариантной постановке задачи [2]. При вариантной постановке, т. е. когда по каждому предприятию задан ряд типоразмеров мощностей, при модификации мощности по некоторому предприятию естественно переходить к следующему ближайшему типоразмеру. Например, если заданы типоразмеры 0, 3, 6, 9 тыс. рем. в год и на рассматриваемом шаге расчета (итерации) Ки = 0 при
номинальной мощности 9 тыс. рем. естественно перейти к следующему типоразмеру, т. е. на следующей итерации рассматривать 6 тыс. рем. (а не 0) в качестве номинальной мощности предприятия.
При безвариантной постановке задачи, напротив, естественно выбирать модифицированную номинальную мощность в соответствии с достигнутой на предыдущей итерации реальной загрузкой предприятия. В рассматриваемом случае, следовательно, непосредственно после 9 тыс. рем. будет задана нулевая мощность, т. е. предприятие устраняется из расчета.
Определенная постепенность модификации мощностей, как следует полагать, обеспечивает большую точность расчета, т. е. меньшую вероятность отклонения от оптимума. Если при этом учесть также неудобство аналитического задания функций приведенных затрат для значительных интервалов изменений алгоритма, в связи с необходимостью учета многочисленных факторов, влияющих на величину приведенных затрат, то вариантную постановку задачи следует считать предпочтительной.
В отдельных случаях, когда варианты развития предприятий задаются с небольшим шагом, количество вариантов для одного предприятия может быть довольно большим (например, 15-20), хотя можно избежать этого уже при постановке задачи. Чрезмерно длительные переходы от максимальных мощностей к конечным можно устранить, введя в алгоритм (программу) дополнительное условие. Это условие обеспечивает дифференцированный выбор модифицируемых значений мощностей в зависимости от величины коэффициента интенсивности для того или иного предприятия на предыдущей итерации.
2. При описании схемы алгоритма принималось однозначное направление модификаций мощностей - от больших к меньшим. Однако можно представить ситуацию, когда предприятие на определенных итерациях имеет относительно высокие значения Ки , в связи с чем, его мощность подвергается модификации в сторону понижения. Но на следующих итерациях его загрузка весьма высока и может оказаться целесообразным повышение мощности. Таким образом, в алгоритм может быть включена возможность двусторонней модификации мощностей по результатам очередной итерации - как в сторону уменьшения, так и в сторону повышения. Допущение такой «игры» мощностей делает алгоритм более гибким и позволяет надеяться на повышение точности расчета.
3. На одной итерации может производиться модификация мощностей по различному количеству предприятий. Следует полагать, что минимальное количество модификаций, например, по одному предприятию на каждой итерации, обеспечивает наибольшую точность
алгоритма. С другой стороны, стремление уменьшить время расчета стимулирует более быстрое устранение избыточных мощностей. При этом требования могут меняться на протяжении расчета.
Например, если на первой итерации по многим потенциальным предприятиям вводятся весьма высокие мощности, причем очевидно, что по большинству предприятий эти мощности должны будут снизиться на несколько типоразмеров, то явно не рационально тратить трудоемкую итерацию на каждое снижение мощности по каждому предприятию в отдельности.
На более поздней стадии того же расчета, когда каждое изменение мощностей связано с существенными перераспределениями загрузки предприятий, имеет смысл более осторожная, постепенная модификация мощностей.
В других задачах ситуация может быть иной (небольшие задачи с малой трудоемкостью одной итерации; повышенная ответственность расчета; небольшая избыточность суммарной мощности уже на 1-й итерации). Здесь может оказаться целесообразным сильное ограничение количества допустимых на одной итерации модификаций с самого начала. Очевидно, что удобная программа, реализующая алгоритм, позволяет принимать с учетом характера конкретной решаемой задачи те или иные решения относительно числа одновременно модифицируемых предприятий.
4. Количество допустимых на одной итерации модификаций мощностей (напомним, что по одному предприятию может быть проведена одна модификация) связано с критерием целесообразности модификации. Ранее [2] давалась несколько неопределенная формулировка этого критерия «относительно малая или большая величина коэффициентов интенсивности Ки ». В имеющихся в литературе описаниях алгоритмов данного типа эта
неопределенность снимается непосредственно в ходе решения путем анализа результатов каждой итерации и вынесения субъективных оценок о целесообразности тех или иных модификаций [3]. Такую процедуру можно в исключительных случаях признать целесообразной, например, при размещении таких объектов, как цементные заводы, шахты и т. п. Однако при расчете массовых задач развития и размещения машинно-технологических станций более предпочтительна стандартизованная процедура, позволяющая полностью автоматизировать проведение расчетов. Для этой цели было предложено использование нормативных коэффициентов интенсивности, последовательно изменяющихся на каждой итерации [2].
