CC BY
29
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОСВЯЗНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А.Ю. Никитин
(Санкт-Петербургский государственный морской технический университет) Научный руководитель - кандидат технических наук, доцент В.Н. Шамберов (Санкт-Петербургский государственный морской технический университет)
Рассматривается новый прием исследования многосвязных (многомерных) существенно нелинейных автоматических систем. В его основе лежит метод точечных отображений на двумерной фазовой поверхности, эффективно применявшийся для анализа кусочно-линейных динамических систем второго порядка, и метод сечений пространства параметров, хорошо зарекомендовавший себя при исследовании нелинейных динамических систем п-го порядка.
Введение
В сложных технических объектах регулируемые величины связаны между собой в том смысле, что изменение какой-либо одной из них вызывает изменение других. В соответствии с целями автоматизации для каждой величины создается замкнутый контур автоматического регулирования. Часто задачи автоматизации требуют введения дополнительных связей между контурами регулирования для придания системе определенных свойств (например, свойств автономности). Стремление повысить точность и быстродействие многосвязных систем часто приводит к тому, что присущие автоматическим устройствам естественные нелинейности начинают оказывать решающее влияние на устойчивость систем. Исходя из этого, возникает необходимость рассматривать многосвязные системы, как существенно нелинейные. Предлагается для исследования таких систем использовать метод сечения пространства параметров [1] в сочетании с результатами исследования динамических систем второго порядка методом точечных отображений [2].
Постановка задачи
Техника автоматического регулирования насыщена многочисленными примерами многосвязных автоматических систем. Наиболее известным (давно ставшим классическим) является пример регулирования частоты вращения турбогенератора с отбором пара из паропровода (задача И. Н. Вознесенского). Суть задачи заключается в следующем: автоматическое регулирование числа оборотов турбины производится изменением величины открытия клапанов свежего пара под действием регулятора частоты вращения, а регулирование давления пара в камере отбора - путем изменения величины открытия клапанов перепуска пара в турбину низкого давления при помощи регулятора давления пара. При несвязанном регулировании каждый регулятор воздействует только на свою группу клапанов. При связанном регулировании каждый регулятор воздействует одновременно на обе группы клапанов свежего пара и пара в отборе. Для придания системе свойств автономности необходимо предусмотреть связи между регуляторами.
Описание динамики (математическая модель) такой системы при известных упрощениях в стандартной форме следующее:
X = Ах + Бу; у = Сх + Бу; V = ^у), (1)
01 а2 1 а4
где А = Та1 а,1 Та1 02 ; б = т т а3 тт ау ¿2 —1
т а2 т а2 та2 \ та2т
; С=
К1 $2К2 № К2
Б
1
¿1
0
о —
т. ¿2
При этом х\, Х2 - регулируемые величины 1-го (частота вращения) и 2-го (давление
1
2
пара) контуров, соответственно; vj, v2 - управляющие воздействия со стороны регуляторов; л У2 - управляющие сигналы на входе исполнительных механизмов регуляторов; Ta Ta2 - постоянные времени соответствующих контуров; 0j, 02 - коэффициенты, характеризующие свойство саморегулируемости контуров; Т^, Ts2 - постоянные времени
исполнительных механизмов регуляторов; Kj, K2 - коэффициенты передачи измерительно-усилительных устройств регуляторов; aj, a2 - коэффициенты, характеризующие внутренние связи объекта регулирования; аз, а4 - коэффициенты, характеризующие внешние связи объекта с регуляторами; ßj, ß2 - коэффициенты, характеризующие связи между регуляторами; составляющие вектора N(y) - щ(yj), П2(У2) - существенные нелинейности, обусловленные учетом некулоновского сухого трения в исполнительных механизмах регуляторов (внешний вид нелинейностей представлен на рис. j).
n(y) А
/
h h
У
Рис. 1. Нелинейность, сочетающая в себе мертвую зону, скачок и гистерезис
Подчеркнем, что данная задача никогда не решалась как нелинейная. Допустим, коэффициентам системы приданы следующие значения: Та= 2.5с,
Та^ = 1.0с, 01 = 0.25, 02 = 1.0, Т^ = Т$ = 0.1с, а = 0, а 2 = -0.1. Пусть параметры не-
II II
линейностей характеризуются отношениями (Ь + Ь)/(Ь - Ь) = 3, И + - Ь^) = 1,
где коэффициенты Ь[, И2 и Ьу, Ь2 характеризуют учет в исполнительных механизмах регуляторов трения покоя и трения скольжения, соответственно.
Необходимо определить значения коэффициентов усиления К\, К2 , коэффициентов связи регуляторов с объектом аз, а4 и коэффициентов связи между регуляторами Р1, Р2, при которых исходная система будет устойчивой.
Решение задачи
Линейным преобразованием x = Mg, где M =
- 2/45 -!
ся к каноническому виду
g = Ag + Bmv; y = Cmg + Dv; V = N(y), "- 0Л 0 0 - j.0
система (j) приводит-(2)
где Л = M jAM =
B
m
M-jB
- 4(! + a3 /9) 4(a4 + j/9)
- i0a
3
j0
^m
MC = " Kj - 2Kj / 45-ß2K2" ; d = "-Ш 0 "
ßK - 2ßjKj/45 - K2 0 - j0
При этом элементы диагональной матрицы Жордано Л (-0.1, -1.0) являются собственными числами матрицы А (вещественными и простыми).
Для эквивалентности преобразования необходимо потребовать выполнения условий управляемости по входу у и наблюдаемости по выходу у , т. е. ранг матриц
[б АВ], СТ АТСТ должен равняться рангу матрицы А .
В соответствии с принятыми значениями части коэффициентов система (1) будет неуправляемой по входу у , если а3 =-9 и а 4 =-1/9, и ненаблюдаемой по выходу у, если 2К1 = -45р2К2 и 2р1К1 = -45К2 .
