Исследования вероятностных характеристик модифицированных кодов паритета в схемах функционального контроля Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 004.052.32

Д. В. Ефанов, А. А. Блюдов

ИССЛЕДОВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДИФИЦИРОВАННЫХ КОДОВ ПАРИТЕТА В СХЕМАХ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО КОНТРОЛЯ

Анализируются полученные в результате экспериментальных исследований способности обнаружения ошибок в информационных векторах модифицированных кодов паритета. Установлены свойства обнаружения ошибок в схемах функционального контроля, в том числе получены распределения необнаруживаемых ошибок информационных векторов модифицированных кодов паритета. Рассчитана доля необнаруживаемых ошибок фиксированной кратности d от общего числа ошибок данной кратности в информационных векторах кода р^, определено, что указанная величина у кодов с числом информационных разрядов, различающимся на единицу (т и т + 1, где т - нечетно), одинакова. Известная величина pm позволила исследовать вероятностные характеристики модифицированных кодов паритета в схемах функционального контроля.

модифицированный код паритета, функциональный контроль, информационные разряды, необнаруживаемая ошибка, вероятность.

Введение

В работе [1] предложен модифицированный код паритета (код P(n, m)), пригодный для синтеза схем функционального контроля комбинационных логических устройств [2]-[4]. При таком виде диагностирования блок основной логики F(x) дополняется рядом контрольных элементов, позволяющих в процессе вычисления выходных функций f , f ..., fm фиксировать их возможные искажения (рис. 1).

Рассчитанные значения выходных функций блока F(x) формируют информационный вектор кода P(n, m). Контрольный вектор кода получается посредством выделения двух контрольных функций g1 и g2, получаемых как сумма по модулю два соответственно четных и нечетных информационных разрядов. Подобные функции, только с инверсией данных, реализует и схема контрольной логики G(x) (см. рис. 1).

Для фиксации возможных искажений требуется только один самопро-веряемый блок сравнения парафазных сигналов (TRC - two-rail checker), на выходах которого устанавливаются два непарафазных сигнала <00> или <11> в случае наличия искажения в любом из блоков - F(x), G(x) или системе сумматоров по модулю два [5], [6].

42

к Я

S |

VO — cd hQ CLh ffl

-Q

-a p

5 g

X

О Оч н -3

и «

£

Рис. 1. Схема функционального контроля по модифицированному коду паритета

2

X

0

Выделение двух функций паритета в рассматриваемом коде, в сравнении с традиционными кодами паритета [5], увеличивают как избыточность, так и обнаруживающую способность кода. Код обнаруживает вдвое больше ошибок на выходах блока F(x), нежели известный код паритета, более того, при числе информационных разрядов m < 4 код по данному показателю выгоднее известного кода Бергера [7]. Сложность схем контроля остается неизменной.

В работе [1] не только приведена структура кодов P(n, m), но и рассмотрены некоторые свойства по обнаружению искажений выходных функций блока основной логики, приведена формула расчета числа необнаруживаемых ошибок информационных разрядов кода при условии безошибочности контрольных:

N = 2m (2m-2 -1). (1)

Данное исследование дополняет результаты [1]. Расчетами еще раз доказывается формула (1), рассматриваются ошибки различной кратности d в информационных векторах модифицированных кодов паритета.

1 Экспериментальные исследования модифицированных кодов паритета в схемах функционального контроля

1.1 Число необнаруживаемых ошибок в модифицированных кодах паритета

Авторами работы [8] было создано специальное программное обеспечение, позволяющее по особым правилам выполнить следующие действия:

43

- сформировать кодовые векторы модифицированного кода паритета;

- разделить информационные векторы на группы по весу контрольного вектора;

- определить кодовое расстояние (кратность необнаруживаемой ошибки d) между всеми информационными векторами в каждой группе;

- подсчитать полученное число необнаруживаемых ошибок по всем возможным кратностям d.

Адекватность экспериментальных исследований была проверена подсчетами вручную на малых значениях т.

