CC BY
17
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Сверчевська 1.А 1сторико-генетичний nidxid у фахоей пiдготовцi майбутшх y4umenie математики// Фiзикo-математична oceima : науковий журнал. - 2017. - Випуск 4(14). - С. 82-86.
Sverchevska I. A Combined Historical And Genetic Approach In Training Of Teachers Of Mathematics // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 4(14). - Р. 82-86.
УДК 511:378.147
1.А. Сверчевська
Житомирський державный унеерситет '¡меш 1вана Франка, УкраУна
iryna_sver@ukr.net
1СТОРИКО-ГЕНЕТИЧНИЙ П1ДХ1Д У ФАХОВ1Й П1ДГОТОВЦ1 МАЙБУТН1Х УЧИТЕЛ1В МАТЕМАТИКИ
Анота^я. 1сторико-генетичний nidxid розглядаеться як один з метод'е наечання. Цей метод передбачае, що наечання повинно поеторюеати iсторичний шлях еиникнення понять, математичних теорй, метод '1в доеедення теерджень.
На практичних заняттях з алгебри цей тдх'}д може бути представлений через icmoричнi задачi. Такий тдх'д не лише сприяе пдеищенню 1нтересу студент'е до еиечення курсу алгебри, а й дае можлиесть бльш фунтоено та седомо засеоюеати математику, тобто едосконалюеати фахоеу пдготоеку майбутнього ечителя математики до профеайно'У д'\яльностi.
Виокремлено деяю роздли курсу алгебри та до них запропоноеано icmoричнi задачi. Зокрема, запропоноеано задачi, е розе'язанн яких з'яеляються та еикористоеуються комплексн числа. До роздлу про застосуеання результанту для розе'язуеання систем нелМйних р'енянь тд'брано системи та розе'язано Ух аеторськими i сучасними способами. У темi про розе'язуеання алгебраУчних р'1енянь у радикалах посл'1доешсть еизначних задач дае можлие'1сть пройти icmoричний шлях розе'язуеання р'енянь другого i третього степеня е'}д геометричного методу до слоеесного, який призе до еiдкриmmя формул.
При цьому рекомендуеться знайти до^льне стее'дношення сторичного i лог'чного пдходу при еиеченнi р'зних рoздiлiе курсу "Алгебри i теорп чисел".
Ключовi слова: 1сторико-генетичний тдх'д, алгебра, icmoричнi задачi, комплексн числа, алгебраУчнi р'юняння, нелiнiйнi системи.
Постановка проблеми. Уведення елеменлв icropiT математики в^грае важливу роль у навчанш математики. Використовуючи pi3rn методи навчання, доцтьно звернути увагу на iсторико-генетичний метод. Математичш поняття та щеТ розглядаються у процес Тх виникнення i розвитку. Це сприяе розумшня студентами, як пов'язаш шкмьш знання з математики з тими теорiями, що вивчаються у вищому навчальному заклада готуе Тх до майбутньот професшноТ дiяльностi. На практичних заняттях з алгебри iсторико-генетичний пщхщ може бути представлений через ^оричш задачк Це задачi з iсторичних пам'яток, задачу створен вщомими математиками, задачi з деяких журналiв, пщручнишв. Ц задачi сприяють не лише розвитку штересу до вивчення предмету, а й пщшмають культурний рiвень, дають можливiсть краще засвоювати поняття. Оволодшня методами розв'язування ^оричних задач, Тх аналiз дае можливiсть запропонувати власш методи й авторськ задачi та надалi застосовувати Ц практичш навички в свотй педагогiчнiй та науковш дiяльностi.
Аналiз актуальних дослiджень. 1дея iсторико-генетичного пiдходу у викладаннi предмету алгебри була здшснена англiйським математиком Джоном Валлком у роботi "1сторичний i практичний трактат з алгебри". Природний ^оричний пiдхiд застосував французький математик А. К. Клеро в шдручнику "Початки алгебри", який у свш час був у вах, хто займався математикою.
Визначний математик М. В. Остроградський був чудовим педагогом i математиком-методистом. Вш вважав, що потрiбно ширше й часлше подавати iсторiю наукових винаходiв та ^ор^ Тхшх творцiв. У книзi "Мiркування про викладання" Остроградський стверджуе, що бюграфп людей, корисних для науки е одним з методiв для привернення уваги учшв.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
1сторик математики В. В. Бобинш у роботi "Фтософське, наукове i педагогiчне значення ^ори математики" робить висновок, що розумовий розвиток дитини в основному проходить л ж етапи, що i розумовий розвиток усього людства, тому викладання науки повинно йти тим же шляхом, яким шла в своему розвитку сама наука.