Целесообразность модификации мощности того или иного предприятия определяется путем сравнения величины коэффициента интенсивности по этому предприятию с величиной нормативного коэффициента на данной итерации.
5. Наконец, использование модели транспортной задачи не является обязательным условием для применения рассматриваемого алгоритма. Модель транспортной задачи накладывает определенные условия на вид ограничений и оптимизируемых неизвестных задачи размещения [4]. Хотя к формальному виду транспортной модели могут быть приведены задачи размещения с рядом дополнительных не транспортных ограничений, в отдельных случаях, возможно такое усложнение постановки, при котором она не сможет быть адекватно отражена транспортной моделью. В этом случае, т. е. для расчета оптимальных распределений поставок на каждой итерации при ряде дополнительных условий-ограничений, возможно использовать более общие модели линейного программирования [5]. При этом изложенная схема применения итеративного алгоритма остается в силе. Использование общей модели линейного программирования требует применения на каждой итерации соответствующих методов оптимизации (обычно на базе симплексного метода), существенно увеличивающих трудоемкость решения.
Выводы. Приведенный ниже алгоритм реализует модификацию итеративного алгоритма, в котором:
- задача размещения ставится в вариантной постановке;
- на каждом шаге решается одна транспортная задача;
- удельные приведенные затраты задаются по каждому варианту развития каждого предприятия при подготовке исходной информации;
- мощности предприятий на каждом шаге в зависимости от анализа результатов предыдущей итерации могут модифицироваться как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения;
- максимальное количество предприятий, подвергающихся модификации мощностей на одном шаге, задается по желанию оператора;
- пересчет матрицы производственно-транспортных затрат после изменения мощностей осуществляется автоматически;
- для определения направления модификации мощностей используют автоматически формирующийся переменный нормативный коэффициент интенсивности.
Блок-схема алгоритма приведена на рисунке.
Установление начального режима
Мощности предприятий для первой итерации принимаются максимальными
3 Расчет фиктивного спроса
5 Решение транспортной задачи
г
6 Печать результатов итерации
III
Изменение режима
Модификация нормативного коэффициента интенсивности
Расчет коэффициентов интенсивности использования предприятий
Формирование транспортно-производственной матрицы
I Анализ результатов итерации
\
II Принятие решения о продолжении расчета
\
IV Прекращение расчета
9 Модификация мощностей
1
2
4
7
8
Рис. Блок-схема итеративного алгоритма решения задачи размещения в вариантной постановке
Будем обозначать г{ - номер варианта развития, с которым некоторое предприятие входит в матрицу на 1-й итерации.
Оператор 1. Выбор режима работы алгоритма. При этом задаются константы %1 и Х2 максимальное количество предприятий, по которым могут быть соответственно увеличены и уменьшены мощности на одном шагу. При %1 = Х2 = 1 после каждой итерации только по одному предприятию мощность может быть увеличена и по одному предприятию - уменьшена (если соответствующие модификации предусмотрены оператором 9).
При х = Х2 = п модификации мощностей не ограничиваются.
Задается исходная величина нормативного коэффициента интенсивности для первой итерации.
Оператор 2. Вектор мощностей для первой итерации формируется путем включения по каждому предприятию максимально возможных мощностей , т. е.
М] = ] = (Щ). (1)
Оператор 3. Расчет величины фиктивного спроса
п т
<+1 = 1 ы] -X а. (2)
]=1 '=1
Спрос (т+1)-го фиктивного потребителя уравнивает суммарный спрос потребителей и суммарную мощность предприятий.
Оператор 4. Формирование производственно-транспортной матрицы затрат к очередной 1-й итерации по формуле:
'С]+С] а=^ С] а = т +1)
Здесь к затратам С] на перевозку объекта ремонта между каждым потребителем
(кроме фиктивного (т+1)-го и каждым предприятием добавляются затраты на ремонт объекта в ]-м предприятии при Т1 -м варианте его развития.
Затраты на связь предприятий с фиктивным потребителем (которые не имеют физического смысла и с формальной точки зрения могут быть произвольны по величине, но обязательно одинаковы для всех предприятий); обычно принимаются Ст+1 = 0 ; естественно,
производственные затраты не добавляются.
Оператор 5. Решение транспортной задачи. Определение величины поставок от всех потребителей ко всем предприятиям, минимизирующих производственно-транспортные затраты. Расчет величины затрат по полученному оптимальному плану данной итерации.
Оператор 6. Печать результатов итерации:
- оптимальный для данного набора введенных мощностей план поставок объектов ремонта на предприятия;
- величины функции затрат по этому плану; величины фиктивного спроса на данной итерации.