Таким образом, экспериментально удалось получить число необнаруживаемых ошибок в модифицированных кодах паритета (табл. 1). Для них в соответствии с таблицей 1 справедливы следующие свойства.

Свойство 1. Все необнаруживаемые ошибки в кодах P(n, m) - это ошибки четной кратности.

Свойство 2. Для кодов P(n, m) с числом информационных разрядов, кратным четырем, все ошибки кратности m являются необнаруживаемыми.

Анализируя таблицу 1, отметим, что свойства ошибок различных кратностей повторяются с некоторой периодичностью. Особенностью обладают коды с т, кратным четырем (к примеру, код P(14,12)). В таких кодах макси-

т

мальное число необнаруживаемых ошибок - это ошибки кратности d = —,

необнаруживаемых ошибок остальных кратностей меньше. Кроме того, число

т

необнаруживаемых ошибок «симметричных» кратностей — ± 2i, где i = 1, 2,

3, ..., одинаково. Исключение составляет кратность ошибок т - все ошибки данной кратности являются необнаруживаемыми. Если таблицу условно расширить и ввести ошибки кратности 0 (это отсутствие искажений), то, строго говоря, симметрия будет сохранена. Таким образом, имеет место нормальное распределение необнаруживаемых ошибок для подобного типа кодов - кодов с т, кратным четырем. Для остальных типов кодов подобных зависимостей не наблюдается. Очевидно, что для кодов с нечетным значением т особенностью является отсутствие необнаруживаемых ошибок кратности т. На рисунке 2 дано распределение необнаруживаемых ошибок в двух кодах P(n, т).

Обобщая сказанное выше и обращаясь к таблице 1, отметим еще одну зависимость.

Свойство 3. Максимальное число необнаруживаемых ошибок в коде

т

P(n, m) достигается при кратности: d = —, если m кратно четырем; т т +1 . т -1

d =----, если m + 1 кратно четырем; d =--, если m-1 кратно четы-

2

рем; d =

т+2 2 :

2

если m + 2 кратно четырем.

44

ТАБЛИЦА 1. Каталог необнаруживаемых ошибок различных кратностей в первых 15 модифицированных кодах паритета

Код Кратность d Всего необна-руживаемых ошибок Доля

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Р (5,3) 8 8 0,1428571

Р (6,4) 32 16 48 0,2

Р (7,5) 128 96 224 0,2258065

Р(8,6) 384 576 0 960 0,2380952

Р (9,7) 1152 2432 384 3968 0,2440945

Р (10,8) 3072 9728 3072 256 16128 0,2470588

Р (П,9) 8192 33792 20480 2560 65024 0,2485323

Р (12,10) 20480 112640 102400 25600 0 261120 0,2492669

Р (13,11) 51200 348160 462848 174080 10240 1046528 0,2496336

Р (14,12) 122880 1044480 1851392 1044480 122880 4096 4190208 0,2498168

Р (15,13) 294912 2990080 6946816 5332992 1146880 57344 16769024 0,2499084

Р (16,14) 688128 8372224 24313856 24887296 8028160 802816 0 67092480 0,2499542

Р (17,15) 1605632 22708224 81428480 106004480 48857088 7569408 229376 268402688 0,2499771

Р (18,16) 3670016 60555264 260571136 424017920 260571136 60555264 3670016 65536 1073676288 0,2499886

Р (19,17) 8388608 157810688 807403520 1597767680 1270874112 407371776 44040192 1179648 4294836224 0,2499943

Р (20,18) 18874368 405798912 2422210560 5751963648 5718933504 2444230656 396361728 21233664 0 17179607040 0,2499971

Р (21,19) 42467328 1025507328 7090470912 19846397952 24183308288 13230931968 3038773248 256376832 4718592 68718952448 0,2499986

Р (22,20) 94371840 2563768320 20258488320 66154659840 96733233152 66154659840 20258488320 2563768320 94371840 1048576 274876858368 0,24999928

1.2 Доля необнаруживаемых ошибок кратности d в модифицированных кодах паритета от общего числа ошибок данной кратности

Рассмотрим долю необнаруживаемых ошибок кратности d от общего

d Nd

числа ошибок той же кратности (величину вт = ——), воспользовавшись вы-

Nd

ражением для подсчета общего числа ошибок информационных разрядов данной кратности d [9]:

Nd = 2mCd. (2)

Сомножитель 2m определяет общее число информационных векторов кода P(n, m), а Cт - число возможных искажений кратности d из т разрядов.

