CC BY
15
Оригинальная статья / Original article УДК 004.942
DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-9-133-140
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РАСХОДА ТОПЛИВА НА ДАВЛЕНИЕ УХОДЯЩИХ ГАЗОВ В ДЫМОВОЙ ТРУБЕ ГАЗОВОЗДУШНОГО ТРАКТА КОТЕЛЬНОГО АГРЕГАТА КАК ОБЪЕКТА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
19 Я
© В.Г. Хапусов1, А.А. Ермаков2, А.А. Подкорытов3
Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
РЕЗЮМЕ. В качестве объекта исследования выбран котельный агрегат, представляющий собой сложную и взаимосвязанную систему, которая была описана как динамический стохастический объект с неконтролируемыми возмущающими воздействиями. ЦЕЛЬ данной работы - усовершенствование методов управления воздушным трактом котельного агрегата, а также разработка модели, позволяющей учесть динамику объекта, поскольку динамические модели по сравнению с классическими системами автоматического управления дают возможность точнее прогнозировать и управлять процессом. МЕТОДЫ. Математическая модель получена экспериментально-статистическими методами с применением известной методики Д.Ж. Бокса и Г. Дженкинса для идентификации процесса производства пара. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Определена степень влияния оборотов питателей сырого угля (расхода топлива) на давление уходящих газов в дымовой трубе газовоздушного тракта котельного агрегата. В результате проведенных исследований получены модели, позволяющие оценить влияние оборотов питателей сырого угля на давление уходящих газов в дымовой трубе в точках 122 и 24 м. ВЫВОДЫ. Разработанная модель может быть использована для прогноза и управления давлением уходящих газов в дымовой трубе газовоздушного тракта котельного агрегата.
Ключевые слова: давление газов в дымовой трубе, обороты питателей сырого угля, стохастическая модель, идентификация, оценивание, диагностическая проверка.
Информация о статье. Дата поступления 05 июля 2018 г.; дата принятия к печати 27 августа 2018 г.; дата онлайн-размещения 28 сентября 2018 г.
Формат цитирования. Хапусов В.Г., Ермаков А.А., Подкорытов А.А. Исследование влияния расхода топлива на давление уходящих газов в дымовой трубе газовоздушного тракта котельного агрегата как объекта с распределенными параметрами // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 9. С. 133-140. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-9-133-140
STUDY OF FUEL CONSUMPTION EFFECT ON FLUE GAS PRESSURE IN THE STACK OF THE AIR AND GAS PATH OF A BOILER UNIT AS AN OBJECT WITH DISTRIBUTED PARAMETERS
V.G. Khapusov, A.A. Ermakov, A.A. Podkorytov
Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russian Federation
ABSTRACT. The study deals with the improvement of control methods of the air and gas path of a boiler unit. The PURPOSE of the work is to develop the models that allow for object dynamics. Dynamic models enable more accurate prediction and control of the process as compared with classical automatic control systems. METHODS. The article dis-
1
Хапусов Владимир Георгиевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизации производственных процессов, e- mail: [email protected]
Vladimir G. Khapusov, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Production Process Automation, e-mail: [email protected]
2Ермаков Андрей Андреевич, аспирант, e-mail: [email protected] Andrey A. Ermakov, Postgraduate student, e-mail: [email protected]
3Подкорытов Алексей Александрович, аспирант, e-mail: [email protected] Aleksey A. Podkorytov, Postgraduate student, e-mail: [email protected]
cusses the application of the well-known methods of Box D.J. and Jenkins G. for steam production process identification. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. The object of the study is a boiler unit, which is a very complex and interconnected system. It is described as a dynamic stochastic object with uncontrolled disturbing influences. Using experimental and statistical methods, a mathematical model has been obtained. It allows to determine the influence degree of the raw coal feeder rotation (fuel consumption) on the flue gas pressure in the stack of the boiler unit air and gas path. CONCLUSIONS. The conducted studies resulted in obtaining the models that allow to evaluate the effects of raw coal feeder rotations on the flue gas pressure in the stack at the points of 122 m and 24 m. The developed model can be used for prediction and control the pressure of flue gases in the stack of the air and gas path of the boiler unit. Keywords: gas pressure in the stack, rotations of raw coal feeders, stochastic model, identification, evaluation, diagnostic test
Information about the article. Received July 5, 2018; accepted for publication August 27, 2018; available online September 28, 2018.