Эта информация (которая может выдаваться на печать и в неполном объеме) позволяет следить за ходом решения, вмешиваться в процесс решения, изменяя режим алгоритма (см. оператор 1) и, наконец, устанавливать момент окончания просчетов
Оператор 7. Модификация нормативного коэффициента интенсивности в1.
1Г-1 Л 1 ____
С
в1 =
в-1 - 0,1, при в -1 > 0,1
. (4)
в-1 ■ 0,5, при в'-1 < 0,1
Оператор 8. Расчет коэффициентов интенсивности К по всем предприятиям:
+1, — К . =—-- (- = 1, п) . (5)
и Nг<
Оператор 9. Модификация мощностей предприятий.
1. Просмотр величин Ки., начиная с минимальной (минимальные значения К.
соответствуют наиболее загруженным относительно введенных мощностей предприятиям). Мощности, с которыми предприятия будут участвовать в следующей (¿+1)-й итерации,
увеличиваются на один типоразмер при коэффициенте интенсивности Ки. < 61 (если на 1-й
итерации предприятие не входило в матрицу со своей максимально возможной мощностью). Модификацию мощностей проводят последовательно для всех предприятий, у которых
Ки. <6, в порядке возрастания коэффициентов Ки. до тех пор, пока количество модифицированных мощностей не станет равным величине %1 (см. оператор 1).
2. Последовательный просмотр предприятий с наибольшими коэффициентами Ки.,
т.е. наименее загруженных предприятий. Просмотр ведут упорядоченно, начиная с предприятий, соответствующих большим Ки. и далее в порядке уменьшения
коэффициентов. Мощность предприятий, у которых коэффициенты интенсивности больше нормативного, модифицируют, уменьшая на один шаг-типоразмер, если такое уменьшение возможно, то есть если на 1-й итерации предприятие уже не входило в матрицу с наименьшим из возможных вариантов развития.
Модификацию мощности в сторону уменьшения производят до тех пор, пока не будут
модифицированы все предприятия с Ки. > 61, либо количество модификаций не достигнет
заданной (оператор 1) величины х2, либо при дальнейшем снижении мощности хотя бы одного предприятия суммарная мощность предприятий на следующей (¿+1)-й итерации будет меньше суммарного спроса потребителей. Понятно, что контроль величины суммарной мощности предприятий на каждом этапе модификации мощностей ведут с учетом уже сделанных модификаций (в том числе и в сторону увеличения мощностей).
Описанный итеративный алгоритм решения задачи размещения с нелинейной функцией затрат на производство позволяет применить его для решения задачи размещения машинно-технологических станций, поскольку все те особенности решения задачи размещения, которые были рассмотрены в статье, справедливы и для задачи размещения ремонтной базы.
Литература
1. Гаврилов А.И. Региональная экономика и управление. - М.: Юнити-Дана, 2002. - 239 с.
2. Манилов А.Н. Особенности решения производственно-транспортных задач размещения с нелинейной минимизирующей функцией затрат// Известия Санкт-Петербургского государственного аграрного университета. - 2017. - №1(46). - С. 167-173.
3. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. - М.: Факториал, 1998. -176 с.
4. Романенко И.А. Методические подходы к решению задач территориального размещения сельскохозяйственного производства с использованием экономико-математического моделирования// Экономика сельскохозяйственных и перерабатывающих предприятий. -2010. - №9. - С. 23-25.
5. Mанилов А.Н. Постановки и модели многопродуктовых задач размещения машинно-технологических станций// Известия Международной академии аграрного образования. -2017. - №33. - С. 83-87.
Literatura
1. Gavrilov A.I. Regional'naya ehkonomika i upravlenie. - M.: YUniti-Dana, 2002. - 239 s.
2. Manilov A.N. Osobennosti resheniya proizvodstvenno-transportnyh zadach razmeshcheniya s nelinejnoj minimiziruyushchej funkciej zatrat// Izvestiya Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. - 2017. - №1(46). - S. 167-173.
3. Vasil'ev F.P., Ivanickij A.Yu. Linejnoe programmirovanie. - M.: Faktorial, 1998. - 176 s.
4. Romanenko I.A. Metodicheskie podhody k resheniyu zadach territorial'nogo razmeshcheniya sel'skohozyajstvennogo proizvodstva s ispol'zovaniem ehkonomiko-matematicheskogo modelirovaniya// EHkonomika sel'skohozyaj stvennyh i pererabatyvayushchih predpriyatij. -2010. - №9. - S. 23-25.
5. Manilov A.N. Postanovki i modeli mnogoproduktovyh zadach razmeshcheniya mashinno-tekhnologicheskih stancij// Izvestiya Mezhdunarodnoj akademii agrarnogo obrazovaniya. - 2017. - №33. - S. 83-87.