В таблице 2 приведены результаты расчетов для первых 15 кодов P(n, m).

Графики изменения величин edm для d = 2, 4, 6, 8, приведенные на рисунке 3, дополняют таблицу 2 и указывают на уменьшение доли необнаруживаемых ошибок кратности d от общего числа ошибок той же кратности с увеличением m. Для кодов P(n, m) с m < 20 величины edm колеблются в районе 0,5 -около половины ошибок взятой кратности d являются необнаруживаемыми.

Возвращаясь к таблице 1, приведем динамику изменения доли необнаруживаемых ошибок от общего числа ошибок информационных разрядов при увеличении m (данная величина в работе [1] обозначена как ф будем придерживаться тех же обозначений, рис. 4).

46

ТАБЛИЦА 2. Каталог долей необнаруживаемых ошибок кратности d от общего числа ошибок той же кратности

в первых 15 модифицированных кодах паритета

Код Кратность d

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Р(5,3) 0,3333333

Р (6,4) 0,3333333 1

Р (7,5) 0,4 0,6

Р (8,6) 0,4 0,6 0

Р (9,7) 0,4285714 0,5428571 0,4285714

Р (Ю,8) 0,4285714 0,5428571 0,4285714 1

Р (11,9) 0,4444444 0,5238095 0,4761905 0,5555556

Р (12,10) 0,4444444 0,5238095 0,4761905 0,5555556 0

Р (13,11) 0,4545455 0,5151515 0,4891775 0,5151515 0,4545455

Р (14,12) 0,4545455 0,5151515 0,4891775 0,5151515 0,4545455 1

Р (15,13) 0,4615385 0,5104895 0,4941725 0,5058275 0,4895105 0,5384615

Р (16,14) 0,4615385 0,5104895 0,4941725 0,5058275 0,4895105 0,5384615 0

Р (17,15) 0,4666667 0,5076923 0,4965035 0,5027195 0,4965035 0,5076923 0,4666667

Р (18,16) 0,4666667 0,5076923 0,4965035 0,5027195 0,4965035 0,5076923 0,4666667 1

Р (19,17) 0,4705882 0,5058824 0,4977376 0,5014397 0,4985603 0,5022624 0,4941176 0,5294118

Р (20,18) 0,4705882 0,5058824 0,4977376 0,5014397 0,4985603 0,5022624 0,4941176 0,5294118 0

Р (21,19) 0,4736842 0,504644 0,498452 0,5008335 0,499318 0,5008335 0,498452 0,504644 0,4736842

Р (22,20) 0,4736842 0,504644 0,498452 0,5008335 0,499318 0,5008335 0,498452 0,504644 0,4736842 1

в

d

m

Рис. 3. Динамика изменения величин с увеличением числа информационных разрядов

Ф

m

Рис. 4. Динамика изменения величины фт с увеличением числа информационных разрядов

По таблице 2 нетрудно проследить следующие закономерности.

Свойство 4. Для кодов P(n, m) с числом информационных разрядов, кратным четырем, доля необнаруживаемых ошибок кратности d = m от общего числа ошибок данной кратности составляет 100 %.

Свойство 5. Доли необнаруживаемых ошибок в информационных разрядах данной кратности к общему числу ошибок данной кратности для кодов P(n, m) и P(n+1, m+1) при нечетном m одинаковы. Если m+1 кратно четырем, то в коде P(n+1, m+1), в отличие от кода P(n, m), присутствуют ошибки и кратности m+1.

