Исследования вида функции внутреннего трения для собственных изгибных колебаний стальной балки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 71.027

Е. В. Хромов, О. В. Хромов Национальный технический университет, г. Севастополь

ИССЛЕДОВАНИЯ ВИДА ФУНКЦИИ ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТАЛЬНОЙ

БАЛКИ

Исследованы собственные изгибные колебания стальной балки при наличии внутреннего трения. Выполнен компьютерный анализ характера колебаний балки для различных видов и параметров функции трения. Показано, что использование комбинированной зависимости для функции трения позволяет сблизить расчетную и экспериментальную осциллограммы колебаний.

При математическом моделировании колебательных процессов, в том числе, изгибных колебаний упругих несущих элементов, представляет интерес вопрос о выборе функции описывающей силы внутреннего трения. Обычно для учета внутреннего трения используют одну из следующих зависимостей [1, 2, 4, 5]:

- сухое трение /1 =-¿1 • sign( у); (1)

- вязкое сопротивление /2 = -¿2 • У ; (2)

- сопротивление пропорциональное квадрату скорости

2

/э =-b3 ■ У ■ sign (У)•

(3)

фиксируют деформацию балки в заданном сечении. Конец балки отклоняют на заданную величину У0 и отпускают, балка совершает собственные колебания при заданных начальных условиях. Сигнал от тензо-датчиков усиливается и обрабатывается АЦП, а затем через СОМ-порт передается в компьютерный осциллограф 3, где в режиме реального времени строится диаграмма колебаний.

В эксперименте использована стальная балка со

т «о кг

следующими характеристиками: р = 7,58

,э

м

При этом в литературе не приводится сведений о том, какую из данных функций и по какому критерию целесообразно принимать в расчетах для конкретного вида исследуемого объекта. В связи с этим указанный вопрос является актуальным.

В данной работе приведены результаты исследований собственных колебаний стальной балки. На первом этапе выполнен эксперимент, схема которого представлена на рис. 1. На консольно закрепленной стальной балке 1, имеющей прямоугольную форму поперечного сечения, закреплены датчики 2, которые

b = 1,5 ■lO-2 м; h = 0,9 ■lO-2 м

плотность и размеры поперечного сечения балки; I = 0,295 м - длина

,11 Н_

,2

балки; Е = 2,06 ■lO1

модуль упругости;

j = tll = 9 ■lO-11 м 4 12

- осевой момент инерции;

F = Ь • h = 1,35 10 -4 м 2- площадь поперечного сечения балки.

Полученная с помощью компьютера осциллограмма представлена на рис. 2.

Рис. 1. Схема экспериментальной установки

© Е. В. Хромов, О. В. Хромов, 2008

ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2008

111

Рис. 2. Осциллограмма колебаний балки

Видно, что балка совершает затухающие колебания с периодом Тэ = 0,012 с, полное затухание происходит за А t и 0,8 с. Теоретическое значение круговой частоты к и периода Т для первой формы собственных колебаний балки определяем по известным

1 2П формулам [3]: к = 1,875----, Т =--Для при-

веденных выше данных получим к = 534

1

Т = 0,01175 с, что достаточно хорошо согласуется с экспериментом.

Выполним теоретический анализ затухающих колебаний балки, используя известное дифференциальное уравнение [3]:

5 V

дt

2 д4У Ф

2 + а--Т = -Ф тр ,

2 д~4

(4)

где а2 = •—, Ы - жесткость при изгибе; Ф -т 14 р

удельная сила внутреннего трения; т = р • Ь • к - удель-

~ _ 2

ная масса балки; 2 = — - безразмерная координата.

Согласно методу Фурье прогиб V представляют в виде произведения двух функций:

V (~, t) = х (~) • у (О,

(5)

где V(~, t) - прогиб балки; х (~) - собственная функция задачи; у(^ - функция, определяющая колебательный характер движения балки согласно уравнению:

у + к У = — /тр (у)

(6)

где к = р2 • а - круговая частота собственных колеба-ний, р - коэффициент зависящий от формы колебаний [3].

Остановимся подробно на выборе вида функции / (у). Это можно сделать, используя два критерия:

- соответствие теоретического и экспериментального значений времени затухания А t и 0,8 с;

- соответствие теоретической и экспериментальной форм огибающей линии колебаний.

С учетом этих критериев выполнена серия численных экспериментов в МаШСЛО по решению уравнения (6) для различных видов и параметров функции трения. Расчеты выполнялись при начальных условиях: у0 = 0,003 м, у0 = 0.

