CC BY
0
УДК 517.968, 517.983.37
doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-3
Исследование задачи дифракции акустической волны на системе мягких экранов методом интегральных уравнений
В. O. Нестеров1, А.А. Цупак2
'^Пензенский государственный университет, Пенза, Россия [email protected]
Аннотация. Актуальность и цели. Цель работы - теоретическое исследование и разработка численного метода решения скалярной задачи дифракции на системе акустически мягких экранов. Материалы и методы. Рассматривается строгая математическая постановка задачи дифракции; для отыскания приближенных решений системы интегральных уравнений используется метод Галеркина. Результаты. Доказано, что решение задачи дифракции существует и единственно; установлены непрерывная обратимость и эллиптичность оператора системы интегральных уравнений; доказана теорема о сходимости метода Галеркина. Выводы. Получены теоретические результаты о разрешимости задачи дифракции; программно реализован и обоснован проекционный метод для ее численного решения.
Ключевые слова: задача дифракции, акустически мягкие экраны, интегральные уравнения, пространства Соболева, метод Галеркина
Для цитирования: Нестеров В. О., Цупак А. А. Исследование задачи дифракции акустической волны на системе мягких экранов методом интегральных уравнений // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 4. С. 35-45. doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-3
Studying the issue of acoustic wave scattering from a system of soft screens by the method of integral equations
V.O. Nesterov1, A.A. Tsupak2
12Penza State University, Penza, Russia [email protected]
Abstract. Background. The aim of the work is a theoretical and numerical study of the scalar problem of diffraction on the system of acoustically soft screens. Material and methods: a rigorous mathematical formulation of the diffraction problem is considered; the Galerkin method is used to numerically solve the system of integral equations of the diffraction problem. Results. Theorems on the existence and uniqueness of the solution to the diffraction problem are proved; in particular, ellipticity and continuous invertibility of the operator of the integral equations system are established; convergence of the Galerkin method is proved. Conclusions. Important results on the solvability of the diffraction problem have been obtained; a projection method for its numerical solution is theoretically justified and implemented.
Keywords: diffraction problem, acoustically soft screens, integral equations, Sobolev spaces, Galerkin method
For citation: Nesterov V.O., Tsupak A.A. Studying the issue of acoustic wave scattering from a system of soft screens by the method of integral equations. Izvestiya vysshikh
© Нестеров В. О., Цупак А. А., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(4):35-45. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-3
Введение
В работе рассмотрена скалярная трехмерная задача рассеяния плоской монохроматической акустической волны, распространяющейся в однородном пространстве, системой акустически «мягких» параметрически заданных гладких (незамкнутых) экранов.
Сформулирована математическая постановка задачи дифракции: краевая задача для уравнения Гельмгольца с граничными условиями на экране. Показано, что решение такой задачи единственно.
Задача дифракции сведена к системе интегральных уравнений на поверхности экранов (вывод уравнений приведен, например, в [1]). Матричный оператор системы интегральных уравнений (ИУ) исследуется в пространствах Соболева [2] на гладких двумерных многообразиях с краем. Показано, что оператор является непрерывно обратимым и эллиптическим в выбранных пространствах.
Для численного решения системы ИУ применяется метод Галеркина с выбором финитных кусочно-постоянных базисных функций на неплоских поверхностях экранов. Показано, что базисные функции удовлетворяют условию аппроксимации [3], а метод Галеркина является сходящимся.
Метод Галеркина программно реализован: в работе описано построение расчетной сетки, приведены формулы для вычисления матричных элементов; проведен ряд вычислительных экспериментов.
1. Математическая постановка задачи
3
В пространстве К , заполненном акустически однородной средой с волновым числом kQ (Re(kfl) > 0, Im(kfl) > 0), рассматривается система попарно непересекающихся акустически мягких экранов Q = {Qj, Q2} • Экран Qi - ограниченная параметризованная гладкая поверхность с гладкой границей ЭЦ-.