48

Таким образом, следуя за свойством 5 и формулой (2), можно определить зависимость между числом необнаруживаемых ошибок данной кратности для кодов P(n, m) (m - нечетно) и P(n+1, m+1). Обозначим число необнаруживаемых ошибок у кода P(n, m) как Ndm, у кода P(n+1, m+1) - как N Поскольку для указанных кодов pm = Pm+1, справедливо заключить:

m+1*

pm=р

d

m+1

N,

N.

m+1

'•iin /'yd 2 Cm

r>m+1 /~i d 2 Cm+1

Выполним ряд эквивалентных преобразований в (3):

п T.jd^m^d _ \jd 'лш s-id .

2Nm 2 Cm+1~ Nm+12 Cm ;

2 N

( m +1)!

2 N

d!( m +1 - d)! m!( m +1)

=N

d

m+1

m!

m

=N

d!(m - d)! m!

d!(m - d)!(m - d +1) m+ d!(m - d)!

m +1

Nd = 2 Nd

iym+1~ A1' m

m - d +1

(3)

(4)

Последнее уравнение в формуле (4) определяет связь между числом необнаруживаемых ошибок в коде P(n, m) (m - нечетно) и P(n+1, m+1). Выпишем конечные выражения для некоторых d:

N2 = 2 N2

iym+1~ A1' m

К+1 = 2 Nm

m +1 m -1 4 m +1

N6+1 = 2 Nm

Nd = 2 Nd

iym+1~ A1' m

m-3 6 m +1

m - 5

m+1

m +1 - d

(5)

Воспользуемся выражениями (5) для примера с кодами P(11,9) и P(12,10) (см. табл. 1):

49

20480;

<

N2 = 2 N92 — = 8192 • —

10 9 8 8

N0 = 2 N94 — = 33792 • — 10 9 7 6

N.6„ = 2 N610 = 20480 •20 10 9 5 4

N0 = 2 N9610 = 2560 •20

10 9 3 2

112640;

102400;

25600.

2 Исследования вероятностных характеристик модифицированных кодов паритета в схемах функционального контроля

2.1 Формула расчета вероятности возникновения необнаруживаемых искажений на выходах блока основной логики

При работе блока основной логики в схеме функционального контроля [1] возможны искажения во внутренней структуре, которые, в свою очередь, могут искажать выходные функции, формирующие информационный вектор кода P(n, m). Если принять допущение о том, что информационные векторы появляются на выходе с одинаковой вероятностью, а возникающие искажения есть независимые события, то можно исследовать вероятностные свойства кодов P(n, m).

Пусть p - вероятность отсутствия искажения одного произвольного информационного разряда. Тогда событие искажения d разрядов из m можно описать выражением:

S, = (1 - p) dpm-d, (6)

где m - число информационных разрядов; (1 -p)d - вероятность искажения d разрядов; pm—- вероятность правильно передаваемых (m - d) разрядов.

Число возможных искажений d разрядов определяется так: Cdm. Зная долю необнаруживаемых ошибок кратности d от общего числа ошибок той же кратности (величину edm, ее рассчитанные значения приведены в таблице 2), можно определить вероятность возникновения необнаруживаемой ошибки данной кратности на выходе блока основной логики (она аналогичная описанной в [10] для кодов Хэмминга):

50

(7)

Qm=вс (i - p у pm--.

Суммируя величины Qdm для всех четных d, получаем выражение, позволяющее подсчитать вероятность возникновения необнаруживаемой ошибки в модифицированном коде паритета:

m, m-1 m, m-1 ,

Qm = S Qm = S emCm (1 - P) pP~-, (8)

d=2 d=2

где суммирование производится до m, если в коде четное число информационных разрядов, и до (m - 1) - в противном случае.

2.2 Вероятностные свойства модифицированного кода паритета

Воспользовавшись формулами (7) и (8), рассчитаем величины Qdm и Qm. Пример расчета дан в таблице 3 при p = 0,7. В практических задачах при выборе варианта кодирования величина p берется исходя из конструктивных особенностей блока основной логики.