For citation. Khapusov V.G., Ermakov A.A., Podkorytov A.A. Study of fuel consumption effect on flue gas pressure in the stack of the air and gas path of a boiler unit as an object with distributed parameters. Vestnik Irkutskogo gosudar-stvennogo tekhnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University, 2018, vol. 22, no. 9, pp. 133-140. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-9-133-140 (In Russian)
Введение
В качестве объекта исследования был выбран котельный агрегат БКЗ-420-140-6, оборудованный четырьмя установками по приготовлению пыли [1]. Данный котлоагрегат работает в блоке из четырех котлов (БКЗ-420), дымовые газы которых отводятся в дымовую трубу высотой 180 м и диаметром устья 6 м. воздушный тракт котельного агрегата как объект управления представляет собой весьма сложную и взаимосвязанную систему. Ее можно охарактеризовать как динамический стохастический объект с не измеряемыми возмущающими воздействиями [2]. Обороты вращения питателей сырого угля являются возмущающим фактором газовоздушного тракта котельного агрегата. Косвенным параметром, характеризующим работу газовоздушного тракта, может служить давление уходящих газов в дымовой трубе 4 [3].
Цель данного исследования - получить математические модели, позволяющие оптимизировать топочные процессы (приблизиться к параметрам оптимального
управления). Управление расходом дымовых газов позволит уменьшить загрязнения, возникающие при любых процессах горения, поддержать необходимые эксплуатационные параметры в дымовой трубе, сократить тепловые потери с уходящими газами. Для достижения поставленных целей необходимо построить математические модели влияния оборотов вращения питателей сырого угля на давление уходящих газов в дымовой трубе 5 [4].
Данные, собранные в течение длительного времени наблюдений за нормальным ходом процесса выработки пара, были подвергнуты статистическому анализу.
В период пассивного эксперимента контролировались следующие технологические факторы:
dР24 - давление дымовых газов в точке 24 м по высоте трубы;
dР122 - давление дымовых газов в точке 122 м по высоте трубы;
/■ - обороты вращения питателей сырого угля ПСУ-А,Б,В,Г.
Сбор статистических данных длился
4Ротач В.Я. Теория автоматического управления: учебник для вузов; 2-е изд. перераб. и доп. М.: ИД МЭИ, 2004. 400 с. / Rotach V.Ya. Theory of automatic control: textbook for higher schools. Moscow: MEI Publishing House., 2005, 400 p.
5Волошенко А.В. Принципиальные схемы паровых котлов и топливоподач: учеб. пособие. Томск: Изд-во НИТПУ, 2011. 100 с. / Voloshenko A.V. Basic schemes of steam boilers and fuel supply: Learning aid. Tomsk: Publishing house of NRTPU, 2011, 100 p.
в течение смены с интервалом отсчета 10 с.
Для исследования влияния оборотов вращения питателей сырого угля на давление уходящих газов в дымовой трубе были использованы методы корреляционного и регрессионного анализа. Исходной информацией для этого послужили временные ряды: давление уходящих газов в дымовой трубе в точке 24 м - У*; давление уходящих газов в дымовой трубе в точке 122 м - У2; обороты вращения питателей сырого угля -Х* [5, 6].
С целью приведения указанных выше временных рядов к стационарному виду согласно методике, представленной в работе [1], для каждого ряда были получены разностные временные ряды с помощью
«~i d
оператора взятия разностей N [7]:
xt = N X ; к = N У, ; с1>0,
где б - порядок разности; х,, у\, - нормированные значения временных рядов:
х, = (X, -Х~)/ Ох; у, = У -П)/ Оу,
, - средние значения ряда,
ох, оу - среднеквадратичное отклонение.