Активну роль у виршенш проблем, пов'язаних з викладанням математики в^грав вщомий учений Б. В. Гнеденко. На його думку, оскшьки вивчення ^ори математики сприяе розвитку мислення, то необхщно введення елеменлв ^ори математики при навчанш учшв i студентiв. Причому це доцшьно робити у виглядi коротких бесщ, розв'язування iсторичних задач, знайомства з методами роботи вчених.
Практичш рекомендаци та фундаментальнi принципи навчання математики опублтували видатнi американськi математики в меморандуму який пiдписали Рiхард Курант, Дьердь Пойа, Андре Вейль та шшк Зокрема, вони видшили генетичний метод, який на ¡х думку дае можливiсть досягти в багатьох питаннях бтьшого успiху, шж наслiдуючи формальну концепцiю математики.
Важливе значення для здiйснення iсторичного шдходу до навчання математики мають книги Жорика математики Г. I. Глейзера "lсторiя математики в школiи, математичш хрестоматп О. С. Смогоржевського для 6 - 8 клаав, М. I. Кованцова для старших клаав, бiогрaфiчнi словники О. I. Бородша, А. С. Бугая та О. М. Боголюбова, журнали "Математика в школах Укра'ши", "Математика в рщнш школГ'.
Активними прихильниками iсторичного шдходу були математики-методисти. О. М. Астряб видiляв тi особливостi дiяльностi математишв, на якi потрiбно звертати увагу викладачеву здiйснюючи iсторичний пiдхiд до теми. Г. П. Бевз розглядае елементи Торизму в навчанш математики як зааб гумашзацп процесу навчання. Важливими книгами для практичного застосування iсторико-генетичного методу е книги А. Г. Конфоровича "Колумби математики", "У пошуках iнтегрaлу", "Визнaчнi мaтемaтичнi задачГ' та iншi, якi можна використати для iсторичних довiдок про вчених, розв'язування iсторичних задач, показу того, як виникли новi поняття та математичш теорп. Роль ^орп математики у фаховш пiдготовцi студентiв дослщжують В. Г. Бевз, Н. О. Вiрченко, А. О. Розуменко. На думку Н. О. Вiрченко, математика, висв^лена в iсторичному плaнi, засвоюеться краще, глибше й легше. Вона видшяе ряд методичних задач, як при цьому розв'язуються. Особливостi використання iсторико-генетичного методу навчання в кура методики математики розглядае В. Г. Бевз. О. А. Розуменко дослщжуе можливост використання елеменлв ^орп математики, зокрема ^оричних задач, для тзнавально'| мотивацп студентiв, розвитку критичного мислення.
У статт здiйснюеться iсторико-генетичний шдхщ до вивчення деяких роздiлiв алгебри при шдготовц мaйбутнiх учителiв математики. Пропонуеться подавати необхщний iсторичний мaтерiaл через визнaчнi мaтемaтичнi зaдaчi. Послщовшсть розв'язування запропонованих задач вiдтворюе шлях виникнення математичних понять, теорш методiв доведень.
Метою статтi е дослщження можливостi застосування iсторико-генетичного методу до вивчення деяких розд^в алгебри шляхом подання iсторичного мaтерiaлу через визначш мaтемaтичнi зaдaчi.
Виклад основного матерюлу. Наведемо приклади використання iсторико-генетичного шдходу на практичних заняттях з "Алгебри i теорп чисел". При цьому ми шдтримуемо висновок В. Г. Бевз про правильне сшввщношення коричного та логiчного в змiстi завдань, ям виконуються, оскiльки в рамках фахово'| пiдготовки майбутнього вчителя математики необхщно забезпечити "одержання комплексу фундаментальних i гумaнiтaрних знань" [1, с. 102].
Комплексы числа.
1. Задача Кардано.
Джiролaмо Кардано (1501 - 1576) - ^алшський математик, фшософ i лiкaр. У творi "Велике мистецтво, або про правила алгебри" опублтував формулу для коренiв кубiчного рiвняння. Вiн один з перших европейських математимв допускав вiд'емнi кореш рiвнянь та уявнi величини [2, с. 215].
Розкласти число 10 на так два доданки, щоб )'х добуток дор>внював 40.
Розв'язання автора. "Подтити 10 навшл, буде 5, помножене саме на себе воно дасть 25. Полм вщняти вщ 25 те, що одержиться при перемноженш, тобто 40, тодi залишиться (- 15). Якщо взяти вщ цього коршь квадратний i додати 5 та вiдняти 5, то одержимо частини, ям при множенш дають 40. Таким чином ц
частини будуть 5+>/—15 i 5 —\/—15". При цьому Кардано показуе, що з цими числами потрiбно виконувати дм як з двочленами i покласти —V—15-V—15 =15.
