CC BY
22
УДК 66.10 - 503.4.001.57 С. И. Дуев
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕАКТОРА ИДЕАЛЬНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ С РЕЦИКЛОМ
Ключевые слова: реактор с рециклом, множественность стационарных состояний, устойчивость реакторных систем.
Рассматривается рециркуляционная система, состоящая из реактора и блока разделения. Проведен анализ устойчивости стационарных состояний для реакции А + проводимой в реакторе идеального вытесне-
ния в системе реактор-блок разделения. Показано, что на режиме с полным использованием исходных расчетов A и B существует континуум стационарных состояний, который в лучшем случае может находиться на границе области устойчивости.
Keywords: reactor with recycle, multiplicity of steady states, stability of reactor with recycle.
The recycle system reactor - separation unit is considered. Analysis of stability of the steady states for the reaction Л+St-sC takes place in the tubular reactor is done. It is proved that a continuum of the steady states exists on the regime with the full using of basic reactants A and B. This continuum may be at the best on the boundary of the stability region.
Введение
При создании химических производства большой мощности особое значение приобретают вопросы интенсификации процессов, возможно более полного использования исходного сырья, минимального загрязнения окружающей среды непрореа-гировавшими исходными промежуточ-ными и побочными продуктами химических процессов.
Эффективным способом решения проблемы минимизации отходов химического производства является рециркуляция непрореагировавших исходных веществ [1].
Типичная блок-схема рециркуляционной системы реактор-блок разделения представлена на рис. 1.
(Зх1
Рис. 1 - Блок-схема рециркуляционной системы реактор-блок разделения
Здесь, в- количество смеси, поступающей в систему в единицу времени, F-количество смеси поступающей в реактор в единицу времени, x-вектор концентраций в реакторе (со значком «0» - на входе в систему, со значком «*» - в рецикле, со значком «вых» -на выходе системы). Предполагается, что блок разделения в общем случае может включать любые процессы разделения, такие как ректификация, аб-сорбация, экстрация и т.п. и его функционирование определяется только заданием режимных параметров процессов разделения, таких как флегмовое число, величина орошения в абсорберах и т.п., не регулируемых по составу получаемых продуктов. Поставленные условия соответствует принципу стабилизации потоков в системе разделения. Между потоками существует однозначные соответствия: F=R+G. В этой системе, выделив целевой продукт в технологическом операторе разделения, непрореа-гировавшие химические компоненты сырья через
оператор смещения возвращают в оператор химического превращения.
Математическое моделирование реактора идеального вытеснения с рециклом
Пусть в изотермическом реакторе идеального вытеснения функционирующем в рециркуляционной системе протекает обратимая реакция второго порядка А + В*-С.
Математическая модель реактора в стационарном состоянии может быть представлена следующей системой дифференциальных уравнений:
F dx1
S~dT
F dx2
S~dT
F dx3 S dl
= "r1 + r2
= "r1 + r2
= r1 - r2
(1)
где S-площадь поперечного сечения реактора, X1, х-2, Хз- концентрации реагентов А, В, С в реакторе. I- текущая длина реактора. Г, (¡= Ц) - функции, определяющие скорости прямой и обратной стадии реакции.
Для простоты анализа будем полагать, что П=[<1X1X2 и г2=к2хз, где П (¡= Ц}- константы скоростей для прямой и обратной стадий реакции. Заметим, что для случая более сложной зависимости функций Г1 и г2 качественные результаты будут такими же. Граничные условия для реактора, функционирующего в рециркуляционной системе, запишутся следующим образом:
Fx1 (0)= Ох? + Rx1* (2)
Fx2 (0)= Ох2 + Rx2
Fx! (0 )= Gx0 + Rx3
где ^(0), x¡ (I = 1,.. .3) - концентрация реагентов на входе в систему и в рецикле.
Предположим, что система разделения обладает достаточно высокой разделительной способностью
для полного отделения непрореагировавших реагентов А и В от конечного продукта реакции С.
Рассмотрим режим с полным исследованием исходных реагентов А и В, при котором в рецикле присутствуют три компонента реакции А, В и С, а конечный продукт реакции Свыделяется на выходе стадии.
Полагая, что концентрации компонентов во всех потоках измеряются в мольных долях для режима с полным использованием исходных реагентов А и В можно записать [2]:
Кх* = Рх1 (|_) (3)
Кх2 = Рх2 (_)
Кх3 = Р(1
Х1 Х2 ,
Тогда на режиме с полным использованием исходных реагентов А и В математическая модель реактора (1) и граничные условия (2) запишутся так:
Р Сх1
з~СГ
Р Сх2
э^СТ
— к^^ к2хз
= к1х1х2 ^ к2хз
(4)
х1 (0) — °х« + х1 (-.)
Р
х2 (0) — ^Рх20) + х2 (Ь)
(5)
х3 = 1 х1 х 2
(6)
Для функционирования этого режима необходимо, чтобы исходные реагенты А и В подавались в систему в стехиометрическом соотношении, т.е.х1(0) = х2(0) [3].