В качестве примера на рис. 1 приведены временные ряды оборотов питателей сырого угля и давления уходящих газов в дымовой трубе в стандартизированном виде [8].
Рис. 1. Временные ряды оборотов питателей сырого угля и давления уходящих газов в дымовой трубе в точке 24 м в стандартизированном виде Fig. 1. Time series of raw coal feeder rotations and flue gas pressure in the stack at the point of 24m in a standardized form
6Хапусов В. Г. Моделирование систем: учеб. пособие. Иркутск: Изд-во ИрНИТУ, 2007. 212 с. / Khapusov V.G. Modeling of systems: Learning aids. Irkutsk: INRTU Publ., 2007, 212 p.
С целью приведения указанных выше временных рядов к стационарному виду по методике, представленной в работе [1], для каждого ряда были получены разностные временные ряды с помощью операто-
„ ^ а
ра взятия разностей V :
X = VйX ; у = V* У ; d>0.
Оказалось, что уже при d = 1 исследуемые разностные временные ряды имеют быстро затухающую автокорреляционную функцию.
Приведение рядов к стационарному виду позволяет использовать метод взаимных корреляционных функций для определения в структуре модели таких временных интервалов, для которых коэффициент связи между оборотами питателей сырого угля и давлением уходящих газов в дымовой трубе имеет существенный уровень значимости [9].
В качестве примера на рис. 2 приведен график взаимно-корреляционной функ-
ции Нху(к) между наблюдаемыми рядами Уц Хц (обороты питателей сырого угля) и рядом Х1г (давления уходящих газов в
дымовой трубе), полученными в результате обработки статистического материала.
Визуальный анализ этого графика не позволяет сделать однозначного вывода о тех временных интервалах, при которых обороты питателей сырого угля существенно влияют на давление уходящих газов в дымовой трубе, так как механизм взаимодействия завуалирован коррелированно-стью значений входного ряда, но помогает определить значимость коэффициентов взаимной корреляции.
Для устранения эффекта коррели-рованности предлагается к входному и выходному рядам применить дополнительную процедуру выравнивания («выбеливания») на основе построения для этих рядов моделей авторегрессии и скользящего среднего /АРСС/:
Рис. 2. Выборочная взаимная корреляционная функция R^ по наблюдаемым данным Fig. 2. Selective mutual correlation function RKm by the observed data
at = xt - lpi=1 Фi xt-i + Zj=i Qt-j at-j ; в = yt - li= i Фiyt-i + l%i Qt-jв-j ,
где at , в - выравненные ряды соответственно для входных и выходных разностных рядов; ФI - значения параметров для авторегрессионной модели; Q- - значения параметров для модели скользящего среднего; р - порядок модели авторегрессии; q - порядок модели скользящего среднего.
Для получения оценок р, q, Ф1 был применен нелинейный алгоритм наименьших квадратов [10].
В табл. 1 приведены выборочные взаимные корреляционные функции rap(k) после предварительного выравнивания спектра; там же даны приближенные стандартные ошибки выборочной взаимной корреляции o(r).
Сравнение коэффициентов взаимной корреляции с их стандартными ошибками <(r) показывает, что давление уходящих газов в дымовой трубе в точке dP24 м тесно связано со значениями оборотов питателей сырого угля в диапазоне 30-130 с.
Давление уходящих газов в дымовой трубе в точке 122 метра по высоте трубы тесно связано со значениями оборотов питателей сырого угля в диапазоне
от 30 до 130 с.
Привязка модели к наблюдаемым значениям временных рядов осуществляется в несколько этапов: сначала делается пробная идентификация на основе анализа приближенной функции отклика на единичный импульс, затем применяется процедура нелинейного оценивания пробной модели и диагностическая проверка с использованием критерия согласия / [11].
Динамические стохастические модели влияния оборотов питателей сырого угля на давление уходящих газов в дымовой трубе в точках 6Р122 и бР24 были получены с использованием методики Бокса - Дженкинса в классе моделей
у= б"1(Б)ы (Б)и • х-ь +п, ,
где В - оператор сдвига назад на один шаг; Ь - параметр запаздывания:
6(В)=1- 61В - 62В2 - ... - 50; ш(В) = шо - Ш1В - Ш2В2 - . - ШзВ5.