Задача рассеяния плоской волны
u0(x) = expik0(axi+Px2+№), xe К3,
системой экранов Q состоит в нахождении в К3 \ 3Q полного поля u (x),
удовлетворяющего:
- условиям гладкости:
u e С2 ((Q)c) Pi С(M+ \ Qs) Pi С(M- \ QS); (1)
S>0 S>0
- уравнению Гельмгольца:
Au (x) + k<2u(x) = 0, x e К3 \ Q; (2)
- условию Дирихле:
u Q=0; (3)
- условиям конечности энергии:
u е Н11ос (М3\ Й); (4)
- условиям излучения Зоммерфельда для рассеянного поля us = u _ и0:
диу _ = о (г-1) при 1т(#о) = 0,
Эг \ /
иу = 0(г ) при Im(kо) > 0, г :=| х (5)
2. Существование и единственность решения задачи дифракции
Теорема 1. Решение краевой задачи (1)-(5) единственно. Доказательство. Докажем тривиальность решения однородной задачи. Введем такие ограниченные области ¥[, ¥>, что V п ¥2= 0 и Й' с д V. Пусть В := (0) - такой шар, что V' с В . Введем также области
¥3 := В \ (V п ¥2) с границей д¥3= дВ пд V пд¥2 и ¥4 := В° .
Пусть V' (х) - сужение поля и,, (х) на V'. Исследуем задачу сопряжения, эквивалентную задаче дифракции (1)-(5). Функции VI (х) суть решения уравнений Гельмгольца:
(А + ^з)^(х) = 0,хе V (' = 1,2,3,4), удовлетворяющие условиям:
V (х) = vз (х), х еЭ ¥1, Vl(х) = vз (х) = 0, х еЙ1, V2 (х) = vз (х), х еЭ ¥2 \ Й2, vз( х) = V4 (х), х е дВ, (6)
(х) = vз;v (х), х е д¥1 \ Й1, _ vз;V (х) = V4;V (х), х е дВ, (х) = ^(x),х^^ _^(х)= v3,v(х) = 0,хеЙ2, (7)
= ik0v4 + о(1/ г), г . (8)
дг
Применим к функциям VI, VI первую формулу Грина в областях ¥1 (' = 1,2,3) (обоснование применения формулы приведено, например, в [4]) и учтем уравнение (2):
| ((Ауг +1 Vvi |2)ёх = _ko | | VI |2 ёх + 11 Vvi |2 ёх = | V7vi,vёу, г = 1,2,3. (9)
V' V' V д¥
В равенствах (9) преобразуем правые части, учитывая (6), (7):
| vlv1,v ёу = | vlv1,v ёу, | V2V2,Vёу = | v2v2,vёу, ЭУ1 ЭК1\Й1 дУ2 ЭГ2\02
и
| У3У3;уйя = - | йя - | У2У2;у йя + | У3У3;у йя. (10)
д¥3 ЭК1\А1 ЭГ2\02 дВ
Сложим (9) и (10):
_ 3 3
| V3V3,Vйя = —ко ^| | V; |2 йх + | Уу- |2 йх = - | ^йя. (11) дв г=1V -=1дд
Если 1т(ко) = 0, то, беря мнимую часть (11), выводим с учетом (8):
/ ^
1ш | V^йя = 1ш
1 дв )
дВ
| (гк0У4 + о(Я 1))у4йя = ко | | У4 |2 йя + о(1) = 0.
дВ
Из леммы Реллиха (см. [5, с. 88]) следует, что У4 = 0 в ¥4, а из (6), (7) -и = 0 вне ¥1 и ¥2 . Так как области V , ¥2 могут иметь сколь угодно малый объем, то тривиальность решения установлена для любой точки х, лежащей вне П.
Если !т(кф) > 0, то правая часть в (11) исчезает при Я ^ и
—к2 ^ 1112 йх + ¿11 Уу |2 йх ^ 0, Я ^ ■+».