Для стандартных вариантов функций трения (1), (2), (3) коэффициенты Ь. подбирались с учетом времени полного затухания А t = 0,8 с. В результате приняты следующие значения Ь1 = 5, Ь2 = 13, Ь3 = 64. Расчетные графики колебаний у(^ показаны на рис. 3. Из графиков видно, что характер огибающей линии колебаний во всех трех случаях существенно отличается от экспериментальной кривой линии (рис. 2). Например, для функции трения вида (1) огибающая имеет форму прямой линии (рис. 3, а), а для функции (3) колебания балки при малых амплитудах практически не затухают (рис. 3, в). Таким образом, действительный вид функции трения, очевидно, имеет более сложный вид, чем принятые выше (1)^(3).

В связи с этим для функции трения введем следующую комбинированную зависимость:

/ (У) = к • /1 + к 2 • /2 + к3 • /.

В данном случае с помощью соответствующего подбора коэффициентов к,, Ь. можно обеспечить соответствие теоретической и экспериментальной кривой колебаний одновременно по двум указанным выше критериям. Для исследуемой балки, как показали численные эксперименты, достаточно высокая степень соответствия достига -ется при к1 = 0,04; Ь1 = 5; к2 = 0,4; Ь2 = 13; к3 = 0,5; Ь3 = 64 (см. рис. 2 и 4).

I

с

Рис. 3. Расчетные графики колебаний балки в случае простых функций трения

О 0.25 0.3 0.75

Рис. 4. Расчетный график колебаний балки в случае комбинированной функции трения

в

1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2008

113

Перечень ссылок

1. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний. -М.: Машиностроение, 1967. - 313 с.

2. Тимошенко С.П. Теория колебаний в инженерном деле. -М.: Государственное научно-техническое изд-во, 1931. -344 с.

3. Моисеев А.А., Розенберг А.Н. Конструирование и расчет прочности судовых ТЗА. - Л.: Судостроение, 1964. -510 с.

4. Писаренко Г.С. Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях. - К.: Наукова думка, 1985. - 235 с.

5. Рассеяние энергии при колебаниях механических систем // Материалы ХШ научной конференции. - К.: На-укова думка, 1985. - 306 с.

Одержано 28.12.2007

До^джено власнi коливання вигину сталево'1 балки за наявностi внутрiшнього тертя. Виконано комп 'ютерний анализ характеру коливань балки для pi-зних видiв i параметрiв функцИ' тертя. Показано, що використання комбiнованоï залежностi для функцИ' тертя дозволяе зближувати розрахункову й експериментальну осцилограми коливань.

Self bending oscillations of steel beam possessing inner friction are studied. Computer analysis of the character of beam oscillations for different types and parameters of friction function has been carried out. It is shown that the employment of a combined relationship for friction function permits to bring closer the computed and experimental oscillograms of vibrations.

По результатам исследований можно сделать следующие выводы:

- действительная зависимость силы внутреннего трения имеет более сложный вид, чем обычно применяемые простые показательные функции;

- использование комбинированной зависимости для функции трения позволяет сблизить расчетную и экспериментальную осциллограммы колебаний как по времени, так и по характеру огибающей линии.

Предложенный подход описания функции трения может быть использован для построения уточненных моделей осцилляторов с внутренним трением.

УДК 539.3

Ю. А. Лымаренко Государственная инженерная академия, г. Запорожье

ВЛИЯНИЕ ПОВРЕЖДЕНИЙ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ

МАКРОХАРАКТЕРИСТИКИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ИЗДЕЛИЙ

На примере задачи о колебаниях пластины, содержащей локализованное повреждение, изложен общий подход к решению задач о влиянии повреждений на динамические макрохарактеристики напряженно-деформированного состояния изделий. Предлагаемый подход заключается в последовательном применении матричных методов анализа колебаний с последующим уточнением динамических параметров вибраций на основе нестационарной модели повреждения.

Введение

Проблема прочности (надежности), характеризующаяся процессами, приводящими к разрушению конструкций, стимулировала постановку и решение задач динамики пластин и оболочек с локальными неодно-родностями. Анализ существующих на данный момент подходов к решению таких задач позволил выделить следующие основные направления: 1) континуальный подход [1, 2], в котором рассматриваются лишь сквозные трещины; 2) континуально-дискретный подход [3, 4], в котором колебания всего объекта рассматриваются как движение континуума, а для моделирования

повреждения используется одномассовая модель с кусочно-постоянной жесткостью [5]; 3) дискретный подход [5], в котором либо развивается одномассовая система [6, 7], моделирующая «дышащие» трещины, либо рассматривается многомассовая система, моделирующая изделие со сквозной трещиной [8]; 4) ко-нечноэлементный подход [9].

Несмотря на такое многообразие подходов, все они имеют один существенный недостаток. В каждом из этих подходов учитывается лишь один из двух характерных признаков наличия повреждения: это либо изменение формы колебаний, либо изменение спектраль-

© Ю. А. Лымаренко, 2008

114