Покажем, что исходную систему (1) и, соответственно, (2) можно исследовать до конца строго с помощью базовых подсистем вида
8 = А8 + У = ст8 + ¿V, = п(y), (3)
где 81, 82 - новые (канонические) переменные; А, ст, Ьт, ё - соответствующие элементы матриц Л, Вт, Ст, Б .
Выделим в пространстве параметров (коэффициентов К\, К2, а3, а4, Р1, Р2) системы (1) две подобласти (два сечения) для которых выполняются условия: Для первой подобласти (сечение 1)
а4 = -1; К2 = -—. (4)
4 9 К1 45р2 ' '
Для второй подобласти (сечение 2)
а3 =-9-К2 = - 2Р1 (5)
а3 9; К1 45 . (5)
В условиях сечения 1 динамика системы (2) (и, соответственно, системы (1)) определяется уравнениями
[81 = + Ьт11 v1, У1 = ст1181 + ё11 ; Т&1 = п1(У1);
[¿2 = А282 + Ьт21 v1 + Ьт22v2, У2 = ст2181 + ст22 82 + ё22^ ^ = п2(У2). В условиях сечения 2 динамика системы (2) (и, соответственно, системы (1)) определяется уравнениями
[81 = А181 + Ьт12^ У2 = ст2181 + ё22^ ^ = п2(У2);
[¿2 = А282 + Ьт21 v1 + Ьт22v2, У1 = ст1181 + ст1282 + ё11 v1, П = п1(У1). В условиях каждого сечения динамика исходной системы 4-го порядка соответствует динамике двух базовых подсистем 2-го порядка. При этом одна из подсистем воздействует на другую подсистему, которая, в свою очередь, не оказывает обратного воздействия.
Исходя из сказанного, можно сделать следующие утверждения: 1) если обе подсистемы устойчивы, то устойчива и исходная система; 2) если хотя бы одна подсистема автоколебательна, то автоколебательна и исходная система; 3) если хотя бы одна подсистема неустойчива, то исходная система не может быть устойчивой, при этом не представляется возможным заранее определить, неустойчива или автоколебательна исходная система.
Система вида (3) с заданной нелинейностью была полностью исследована методом точечных отображений на трехлистной фазовой плоскости [3]. Были получены условия, определяющие глобальную устойчивость (устойчивость «в целом») системы.
Устойчивость подсистем для сечения 1 (4) в соответствии с [3] определяется условиями:
1.675 > (9 + а3)К1 >-0.5 и 67.5 > 2р1К1 + 45К2 >-45. (6)
Устойчивость подсистем для сечения 2 (5) определяется условиями:
2.43 > -(9а4 + 1)Р1К1 > -2.25 и 234 > -а3(2К1 + 45р2К2) > -45 . (7)
При невыполнении условий (6), (7) соответствующие подсистемы являются автоколебательными .
Рассмотрим систему в условиях сечения 1 (4). Допустим, коэффициентам Р^ приданы значения а3 = -8 (можно выбирать любые значения коэффициента а3 < 0, за исключением аз = -9, при котором нарушаются условия управляемости по вектору V ), в1 = -8. Условия устойчивости соответственно для 1-ой и 2-ой подсистем будут
К1 < 7.5375, 4.21875 > 2.8125К2 - К1 >-2.8125. (8)
Структура разбиения пространства параметров в соответствии с (8) представлена на рис. 2.
120
Рис. 2. Структура пространства параметров для сечения 1 при а3 = -8; Р1 = -8
Сечение 1 (4) при значениях р2 = -0.178, р2 = -0.08 и р2 = 1/р: = -0.125 представлено на рис. 2. Можно выбирать любые значения коэффициента Р2 < 0, за исключением Р2 = 1/ Р1, при котором нарушается условие наблюдаемости по вектору у .
Если, например, выбрать сечение с Р2 =-0.178, то при превышении значений К\ = 7.54, К2 = 1.68 1-я подсистема станет автоколебательной (в исходной системе возникнут автоколебания). При значениях коэффициентов К1 > 9.446, К2 > 2.358 2-я подсистема станет неустойчивой (исходная система либо неустойчива, либо автоколебательна с большими амплитудами колебаний). При значении коэффициента
= -0.08 можно получить максимальные значения коэффициентов К1 < 7.54, К2 < 4.18 для выбранного сечения, при К > 7 54 и, соответственно, К2 > 4.18 исходная система становится автоколебательной (обе подсистемы автоколебательны). Автоколебаниям соответствует устойчивый предельный цикл в пространстве состояний системы (представлен на рис. 3).
Рис. 3. Устойчивый предельный цикл в пространстве параметров исходной системы
при а3 = -8 , а4 = -1/9 , р1 = -8, р2 = -0.08 , К1 = 9, К2 = 5
Аналогичные исследования можно провести и для сечения 2 (5).
Заключение
Данный прием позволяет до конца строго исследовать существенно нелинейную многосвязную систему в условиях сечений. Ограниченность метода состоит в том, что он позволяет исследовать исходную систему не при любых, а лишь при определенных (заданных) значениях параметров (коэффициентов), образующих сечение. Однако точные решения, получаемые по сечениям, могут служить эталонами, на которые следует ориентироваться при использовании других (например, приближенных) методов исследования.
Литература
1. Точные методы исследования нелинейных систем автоматического управления. / Под общей редакцией Е.П. Попова. М.: Машиностроение, 1971. 323 с.
2. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. / 2-е изд., доп. / М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 448 с.
3. Шамберов В.Н. Влияние некулоновского сухого трения на устойчивость автоматических систем. // ДАН. 2005. Т. 401. №2. С. 193-195.