'=1V '=1V
Беря мнимую часть (12), выводим:
3
—Re( к0) • 1ш(к0)^11VI |2 йх ^ 0, Я ^ г=1 V.
(12)
откуда снова получаем, что V- (х) = 0 , х е V-, г = 1,2,3. Теорема доказана.
Краевую задачу (1)-(5) можно свести [1, 4] к интегральному уравнению на экране:
—| в (х, у)ф( у)йяу = и0( х), х еП,
(13)
П
где в (х, у) = -
¿к0\х—У1
или в операторной форме: Б = ид \п . Полное поле вне
4п \ х — у
дП может представлено следующим образом [1, 4]:
и(х) = и0(х) + | в(х, у) ф (у)йяу (х), х е М3 \ дП.. (14)
П
Слабосингулярный интегральный оператор Б уравнения (13) будем исследовать в пространствах Соболева [2, 6]:
>—1/ -
Б: ¡Г /2(П) ^ Н 1/2(П)
Hs(Q):= {u |Q:ue Hs(M)}, Hs(Q):= {ue Hs(M): suppu cQ).
Теорема 2. Оператор L является непрерывно обратимым фредгольмо-вым оператором в выбранных пространствах.
Доказательство. Запишем оператор S в форме
( с11 с12^
согласно системе интегральных уравнений на системе двух непересекающихся экранах получаем:
_ | в(х,у)ф1(у)ёУу _ | в(х, у)ф2(у)ёУу = и0(х), х е Йь
Й1 Й2
_ | в(x,У)Ф1(У)ёуу _ | в(x, У)Ф2(У)ёуу = и0(x), х е Й2-
Й1 о2
Операторы Б11:Н_1/2(Й1) ^Н 1/2(Й1) и Б22 :Н 1/2(Й2) ^Н_1/2(Й2)
12 21
являются эллиптическими [6]; а операторы Б , Б компактны в силу
бесконечной гладкости их ядер (ведь Й1 пЙ1 =0). Итак, Б - фредгольмов оператор (с нулевым индексом) в указанных пространствах.
Инъективность оператора Б вытекает из тривиальности решения однородного уравнения Б ф = 0. Последнее есть следствие теоремы 1, а также эквивалентности краевой задачи (1)-(5) и системы интегральных уравнений (13), (14) (доказательство последнего результата приведено, например, в [1, 4]).
Окончательно из теоремы Фредгольма [7] выводим непрерывную обратимость Б в указанных пространствах Соболева. Теорема доказана.
Таким образом, установлено, что задача дифракции (1)-(5) имеет и при том единственное решение.
3. Метод Галеркина
Приближенные решения уравнения (13) фп - это пара функций 12
фп (х), х еЙ1, фп (х), х еЙ2, - будем искать методом Галеркина. Функции
п
т т , ч X 1 т т / \
фп записываются в виде фп (х):= > с' ^ (х), х еЙт .
'=1
Введем удобные для программной реализации базисные функции (х) на неплоском экране Йт, т = 1,2. Пусть параметризованный экран Йт задается с помощью гладкой функции xm (г) (область параметров обозначим через П := {(¿1, ¿2) е[0,1] }). Разобьем П на прямоугольные конечные элементы:
Цг2 = [ti1,Чх+1]х[ti2,+1] ('к = 0,...,п_1); Ч ='/п (г = п).
Тогда базисные функции определим формулами:
< =<-2( х) =
1, кт (х) епг1г2, 0, кт (х) х г112
где кт (х): Пт ^ П - обратное к xm (г) гладкое отображение. Графики базисных функций на плоском и неплоском экранах представлены на рис. 1.
а) б)
Рис. 1. Финитные базисные функции на плоском (а) и неплоском (б) экранах
Так как отображения хт (г) являются по предположению гладкими, а множество кусочно-постоянных функций всюду плотно в ) з
з Н "1/2(П) , то определенные выше базисные функции ут. (х) удовлетво-
г1г2
ряют условию предельной плотности (условию аппроксимации) [3] в про-1/2 —
странстве Н (П) решений задачи.