С целью получения более точной модели в уравнениях была учтена шумовая составляющая п,, которая описывалась в классе моделей АРПСС:
*
п, = у, - у,,
Таблица 1
Выборочная взаимная корреляционная функция после выравнивания спектра
Table 1
Selective mutual correlation function after spectrum equalization
Вход Выход Сдвиг k Коэффициент взаимной корреляции raß (К) Ошибка o(r)
1б—21 0,064б 0,034б -0,054 0,0349 0,0221 0,0332
26-30 0,0214 0,0116 -0,050 0,00б7 -0,01б 0,0264
dP24 38-43 0,022б 0,0009 0,063 0,047 0,062 0,022 0,024
47-62 -0,049 0,010б 0,0077 0,0б08 0,049 -0,021
f (t) 63-68 -0,11 -0,04 0,049 -0,003 0,0019 0,0б08
10б-111 0,0016 -0,021 -0,050 0,003 0,00б4 0,0090
13-18 -0,014 0,024 -0,052 -0,013 -0,027 -0,042
dP122 33-38 -0,027 0,009 -0,049 0,014 -0,048 -0,018 00,024
41-4б 0,0023 -0,0548 0,037 0,0032 -0,053 0,0083
120-126 0,037 0,016 -0,034 0,049 -0,016 0,01б
где у\, - наблюдаемый временной ряд; уГ - значения ряда, получаемые по модели
щ = Ф-1(В) • е(В)аа,
где аБ - остаточная ошибка.
Динамические стохастические модели влияния оборотов вращения питателей сырого угля ПСУ-Б,В,Г на давление уходящих газов в дымовой трубе, полученные соответственно в точках dP122 и dP24, имеют вид:
• для точки 122 м:
(1 + 0,768 В + 0,589 В2 + 0,495 В3 +
±0,023 ±0,029 ±0,033
+ 0,405 В4 + 0,319 В5+ 0,249 В6+ 0,22 В7+
±0,033 ±0,034 ±0,033 ±0,032
+ 0,177 В8+ 0,72 В9)
±0,029 ±0,03
V Р122 0)=- 0,352 V 7 0-5) -
±0,156
- 0,350 V 7 0-35) - 0,286 В V 7 0-37)-
±0,156 ±0,156
- 0,331 В2 V 7 (М2)- 0,303 V 7 0-45) +
±0,156 ±0,0156
+ 0,369 V 7 (— 123) + п.
±0,156
Значение шума описывается моделью
(1-1,51 В + 0,56 В2) п =
±0,024 ±0,024
= (1-1,54 В + 0,56 В2) а,
±0,024 ±0,024
где V - первые разности; значения под коэффициентами - стандартные ошибки;
• для точки 24 м:
(1 + 0,768 В + 0,589 В2 + 0,495 В3 +
±0,023 ±0,029 ±0,033
+ 0,405 В4 + 0,319 В5+ 0,249 В6+ 0,22 В7+
±0,033 ±0,034 ±0,033 ±0,032
+ 0,177 В8+ 0,72 В9) V Р122 0)=
±0,029 ±0,03
=-0,599 V 7 (МБ) - 0,543 V 7 0-27) +
±0,256 ±0,256
+ 0,716 V 7 (—40) - 0,595 V 7 (-47)+
±0,256 ±0,256
+ 0,586 V 7 (—51) + 0,556В V 7 0-55) -
±0,256 ±0,256
- 0,581 V 7 0- 109) + щ
±0,256
Значение шума описывается моделью
(1-1,63 В + 0,69 В2) щ =
±0,024 ±0,024
= (1-1,68 В + 0,7 В2) а.