Графики на рисунке 5 наглядно демонстрируют характер изменения величин Q и Q d.

mm

Величина Qm складывается в основном из вероятностей необнаруживаемых ошибок малых кратностей. При m е [3, 9] превалируют необнаруживаемые ошибки кратности d = 2. Так для кода P(9, 7) доля вероятности таких ошибок составляет 71,48 % от общей вероятности возникновения необнаруживаемых ошибок. Пересечение графиков функций Qm и Qm определяет равенство долей этих величин от Qm. Это равенство не достигается для конкретного кода P(n, m), поскольку пересечение графиков Qm и Qm происходит между значениями m = 9 и m = 10. Для кода P(12,10) доли величин Q2 и Q4 в общей вероятности возникновения необнаруживаемых ошибок

mm

составляют 45,73 % и 46,2 % соответственно. Большую долю принимают на себя ошибки кратности d = 4. Указанное свойство сохраняется для всех кодов с m е [10, 17]. Далее доминанту вносят ошибки кратности d = 6. Общее значение Qm с увеличением m не превышает 0,25 - доли необнаруживаемых ошибок в общем числе ошибок информационных разрядов.

Увеличение p дает несколько иные показатели при малых значениях m, но потенциально характер сохраняется с той лишь разницей, что максимумы величин Qmd достигаются при больших m. Сами максимумы уменьшаются по величине. Приводить графики при достаточно небольшой градации величины p не будем, хотя в ходе исследования это было сделано. На рисунке 6 даны графики изменения тех же величин при p = 0,9.

51

Ui

ю

ТАБЛИЦА 3. Каталог долей необнаруживаемых ошибок кратности d от общего числа ошибок той же кратности

т Кратность, d Q

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Р (5,3) 0,063 0,063

Р (6,4) 0,0882 0,0081 0,0963

Р (7,5) 0,12348 0,01701 0,14049

Р (8,6) 0,129654 0,035721 0,165375

Р (9,7) 0,136137 0,052788 0,001531 0,190455

Р (Ю,8) 0,127061 0,073903 0,004287 6,561-Ю5 0,205316

Р (11,9) 0,11859 0,08985 0,010002 0,000229635 0,218672

Р (12,10) 0,103766 0,104825 0,017503 0,000803723 0,226899

Р (13,11) 0,090796 0,113402 0,02769 0,00191286 2,34228-10^5 0,233824

Р (14,12) 0,076268 0,119072 0,038766 0,004017005 9,83756-10^5 5,31441-10^7 0,238222

Р (15,13) 0,064065 0,119305 0,050911 0,007178624 0,000263299 2,60406-10^6 0,241726

Р (16,14) 0,05232 0,116919 0,062366 0,011725086 0,000645084 1,27599-10^5 0,243988

Р (17,15) 0,042728 0,110993 0,073103 0,017479564 0,001479723 4,21077-10~5 2,34365Т0~7 0,245826

Р (18,16) 0,034182 0,103594 0,081876 0,02447139 0,002762149 0,000117901 1,31245- 10_б 4,30467-10-9 0,247004

Р (19,17) 0,027346 0,09449 0,088795 0,032274246 0,004715106 0,000277604 5,51228-10~6 2,71194-10-8 0,247903

Р (20,18) 0,021535 0,085041 0,093234 0,04066555 0,007426291 0,000582969 1,73637-10^5 1,70852-10“7 0,248503

Р (21,19) 0,016959 0,075218 0,095523 0,049108902 0,010991088 0,00110449 4,65925Т0~5 7,2201-10“7 2,44075Т0~9 0,248952

Р (22,20) 0,01319 0,065816 0,095523 0,05729372 0,015387523 0,001932858 0,000108716 2,52703-10^ 1,70852-10"8 3,48678-Ю41 0,249255

Имеем подтвержденное расчетами свойство кодов P(n, m).

Свойство 6. Функции Qdm имеют одну точку максимума; при возрастании величины p данный максимум смещается в сторону увеличения m и уменьшается по величине.

Для функций Qm и Qm очевидным является свойство: lim Qm = lim Qm = 0.

тт ч.» /• ri лп m—m—

Данное свойство доказано в работе [10].

