CC BY
16
УДК 532.137.3
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЯ В КРУТИЛЬНО-КОЛЕБАТЕЛЬНОМ ВИСКОЗИМЕТРЕ
И.В. Елюхина
Исследуется линейная устойчивость осесимметричного течения ньютоновской жидкости в вискозиметре Швидковского Е.Г., совершающем колебания в регулярном режиме.
Вискозиметрические данные, получаемые разными авторами при использовании крутильно-колебательного метода Швидковского Е.Г. [1], являются достаточно противоречивыми [2]. Причиной их внутренней несогласованности в методическом плане могут служить принятые в традиционной вискозиметрической методике положения: регулярность режима крутильных колебаний, условие отсутствия турбулентности, ньютоновский реологический тип среды и др., которые носят только оценочный характер и не адекватны в некоторых ситуациях.
Ранее были изучены возможности наблюдения слабоупругих свойств жидких сред (см., например, [3]) и исследован переходный режим крутильных колебаний, когда начальное распределение скоростей оказывает влияние на движение среды [4]. В настоящей работе обсуждается проблема устойчивости течения в крутильно-колебательном вискозиметре, которая представляет интерес также с позиций формирования вторичных вихревых структур и анализа влияния де- и стабилизирующих факторов.
Рассмотрим осесимметричное движение несжимаемой ньютоновской среды в цилиндре радиусом К, совершающем крутильные колебания малой амплитуды в регулярном режиме с периодом г, В цилиндрической системе координат ер,г,г состояние среды описывается составляющими скорости 11(р,иг, и: и давлением Р.
Линеаризованная система уравнений Навье - Стокса и неразрывности после введения возмущенного распределения скоростей 11^11- в виде суммы основного течения ^ и накладываемых на него бесконечно малых нестационарных возмущений У^9УГ9У29 учета уравнений невозмущенного движения [1] и пренебрежения малыми второго порядка записывается как:
Ш
У°У
у сру ср
дУ„
К дУг
д-Ул
дг
V0 дУ у<р игф
г дер
д1
У,
г дер
дУ, г дер О
д\ дг2
+
а2к
+-
1 д2У,
дг'
__,
г дг г2 г2 дер2
2 дУ
<Р
дер
\ дР_ р дг
дУ2 у
<Р
дг
+
(Р
+ V
д\ дг2
д2У
<р
д2уг
дг2 д2У
+
+
ер
+
г дг 1 дУ
+
1 д2К
г2 дер1
1 дР
р дг
<Р
У,
V
дгУ,
дг дг дгУ,
дУ
+
<Р
дг
= 0.
+
1 д\ г2 дер2
+
2 дУг г2 дер
\_дР_ рг дер
(1)
(2)
(3)
(4)
дг дг дер
Слагаемые в (1)~(3), связанные с профилем скорости основного течения , усредним по первой четверти периода:
*><р(г)
(5)
где (г, 0 определено в приближении длинного цилиндра [1]:
(г, 0 = ехр(-кфда01и1 (/Зг / Я)/^ (/?)],
(6)
Физика
где ¡5 = , д~2 к!х - циклическая частота колебаний, V - вязкость, / -
время, р - плотность, - начальное угловое смещение, - функция Бесселя первого рода первого порядка.
Безразмерные переменные введем с помощью соотношений
T = qt9 ^ -т / ¿9т} = ^ / = 9 =Я/с13
--— Р 1с иг\С1
и<р,г,г --, Р = -=-, и0 = а^йц , (7)
ри§ Ч V
где Ле - число Рейнольдса, определенное по толщине пограничного слоя <1 > щ- начальная амплитуда линейной скорости частиц жидкости у поверхности цилиндра.
Решения для возмущений будем разыскивать в виде гармонического колебания
= ,-1Ж(^)/(аКе)}ехр[/а(17 - СТ) + т<р]), (8)
где И] (£),М2(£), - комплекснозначные амплитуды, а£(0,<х>), т = 0,1,2... -осе-
вое и азимутальное волновые числа соответственно, С - X + ¡7 - комплексная фазовая скорость волны, X - действительная фазовая скорость, ¥ <0 (У >0) - декремент затухания (инкремент нарастания) возмущения.