Поскольку первые два уравнения системы(4) и соответствующие или граничные условия (5) совпадают, то краевая задача(4), (5) будет иметь бесконечное множество(континуум) решений. Поэтому, на рассматриваемом режиме будет существовать континуум стационарных состояний, в котором концентрации реагентов А и В будут принимать континуум стационарных значений. Результаты расчета краевой задачи (4), (5) представлены на рис.2.
Рис. 2 - Вид континуума стационарных состояний (кривая аЬ) на выходе реактора на плоскости Х1Х2
Стационарные концентрации исходных реагентов А и В на выходе реактора могут принимать значения в интервале Х|тт^Х|тах, ¡=1,2. Границы интервала возможных стационарных значений концентраций х,, х,тп х|тах, 1=1,2 определяются из условия существования режима с полным использованием исходных реагентов А и В [4, 5].
х1 + х2 <
К
К + о
(7)
Исследование устойчивости континуума стационарных состояний
Для исследования устойчивости в малом континуума стационарных состояний в качестве функционала Ляпунова возьмем функционал [6]: -
и — | хт (/)• х(/)- С^
(8)
где х (I) - вектор-столбец концентраций Х1, Х2;
т-,т
х (I) - транспоннированный вектор-столбец.
Тогда функционал V' = ( - время) запи-
шется следующим образом:
и' = I х1(
(1 дх1
-((1 - (2 )| +
+ х-
а 51
-((1 - Г2 )Т|с1,
(9)
= }х
0
' 1
!1 а 51 _
где а =Э/Р.
В силу непрерывности и монотонности подынтегральной функции по теореме о среднем значении можно записать
( -Аи \ Л
и = 2
х
^ 1) í а -((1 - (2
а 51
+
+ 2
х
(2)(а %-((1 - (2 Л
(10)
а д£
V 0
где ¡112 [0,1].
Тогда для отрицательной знако-определенности функции и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
Л - ЯУ -
-¿^ ф^Г^А (П)
Интегрируя левую часть равенства (11),
получим следующие условия: -
х, (|_) -х, (0) < а|((1 - (2 )С£ /=1,2.(12) 0
С учетом граничных условий (5) неравенства
(12) можно записать так: -
Ох(0) < Э|((1 - (2 )С£ /=1,2.
(13)
Однако из физических соображений должны выполняться следующие неравенства:
Gx(0) > Sj(r1 - r2 )d£ /=1,2.
гировавшие исходные реагенты. Поэтому для под-(14) держания этого режима необходима система авто-
матического регулирования.
Литература
1. Кафаров, В.В. Принципы создания безотходных химических производств / В.В.Кафаров //М.: Химия - 1982-288с.
2. Бояринов, А.И. Множественность стационарных состояний в системе: смеситель - реактор - узел разделения /А.И.Бояринов, С.И.Дуев // Теоретические основы химической технологии - 1980 - №6 - Т.14 - С.903
3. Дуев, С.И. Исследование режимов с полным использованием исходных и промежуточных реагентов в системе реактор-узел разделения / С.И.Дуев,
A.И.Бояринцев, В.В. Кафаров // Системный анализ процессов химической технологии - М.,МХТИ-1979.-Вып.106.
4. Дуев, С.И. Расчет режимов с полным использованием исходных реагентов в рециркуляционной системе «реактор - блок разделения» // Вестник Казанского технологического университета, 2013 - №6 - С.167-169.
5. Дуев, С.И. Расчет стационарных состояний реактора в рециркуляционной системе «реактор - блок разделения» // Вестник Казанского технологического университета, 2012 - №16 - С.130-132.
6. Зубов, В.И. Методы Ляпунова и их применение /
B.И.Зубов //Л.: Изд. ЛТУ - 1957 - С.241.
Следовательно, на рассматриваемом режиме функционал Ляпунова не может быть отрицательным, он в лучшем случае равен нулю при L
Gx(0) = Sj (r1 - r2 )di /=1,2. (15)
0
А это означает, что семейство стационарных состояний не может быть асимптотически устойчивым. Прии' = 0 стационарное состояние находится на границе области устойчивости, а при возмущении параметров изображающая точка системы (1) стремится к одному из континуума стационарных состояний, то есть к одной из точек, расположенных на кривой ab (рис.2).
Заключение
Так как при возмущении параметров изображающая точка стремится к одному из континуума стационарных состояний, то в результате этого может произойти дрейф концентраций x1 и x2 и выход их за пределы допустимой области, которая определяется условием существования режима (7). В этом случае в системе установится режим, при котором на выходе системы будут присутствовать непрореа-
© С. И. Дуев - д-р техн.наук проф. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, [email protected]. © S. I. Duev - dr., prof. of department of informatics and applied mathematics, KNRTU, [email protected].