2
З першого рiвняння у = 10—х, тодi пiдстaвивши в друге рiвняння маемо х —10х+40 = 0,
х = 5 +725—40 = 5 + 7—15. Одержан доданки: 5—V—15, 5+ >/—15.
Наведена задача показуе, як у математик з'явилися комплексш числа.
2. Задача Кош/'.
Огюстен ЛуТ Кошi (1789 - 1857) - французький математик, прац якого стосуються рiзних галузей математики. Вiн запропонував розглядати геометричне зображення комплексно! змшноТ як точки, що перемiщуeться на площинi. Кошi ввiв термiни "модуль" комплексного числа, "спряжеш" комплекснi числа [2, с. 246].
Якщо перемножити м>ж собою два цлих числа, кожне з яких е сумою двох квадрат'в, то одержаний добуток буде також складатися з суми двох квадрат'в.
Розв'язання автора. Вiзьмемо 4 комплекси, попарно спряжених а +Ы, а—Ы, а + Ь1, а -Ь11.
Знайдемо добуток вах, перемножуючи пару комплексiв: (а2 + Ь2+ Ьр). Якщо помножити перший на третш i другий на четвертий, то загальний добуток дорiвнюe: (аа1 — ЬЫ +(аЫ + Ьа1У)-(аа1 — ЬЫ — (аЫ + Ьа1)')=(аа! — ЬЬ\) +(аЫ + Ьа$.
Можна запропонувати шший спосiб, розклавши суму квадралв на множники, ввiвши уявну одиницю
' (2=—1М
Нелшшш системи.
1. Задача Абу Камiла й Леонардо Ф'1боначч '1.
Абу-Камiл (бл. 850 - 930) народився Египту працював у м. КаТрк Це перший вчений, який писав твори з алгебри шсля ал-Хорезмк Довгий час була популярна його книга "Книга про алгебру й алмукабалу", де спостеркаеться пщвищення теоретичного рiвня [2, с. 10].
Леонардо ^занський (Фiбоначчi) (бл. 1170 - тсля 1240). Пiсля тривалого занепаду европейськоТ науки у XIII ст. з'являються вченi - теоретики математики. Найвидатшшим математиком цього перiоду був Леонардо ^занський. Виключну роль у поширенш в Захiднiй Европi математичних знань мала його "Книга абака" (1202, перероблена 1228). У книзi е значна кшьмсть задач на розв'язування нелшшних алгебраТчних систем. Розглянемо деяк з них [2, с. 289].
Розв'язати систему р'внянь х + у = 10
х+у=75
У х
Абу Камт робить пiдстановку — = х, тодi з другого рiвняння визначае z2 +1 = 45г,
х
45 —л/5—4 л/5 1 . 10—х л/5 1 г =-=---. Врахувавши, що з першого рiвняння у = 10—х, отримуе -=---,
2 2 2 х 2 2
"г- л Г п _ л л/5_1
2 2
10 - х =
х,
£+1
2 2
V 2 2У
х = 10, х=-3^- = 5л/5 - 5, у = 10 - х = 10 - 5л/5 + 5 = 15 - . л/5 + 1
1нший корiнь, якщо х = +1, х = 15 — 5^/5, у = 5л/5 — 5 автор не розглядае.
Фiбоначчi пропонуе два способи. Перший: виразити з першого рiвняння у = 10 — х, пщставити в друге i розв'язати одержане квадратне рiвняння х2 —10х + (ю0/5 — 200)= 0.
Другий: використати, що — •х =1. Нехай — = г, тодi з другого рiвняння маемо — = л/5 — г. Оскiльки
х у х у
у х I /7 \ т 2 1 л л/51 . у 10—х 10—х л/5 1
— •—= 1, то гУэ —х)= 1, г2 — л/5^ + 1 = 0, г =--1—, тодi г = — =-, -=--1— . ^сля
х у 22 ххх 22
перетворень одержимо х = 15—5/5, тодi у = —5 + 5л/5 . 1нший коршь Леонардо не розглядае. 2. Задача ал-Хорезм>.