±0,024 ±0,024
Полученные модели анализируются на адекватность реальному процессу влияния оборотов питателей сырого угля на давление уходящих газов в дымовой трубе в точках dP122 и dP24 с помощью диагностической проверки [3], осуществляемой в два этапа:
1) вычисление ^-статистики для значений автокорреляционной функции остаточных ошибок гаа (к), таких как 0= (Ы-Б-Ь-г). Й=1 гоо2(к),
где N - число наблюдений; к - максимальная задержка автокорреляций и взаимных корреляций; б - число «правосторонних» параметров динамической стохастической модели; г - число «левосторонних» параметров;
2) вычисление ^-статистики с использованием взаимных корреляционных функций г(к) между выравненным входным рядом а( и рядом остаточных ошибок аи, таких как Н = (Ы-б-Ь-г) 1кк=1 г (к) [12].
В первом случае 0 сравнивается с ^-распределением с к-р-д степенями свободы, а во втором Н сравнивается с ^-распределением с к-г-Б степенями свободы [13].
В табл. 2 приведены значения коэффициентов ^-статистики диагностической проверки по автокорреляционной и взаимной корреляционной функциям для всех частот вращения питателей сырого угля.
Значение коэффициентов X-статистика
о
Value ofx2 -statistics coefficients
Вход Выход Число степеней свободы H Число степеней свободы Q
f (t) dP24 27 3,65 27 3,65
f (t)d dP122 27 1,67 27 5,11
Таблица 2
Table 2
Диагностическая проверка по автокорреляционным и взаимно-корреляционным функциям с использованием значений ^-статистики не дает оснований сомневаться в адекватности модели.
В результате проведенных исследований получены модели, позволяющие оценить влияния оборотов питателей сырого угля на давление уходящих газов в дымовой трубе в точках 122 и 24 м.
Модели могут быть использованы для прогноза и управления давлением уходящих газов в дымовой трубе в зависимости от оборотов питателей сырого угля. При увеличении оборотов питателей сырого угля давление уходящих газов в дымовой трубе в точках dP122 и dP24 возрастает и в конечном счете оказывает влияние на тягу и температуру в топке.
Библиографический список
1. Оскорбин Н.С., Беднаржевский В.С. Разработка пакетов и комплексов программ в теплоэнергетике // Известия Алтайского государственного университета. 2004. № 1 (31). С. 58-62.
2. Плетнев Г.П. Автоматизация технологических процессов и производств в теплоэнергетике. 4-е изд. М.: ИД МЭИ, 2007. 352 с.
3. Аракелян Э.К., Пикина Г.А. Оптимизация и оптимальное управление. 2-е изд. М.: ИД МЭИ, 2007. 408 с.
4. Серов Е.П., Корольков Б.П. Динамика парогенераторов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Энергоиз-дат,1981. 406 с.
5. Хапусов В.Г., Баев А.В. Смешанные авторегрессионные модели и прогнозирование процесса выработки пара // Вестник ИрГТУ. 2014. № 12 (95). С. 29-34.
6. Хапусов В.Г., Ермаков А.А. Динамические стохастические модели управления котлоагрегатом по каналу «обороты питателей сырого угля - расход пара» // Вестник ИрГТУ. 2017. Т. 21. № 8. С. 65-73. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-8-65-72
7. Шорохов В.А. Смольников А.П. Разработка динамической модели многосвязной АСР пылеугольного блока с прямым вдуванием пыли // Теплоэнергетика. 2009. № 10. С. 56-61.
8. Хапусов В.Г. Ермаков А.А. Динамические стохастические модели по каналу «частота вращения питателей сырого угля - содержание кислорода в уходящих газах» в производстве пара // Вестник ИрГТУ. 2016. № 2 (109). С. 45-50.
9. Хапусов В.Г., Ершов П.Р., Ермаков А.А. Прогнозирование качественных показателей топочной камеры с учетом упреждающего индикатора по расходу топлива в процессе произв. пара // Вестник ИрГТУ. 2017. Т. 21. № 7. С. 87-94. DOI: 10.21285/1814-35202017-7-87-94
10. Семененко М.Г. Введение в математическое моделирование. М.: Солон-Р, 2002. 130 c.