53

Свойство 7. В предельном случае при т^ю значение вероятности возникновения необнаруживаемых искажений информационных разрядов стремится к нулю.

2.3 Модифицированный код паритета и другие коды, пригодные для организации схем функционального контроля

Если сравнить между собой вероятностные характеристики некоторых кодов в схемах функционального контроля, например кодов Бергера [7], с модифицированными кодами паритета, то мы обнаружим ряд особенностей. Например, при p = 0,7 код Бергера (код B на рисунке 7) предпочтительней при m > 8, т. к. величина Qm у него меньше, чем у модифицированного кода паритета (код PM на рисунке 7). При большем m предпочтение переходит к кодам Бергера. Этот факт компенсируется тем, что для модифицированных кодов паритета число контрольных разрядов сохраняется равным двум, тогда как для кодов Бергера оно возрастает (для кода с m = 20 требуется пять контрольных разрядов [4]).

Увеличение p определяет преимущественное использование модифицированных кодов паритета при малых m. Для примера на рисунке 8 приведены соответствующие графики: при m < 17 коды P(n, m) выгоднее использовать, вероятность возникновения необнаруживаемой ошибки в информационных векторах ниже, чем у кода Бергера. Однако увеличение m определяет преи-

54

Рис. 7. Сравнительные характеристики кодов Бергера и модифицированных кодов паритета при p = 0,7

Q(m)

Рис. 8. Сравнительные характеристики кодов Бергера и модифицированных кодов паритета при p = 0,9

мущество кодов Бергера. Это объясняется увеличением в кодовых векторах последних числа контрольных разрядов.

Заключение

Результатом исследования являются впервые полученные свойства модифицированных кодов паритета по обнаружению ошибок в схемах функционального контроля. Для данного типа кодов необнаруживаемыми ошибками являются ошибки четной кратности. Поэтому сам код целесообразно применять для контроля таких комбинационных логических устройств, в которых выходы внутренних логических элементов являются независимыми. При любых однократных искажениях элементов во внутренней структуре блока основной логики это дает возможность возникновения искажения значения только одного выхода.

Установленными в статье свойствами не обладают другие применяемые для организации схем функционального контроля разделимые коды [6]-[10], что показывает уникальность кода.

Библиографический список

1. Модифицированный код паритета в схемах функционального контроля / Д. В. Ефанов // Вестник УрГУПС. - 2011. - № 4. - С. 4-14.

55

2. Error Detection Circuits / M. Goessel, S. Graf. - London. : Me Graw-Hill, 1994. -

261 p.

3. Основы технической диагностики (оптимизация алгоритмов диагностирования, аппаратурные средства) / П. П. Пархоменко, Е. С. Согомонян. - М. : Энергоатомиздат, 1981. - 320 с.

4. Основы технической диагностики / В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников. - М. : Маршрут, 2004. - 316 с. - ISBN 5-89035-123-0.

5. Self-checking and Fault-tolerant Digital Design / P K. Lala. - University of Arkansas, 2001. - 216 p. - ISBN 0124343708.

6. Самопроверяемые дискретные устройства / В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников. - СПб. : Энергоатомиздат, 1992. - 224 с. - ISBN 5-283-04605-2.

7. О свойствах кода с суммированием в схемах функционального контроля / Д. В. Ефанов, В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. -2010. - № 6. - С. 155-162.

8. Экспериментальные исследования двоичных кодов с суммированием / В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, А. А. Блюдов // Известия Петербургского университета путей сообщения. - 2011. - Вып. 2 (27). - С. 290-299.

9. Предельные свойства кода с суммированием / В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов // Известия Петербургского университета путей сообщения. - 2010. -Вып. 3 (24). - С. 290-299.

10. Коды Хэмминга и их обнаруживающие способности в схемах функционального контроля / Д. В. Ефанов, А. А. Блюдов // Информатика и системы управления. - 2012. -№ 2 (32). - С. 100-111.

© Ефанов Д. В., Блюдов А. А., 2012

56