Мухаммед бен Муса ал-Xорезмi (бл. 780 - бл. 850) - арабський математик, працював у Багдадi шд час правлшня халiфа ал-Мамуна в Будинку Мудросп. Найважливiшими е його трактати "Арифметика" й "Алгебра". Автор зiбрав у своТх творах головне, що потрiбно було i вченим, i дiловим людям, враховуючи потреби практики. Значна увага в алгебрi ал-Xорезмi придiляеться правилам розв'язування основних тишв квадратних рiвнянь i задачам, що зводяться до систем нелшшних рiвнянь [2, с. 507]. Роздлити 10 на дв частини, сума квадрат>в яких дор'внюе 58.
Г х+у = 10
Задача зводиться до системи рiвнянь: < о о
1х2 + у = 58
Автор зводить розв'язування щеТ системи до квадратного рiвняння: х2 +(10—х)2 = 58 або 2х2 +100—20х = 58. Вш робить перетворення 2х2 +100 = 58+20х (ал-джебр), дiлить на 2 i зводить подiбнi доданки х2 + 21 = 10х (ал-мукабала). Одержуе рiвняння типу ах2 + с = Ьх "квадрати i числа дорiвнюють кореням", для якого дае словесне правило визначення корешв.
"Подiли надвое число коренiв, це буде 5, i помнож це на рiвне собi, буде 25, i вiднiми з цього 21, залишаеться 4, добудь з цього коршь - буде 2, i вiднiми це вiд половини корешв, тобто п'яти, залишаеться 3; це i буде корiнь квадрата, який ти шукаеш, а квадрат е 9. Додай це до половини корешв, буде 7, це - коршь квадрата, який ти шукаеш, а квадрат е 49".
Словесне правило в сучасних позначеннях мае вигляд: х = 5+>/25—21 = 5+2; х[ = 3; х2 = 7.
II споаб. Введемо замшу о1 = х+у, о2 = ху, тодi х2 + у2 = х2 + 2ху+у2 — 2ху = (х+у)— 2ху = = < — 2<2 та система матиме вигляд:
o1 = 10
О =10 foi = 10
Тодi для х, у маемо
х + y = 10 xy = 21
, звщки х = 3,y = 7 або
а у третш рядок коефiцiенти другого рiвняння.
[о-!2 - 2о2 = 58 [202 = 42 [о2 = 21
х = 7, у = 3.
Ill cnoci6. Використаемо загальний niAXiA до розв'язування систем нелшшних рiвнянь i3 застосуванням результанта двох многочлешв, що вивчаеться в Kypci алгебри i теорГТ чисел. Вважаемо, що в
Гх + (у-10) = 0
рГвняннях змГнною е х, а у - константа. Впорядкуемо лГвГ частини рГвнянь за змГнною х. \ j \ .
[х2 + (у -58)=0
Утворимо результант у формГ Стьвестра, записавши коефГцГенти першого рГвняння у 2 рядки зГ зсувом вправо,
1 у-10 0
0 1 у-10 = 0. РГвняння мають сшльний коршь тодГ i
1 0 у2 - 58
ттьки тодГ, коли результант дорiвнюе нулю. Маемо у2 -58+(у-10^= 0; у2 - 10у+21 = 0; у = 3 або у = 7 . Для кожного значення змшноТ у отримаемо систему рГвнянь та знайдемо значення змшноТ х. При у = 3 маемо х-7 = 0 i х2 -49 = 0. Сшльний коршь обох рГвнянь х = 7. При у = 7 маемо х-3 = 0 i х2 -9 = 0. Сшльний коршь х = 3. Отже шукаш числа 3 та 7.
Розв'язування рiвнянь у радикалах. 1. Задача ал-Хорезм '>. Розв'язати рГвняння х2 +10х = 39.
Розв'язання. Будуемо квадрат зГ стороною х i добудовуемо два прямокутники зГ сторонами х та 5, одержана фГгура називаеться "гномон" (рис. 1). Доповнюемо цей гномон до квадрата зГ стороною х + 5. ТодГ
площа побудованого квадрата S = (х+5)2. За рис. 1 визначаемо S=х2 + 2-5х+25=х2 +10х+25. Маемо
(х+5)2 = х2 +10х + 25. За умовою задачГ х2 +10х = 39, тодГ (х + 5)2 = 39+25 = 64, х+5 = 8, х = 3. Ал-ХорезмГ визначае додатнш коршь.
Рис. 1
2. Задача Biema.
Франсуа Biem (1540 - 1603) - французький математик, "батько алгебри". У працях Biema алгебра стала загальною наукою про алгебра/'чнi р'1вняння, яка фунтуеться на символ'нних позначеннях [2, с. 101]. Розв'язати рiвняння х2 + px+q = 0 подстановкою x = y + z.