Применяя метод Галеркина, сведем задачу об отыскании приближенного решения интегрального уравнения к решению системы линейных алгебра-
1 12 2 Т
ических уравнений Su = Здесь u = (с1,...,сп,С1 ,...,сп) - столбец неизвестных коэффициентов. Основную матрицу системы линейных алгебраических уравнений S и столбец правой части ^ запишем в блочном виде:
S =
,11
,21
,12
,22
110 =
Vй
Элементы столбца и0 и основной матрицы S вычисляются по определению метода Галеркина согласно формулам
ик = | и0(х)^к (х)йях, S■j/ = | Бк1у1у (х)ук (х)йях; к, / = 1,2; г, у = 1,..., п.
П
П
Учитывая, что финитные базисные функции являются кусочно-постоянными, а экраны - параметризуемыми, получим выражения для матричных элементов через повторные интегралы:
ик = | ио(\к О^ХН к
$>к] =-11 °(хк (¿1,¿2),х/ (¿3, ¿4)) | Jk (¿1, г2) | • I &,г4) | .
В последних формулах Jk (¿1, ¿2) - якобиан преобразования \к. При к = / и 1 = 7 интегралы являются слабосингулярными и в предлагаемой программной реализации вычисляются методом центральных прямоугольников с выбрасыванием особых точек подынтегральной функции.
Теорема 3. Метод Галеркина с выбором кусочно-постоянных базисных функций у- сходится для оператора
5: Н "1/2(Ш) х Н "1/2(^2) ^ Н 1/2(П1) х Н1/2 (О2) и верна квазиоптимальная оценка скорости сходимости
приближенных решений фп к единственному решению ф уравнения (13).
Доказательство. Выше отмечалось, что диагональные операторы
// ~ —1/2 — 1/2 Б : Н (О/) ^ Н (О/), / = 1,2, являются эллиптическими. Это означает
[6], что существуют такие компактные операторы К//: Н_1/2(О/) ^
1/2 ~ —1/2 — ^ Н (О/) и константы у/ > 0, что для всех фе Н (О/)
| (Б11 ф + КПф)(х)ф(л)ёзх > У;2 ||ф||Н-1/2(0/) . О/
Для операторов
(Б// + К//)
метод Галеркина сходится [3]. Так как опе-
// 12 21
раторы К , Б и Б компактны, а матричный оператор Б непрерывно обратим, то метод Галеркина сходится и для Б, если выполнено условие ап-
1/2 —
проксимации для базисных функций в пространствах Н (О/). Последнее требование удовлетворено, так как кусочно постоянные функции у™ всюду плотны в ¿2(0/) [7]; пространства ¿2(0/), в свою очередь, всюду плотно 1/2 —
вложены в Н (О/) [2]. Теорема доказана.
4. Результаты расчетов
Рисунок 2 иллюстрирует внутреннюю сходимость проекционного метода в задаче дифракции плоской волны ио (х) = х , распространяющейся вдоль оси Охз, на плоском экране
О1 = {х: х1,х2 е [—X/4,X/4], х3 = 0}.
а) п0 = 12
в) п0 = 20
г) п0 = 24
Рис. 2. Внутренняя сходимость метода Галеркина
Число базисных функций на каждом экране - п = (п0) , а параметр п0 принимает значения 12, 16, 20 и 24.
На рис. 3 продемонстрированы результаты теста, в ходе которого исследовалось взаимное влияние экранов друг на друга. Второй экран (на рисунке расположен выше) определен так:
П2 = {х: х1, х2 е [0, X / 2], х3 = X • я},
где я - параметр, определяющий сдвиг второго экрана вдоль оси Ох3. Из приведенных результатов видно, что при большом удалении экранов друг от друга их взаимное влияние невелико, а решения на каждом экране симметричны - как в задаче дифракции на одном экране. При сближении экранов их взаимное влияние возрастает: симметрия решений нарушается, а значения решений уменьшаются.