Понижая порядок системы (1)-(4) до шести путем подстановки уравнения неразрывности (4) в первое уравнение Навье - Стокса (1) и учитывая (7), ( 8), получим следующие уравнения для амплитуд:
2
— 2 ^ Ф УН ^(р — / — - ХШ — 1Ш —
щ(ЧаС + а + —Яе/т+ —~) = 2 — Яеи3 + —--иъ—Ти3> (9)
4 $ £ а ^ 4
2
— о У® тп — — 1 —
и2{-1сС + а + — Яе/Тин——-) = + и2и+—и2и, (10)
£ £ о
—, • ^ 2 1 V г» • т ч ™ — _ — —, ,1 — 2 —.
щ{-хаС + а + —- -I- -^-ке т + ——) =--Ж - уфг ке щ + и^ + — ч- —-щт; (11)
4щ%+и\ + /^аи 2 + = 0; (12)
МО) = ^о) = <); у = и,з, (13)
где
_ \-е-™12 у ^ 1-е-™12
^ яг м^о)' У<рг ™
штрихами обозначено дифференцирование по £ .
Собственные значения (параметры яг, Ке или С при двух других известных) определялись с использованием метода дифференциальной прогонки (см., например, [5]) путем решения характеристического уравнения при £ = :
^ = с1е1(А~ - А+) = 0, (15)
где - координата точки стыковки, выбираемая из условия максимума характеристической функции на £ е [0,£0] при заданных параметрах системы. В (15) 3x3 матрица А(£) определяется из решения системы
А'= в - АЕ + (К - АВ)А, (16)
где С,Е,К,В находятся из (9—12) и уравнений
У1'=КУ1 + СУ2,
У2'=ОУ1+ЕУ2;____(17)
векторы V] и У2 выбраны как У] = У2 = иъ\У¥\. Здесь при £€[05£0]
106 Вестник ЮУрГУ, № 6, 2003
Елюхина И.В,
Исследование устойчивости течения в крутильно-колебательном вискоиметре
У!(£) = А(£)У2(#), (18)
и с учетом (13)
А(0) = 0 , А(^0) = 0. (19)
Решение задачи Коши для системы прогоночных уравнений (16, 19) реализовывалось методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности с контрольным членом Егорова, индексы и в (15) указывают на направление интегрирования: прямая £ = 0... и обратная £ = прогонка.
Некоторые результаты, полученные на основе проведенного линейного анализа устойчивости, проиллюстрированы на рис. 1: кривые нейтральной устойчивости для азимутальных спектральных мод т = 0,1 и 2, и на рис. 2: зависимость критического числа Рейнольдса от условий
эксперимента (т.е. параметра ). Показано, что при условиях реальных экспериментов « 27)
турбулентность не возникает. Результаты служат основой при исследовании устойчивости течения неньютоновских сред в крутильно-колебательном вискозиметре Швидковского Е.Г.
О 1375 2750 4125 5500 Re
Рис. 1. Нейтральные кривые
— - т - 0,...... - т = 1,
- - т = 2
Rej*70
5 6.75 8 5 10.25 12
Re
Рис. 2. Зависимость
a0kp
kp
от
Работа выполнена при поддержке Минобразования РФ и правительства Челябинской области (грант 2003 г. для молодых ученых вузов Челябинской области).
Литература
1. Швидковский Е.Г. Некоторые вопросы вязкости расплавленных металлов. - М.: ГИТТЛ, 1955. - 206 с.
2. Островский О.И., Григорян В.А. О структурных превращениях в металлических расплавах // Изв. вузов. Черная металлургия. - 1985. - № 5. - С. 1-12.
3. Елюхина И.В. К вопросу наблюдаемости упругих свойств жидких сред в вискозиметриче-ском эксперименте по Швидковскому Е.Г. // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». Выпуск 1. - Челябинск. - 2001. - № 7 (07) - С. 77-81.
4. Елюхина И.В. О нерегулярном режиме крутильных колебаний в вискозиметре Швидковского Е.Г. // Там же - С. 82-84.
5. Гольдшик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. - Новосибирск: Наука, 1977. - 366 с.
Поступила в редакцию 10 апреля 2003 г.