Авторське розв'язання. В даному рiвняннi х2 + px+q = 0 покладемо х = y + z. Тодi x2 = y2 + 2yz + z2, тому рiвняння набуде вигляду: y2 + y(2z+p)+z2 + pz + q = 0. Виберемо z так, щоб
2 2 2 2 7*1 V) n T~>
2z+p = 0. ТодГ z = -p i z2 + pz + q = -+ q = q -. Отже, рГвняння буде мати вигляд у2 + q -= 0
2 Р2 - Р2 Р P- P2
, у2 = q . ЗвГдки у = ^-q . ОскГльки х = у + z i z = , то х = + y 4 "q .
3. Задача О. Хайяма.
Омар Хайям (1048 - 1131), персидський математик i поет. Вш вважав, що алгебра - це теорГя рГвнянь. У математичному трактат "Про доведення задач алгебри i алмукабали" вГн дае класифГкацГю алгебраТчних рГвнянь першого, другого i третього степешв та геометричнГ побудови корешв [2, с. 500]. Розв'язати рГвняння х3 + a=сх2.
РГвняння розв'язувалося за допомогою параболи у2 = ^a(c-х) та пперболи ху=V02 . Коренем е абсциса точки перетину цих кривих. Зробимо перетворення цього рГвняння, як обфунтовують метод
0. Хайяма. х3 + a=сх2; сх2 -х3 = a; х2(с-х)-3a = V03 • tfa ; х2 • ^a(c-х)=^a4 . Позначимо ^a(c-х) = у2
2 2 3/ 4 3/ 2 _
, маемо ху = Va ; ху=\a . Отже х i у визначаються з системи рГвнянь:
[у2=(с - х)
■ ,— , тобто як координати точки перетину параболи та пперболи, як розглядае О. Хайям.
[ху = V a2
Висновки. Застосування Гсторико-генетичного пщходу робить навчання математики бшьш фунтовним, ефективним i цГкавим. Зокрема, його доцтьно застосовувати на практичних заняттях шляхом використання системи визначних Гсторичних задач, якГ розв'язуються в певнш послГдовностГ й супроводжуються короткими Гсторичними довГдками. Але для збереження лопчноТ структури курсу "Алгебра i теорГя чисел" потрГбно знайти доцГльне стввщношення логГчного та Гсторичного пГдходу. В подальшому потрГбно дослГдити можливостГ використання Гсторичного пГдходу в навчанш деяких роздшГв лшшноТ алгебри.
Список використаних джерел
1. Бевз В. Г. 1сторГя математики у фаховш пГдготовцГ майбутшх учителГв: МонографГя / В. Г. Бевз. К.: НПУ Гм. М. П. Драгоманова, 2005. 360 с.
2. Бородш О. I., Бугай А. С. БюграфГчний словник дГячГв у галузГ математики / О. I. Бородш, А. С. Бугай. К.: Вища
шк. , 1973. 552 с.
References
1. Bevz V. H. History of mathematics in teacher training: Monograph / V. H. Bevz. - K.: NPU imeni M. P. Drahomanova, 2005. - 360 s. (in Ukrainian)
2. Borodin O. I., Buhai A. S. Biographical dictionary of prominent figures in the field of mathematics / O. I. Borodin,
A. S. Buhai. - K.: Vushcha shkola, 1973. - 552 s. (in Ukrainian)
A COMBINED HISTORICAL AND GENETIC APPROACH IN TRAINING OF TEACHERS OF MATHEMATICS
Iryna Sverchevska
Zhytomyr Ivan Franko State University, Ukraine Abstract. Historical-genetic approach is considered as one of teaching methods. This method assumes that training should replicate the historical path of emergence of concepts, mathematical theories, methods of proof of claims.
In practical classes in algebra, this approach can be represented through the historic task. This approach not only promotes increase of interest of students to studying algebra, but also gives the opportunity to more thoroughly and consciously learn mathematics, that is, to improve training of future teachers of mathematics to professional activities.
Highlighted certain sections of the algebra course and the proposed historic task. In particular, the proposed problems, whose solution appears and uses complex numbers. In the section on the use of resultants to solve systems of nonlinear equations matched system and back to their author and modern ways. The topic of solving algebraic equations by radicals a sequence of outstanding tasks gives the opportunity to the historical way of solving equations of the second and third degree by geometrical method to the verbal, which led to the discovery of formulas.
It is recommended to find a suitable ratio of the historical and logical approach in studying various sections of the course "algebra and number theory".
Key words: combined historical and genetic approach, algebra, historical tasks, complex numbers, algebraic equations, nonlinear systems of equations.