11. Box G.E.P., Jenkins G.M., Reinsel G.C. Time Series Analysis: Forecasting and Control. Prentice Hall, 1994. 614 p.
12. Couto N., Silva V., Monteiro E., Teixeira S., Chacar-tegui R., Bouziane K., Brito P.S.D., Rouboa A. Numerical and Experimental Analysis of Municipal Solid Wastes Gasification Process // Applied Thermal Engineering. 2015. Vol. 78. P. 185-195. Doi: 10.1016/j.applthermaleng.2014.12.036.
13. Vojtesek J., Spacek L. MATLAB as a tool for modeling and Simulation of the nonlinear system // Advances in intelligent systems and computing. 2018. Vol. 765. P. 133-143.
References
1. Oskorbin N.S., Bednarzhevskii V.S. Development of packages and software packages in heat power engineering. Izvestiya Altaiskogo gosudarstvennogo univer-siteta [Izvestia of Altai State University]. 2004,
no. 1 (31), pp. 58-62. (In Russian) 2. Pletnev G.P. Avtomatizatsiya tekhnologicheskikh protsessov i proizvodstv v teploenergetike [Automation of technological processes and productions in heat and
power engineering]. Moscow: MEI Publishing House, 2007, 352 p. (In Russian)
3. Arakelyan E.K., Pikina G.A. Optimizatsiya i opti-mal'noe upravlenie [Optimization and optimal control] Moscow: MEI Publishing House, 2007, 408 p. (In Russian)
4. Serov E.P., Korol'kov B.P. Dinamika parogeneratorov [Dynamics of steam generators]. Moscow: Energoizdat Publ., 1981, 406 p. (In Russian)
5. Khapusov V.G., Baev A.V. Mixed autoregressive models and steam production forecast. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2014, no. 12 (95), pp. 29-34. (In Russian)
6. Khapusov V.G., Ermakov A.A. Dynamic stochastic control models of a package boiler by the channel "coal feeder rotations - steam consumption". Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2017, vol. 21, no. 8, pp. 65-73. DOI: 10.21285/18143520-2017-8-65-72 (In Russian)
7. Shorokhov V.A. Smol'nikov A.P. Development of a dynamic model simulating a multiply connected automatic control system of a coal-fired power unit equipped with a direct injection dust feed system. Teploenergeti-ka [Thermal Engineering]. 2009, no. 10, pp. 56-61. (In Russian)
8. Khapusov V.G. Ermakov A.A. Dynamic stochastic models by the channel "rotation speed of raw coal
Критерии авторства
Хапусов В.Г., Ермаков А.А., Подкорытов А.А. заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
feeders - oxygen content in flue gases" in steam production. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2016, no. 2 (109), pp. 45-50. (In Russian)
9. Khapusov V.G., Ershov P.R., Ermakov A.A. Forecasting furnace chamber qualitative parameters with regard to the predictive indicator on fuel consumption under steam production. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2017, vol. 21, no. 7, pp. 87-94. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-7-87-94 (In Russian)
10. Semenenko M.G. Vvedenie v matematicheskoe modelirovanie [Introduction to mathematical modeling]. Moscow: Solon-R Publ., 2002, 130 c. (In Russian)
11. Box G.E.P., Jenkins G.M., Reinsel G.C. Time Series Analysis: Forecasting and Control. Prentice Hall, 1994. 614 p.
12. Couto N., Silva V., Monteiro E., Teixeira S., Chacar-tegui R., Bouziane K., Brito P.S.D., Rouboa A. Numerical and Experimental Analysis of Municipal Solid Wastes Gasification Process // Applied Thermal Engineering. 2015. Vol. 78. P. 185-195. Doi: 10.1016/j.applthermaleng.2014.12.036.
13. Vojtesek J., Spacek L. MATLAB as a tool for modeling and Simulation of the nonlinear system. Advances in intelligent systems and computing. 2018, vol. 765, pp. 133-143.
Authorship criteria
Khapusov V.G., Ermakov A.A., Podkorytov A.A. declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and bear equal responsibility for plagiarism.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