На рис. 4 представлена дифракционная картина, отвечающая решению задачи рассеяния плоской волны на системе двух неплоских экранов: на рисунке изображены плотности интегралов (решения системы интегральных уравнений) и модуль полного поля вне экранов.
Заключение
Проведено исследование задачи рассеяния акустической волны системой двух неплоских «мягких» экранов. Доказано, что задача дифракции имеет (и при том единственное) решение. Сформулирован, теоретически обоснован и программно реализован проекционный метод (метод Галерки-на) для численного решения системы интегральных уравнений задачи дифракции.
в) я = 0.25 г) я = 0.1
Рис. 3. Решение задачи на системе двух плоских экранов
Рис. 4. Поле вне экранов и решения ф1, ф2 на экранах
Список литературы
1. Смирнов Ю. Г., Цупак А. А. Математическая теория дифракции акустических и электромагнитных волн на системе экранов и неоднородных тел : монография. М. : РУСАЙНС, 2016. 226 с.
2.
3.
4.
5.
Агранович М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. М. : МЦНМО, 2013. 379 с. Kress R. Linear integral equations. Berlin ; New York : Springer-Verlag, 1989. 299 p. Медведик М. Ю., Смирнов Ю. Г., Цупак А. А. Скалярная задача дифракции плоской волны на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54, № 8. С. 13191331.
Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / пер. с англ. Ю. А. Еремина, Е. В. Захарова ; под ред. А. Г. Свешникова. М. : Мир, 1987. 311 с.
Stephan E. P. Boundary integral equations for screen problems in R3 // Integral equations and potential theory. 1987. Vol. 10, № 10. P. 236-257.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. 572 с.
References
1. Smirnov Yu.G., Tsupak A.A. Matematicheskaya teoriya difraktsii akusticheskikh i el-ektromagnitnykh voln na sisteme ekranov i neodnorodnykh tel: monografya = Mathematical theory of diffraction of acoustic and electromagnetic waves on a system of screens and inhomogeneous bodies: monograph. Moscow: RUSAYNS, 2016:226. (In Russ.)
2. Agranovich M.S. Sobolevskiye prostranstva, ikh obobshcheniya i ellipticheskiye za-dachi v oblastyakh s gladkoy i lipshitsevoy granitsey = Sobolev spaces, their generalizations and elliptic problems in domains with smooth and Lipschitz boundaries. Moscow: MTSNMO, 2013:379. (In Russ.)
3. Kress R. Linear integral equations. Berlin; New York: Springer-Verlag, 1989:299.
4. Medvedik M.Yu., Smirnov Yu.G., Tsupak A.A. Scalar problem of diffraction of a plane wave on a system of non-intersecting screens and inhomogeneous bodies. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of computational mathematics and mathematical physics. 2014;54(8):1319-1331. (In Russ.)
5. Kolton D., Kress R. Metody integralnykh uravneniy v teorii rasseyaniya = Methods of integral equations in scattering theory. Trasl. from Eng. by Yu.A. Yeremin, E.V. Zakh-arov; ed. by. A.G. Sveshnikova. Moscow: Mir, 1987:311. (In Russ.)
6. Stephan E.P. Boundary integral equations for screen problems in R3. Integral equations and potential theory. 1987;10;(10):236-257.
7. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsiy i funktsionalnogo analiza. 7-e izd. = Elements of the theory of functions and functional analysis. The 7th edition. Moscow: FIZMATLIT, 2004:572. (In Russ.)
Информация об авторах / Information about the authors
Владислав Олегович Нестеров
аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Vladislav O. Nesterov Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Алексей Александрович Цупак
кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected] 44
Aleksey A. Tsupak
Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 09.09.2024
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 26.09.2024 Принята к публикации / Accepted 10.11.2024
