Исследование устойчивости, бифуркаций и разрывных автоколебаний на примере математической модели системы водоснабжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Меха ника

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2009, № 6 (1), с. 142-146

УДК 532.542

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ, БИФУРКАЦИЙ И РАЗРЫВНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ НА ПРИМЕРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ ВОДОСНАБЖЕНИЯ

© 2009 г. Л.В. Смирнов, А.А. Кульнева

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 03.07.2009

Проведён анализ математической модели простой системы водоснабжения с центробежным насосом и накопителем. Получено условие устойчивости равновесного режима, определяющееся параметрами системы и потреблением. После введения физически обоснованного малого параметра найден разрывный предельный цикл. Результаты наглядно демонстрируют методы исследования устойчивости, декомпозиции математической модели и анализ бифуркации при потере устойчивости и рождении предельного цикла конечных размеров. Обсуждается значение полученных результатов для общей проблемы динамики гидросистем.

Ключевые слова: гидросистема, динамика, математическая модель, устойчивость, бифуркация, автоколебания.

Математическая модель

Рассматривается система водоснабжения, в которой вода из водоема перекачивается центробежным насосом в расположенный выше уровня водоема накопительный бак, откуда и потребляется (рис. 1).

давление на входе и выходе трубопровода; г - разность высот выходного и входного сечений трубопровода (высота подъема жидкости); Q1 - расход жидкости на потребление; F1(Q) -зависимость перепада давления в трубопроводе от расхода, определяющаяся работой насоса и гидравлическими потерями при течении жидкости в трубопроводе.

После подстановки Р, и преобразования уравнения (1) имеем:

Ц& = - Н 2 + ^), (2)

где Т =

т

s 2рg

=

рт

Р£

+ Я, - г .

Уравнение движения предполагающейся несжимаемой жидкости в трубопроводе с насосом представляет собой уравнение Ньютона:

^ = s[(Pl - Р2) -pgz + ^(&)], (1)

т-

Л

где V - скорость движения жидкости; 5 - площадь поперечного сечения трубопровода; Q = - объемный расход жидкости; I - длина

трубопровода; р - плотность жидкости; т = р5І - масса жидкости в трубопроводе; Я,, Я2 - высота уровней жидкости в водоёме и накопителе; Рі = Ра + рgЯi, і =1, 2, - определяющееся суммой атмосферного давления и веса столба жидкости

Аналитическое выражение для зависимости F1(Q) с учетом данных по гидравлическим потерям при течении жидкости в трубах [1] и общему виду характеристик центробежных насосов [2] имеет вид:

[А + ВЮ - СЮ2 1бё & > 0,

Ж&) = \ 1 2 (3)

[ А + ВЮ + С2&2 1бё & < 0,

где А, В, С1, С2- положительные константы, определяющиеся конструкцией насоса и гидравлическим сопротивлением трубопровода.

Будем считать, что уровень воды в водохранилище Н1 и величина г постоянны. На рис. 2 представлен качественный вид зависимости F2(Q), отличающийся от зависимости F1(Q) сдвигом по оси ординат на постоянную величину Н1 - г и изменением масштаба в — раз.

Pg

і і і і і і ^ F 2 Е 3

0 О \ О

Рис. 2

Уравнение для изменения уровня в накопительном баке представляет собой закон сохранения вещества:

pSdH^ = р(& - &1), (4)

са

где S - площадь горизонтального сечения являющегося цилиндром накопительного бака.

Предполагается, что уровень воды в накопительном баке Н2 и расход на потребление &1 положительны.

Таким образом, при выполнении сделанных предположений поведение переменных состояния Н2 и & рассматриваемой динамической системы описывается системой уравнений (2), (4).

Исследование динамической системы (2), (4)

1. Устойчивость стационарного режима работы

В состоянии равновесия решение Н°, &0 системы уравнений (2), (4) имеет вид

(5)

Линеаризованная в этом состоянии равновесия система уравнений преобразуется к следующей форме:

Г TSx = - у + аSx,

1 .у = X,

Q0 = Ql, Я0 = *2(00).

о

Я2 - Я0 = у, а =

^2(0)

0 - значение расхода жидкости, соответствующее максимуму зависимости F2(Q).

2. Исслсдованис структуры фазового пространства Я2 и 0

Определяющееся целесообразностью выбора параметров системы значительное различие площадей проходного сечения трубопровода 5 и горизонтального сечения накопительного бака 5

5

позволяет ввести малый параметр ц = — и про-

5

вести исследование рассматриваемой динамической системы методом разделения движений на быстрые и медленные [3, 4].

С учетом того, что т = р5І, перепишем систему уравнений (2), (4) в виде:

500 = ^ [- Я 2 + *2(0)],

(7)

^Н 2 = & - &1.

Здесь I - длина трубы.

п ts

Вводя новое время т = — и считая — << 1,

S S

получаем систему уравнений с малым параметром:

Шт ЛЯ 2

Шт

I

(8)

(6)

Координаты и тип состояния равновесия в зависимости от параметров рассмотрены в предыдущем разделе.

Из малости параметра ц и независимости правых частей системы (8) от этого параметра следует, что характерное время процесса заполнения накопительного бака значительно больше характерного времени изменения расхода жидкости в трубопроводе.

Таким образом, в соответствии с теорией разрывных колебаний [3], быстрые и медленные процессы описываются следующими системами уравнений соответственно:

где X =

V “ - - нп

&

Анализ характеристического уравнения STp2 - а5р +1 = 0 системы (6) и вид нелинейной функции F2(Q) позволяют сделать вывод о том, что при 0 < &1 < & (а > 0) состояние равновесия является неустойчивым узлом или фокусом. Если &1 > & (а < 0), то состояние равновесия - устойчивый узел или фокус. Здесь

ТШ0 = - Я 2 + *2(0), ш

Я 2 = const

Я 2 = *2(0),

5ШЯ2 = 0 - 01 . . Л * ^

(9)

(10)

На рис. 3 представлена структура фазовой плоскости в случаях 0 < 01 (рис. 3а) и

0 > °1 (рис. 3б).

и

J Hi

\: *

і ' , / 1 * т\

^ \V 1 \

\

\

1

\

о І Ql ^ Q

► \ * . Не

■ \

L \ , у- 1 7\ н

: х: / і :\ -

і\ і

1, \ ,

в □ i Q 1 Q

кН,

f = H 2 - H

баке колеблется с амплитудой AH 2 (см. рис. 3б, 4б); бифуркационная диаграмма в виде зависимости размера предельного цикла ДH2 от управляющего параметра Ql представлена на рис. 5. Критическое значение этого параметра при его уменьшении, соответствующее потере устойчивости состояния равновесия и появлению устойчивого предельного цикла, равно Q .

Полученные качественные результаты исследования динамики системы сохраняются, если расход жидкости Ql не постоянен, а определяется по формуле Торричелли [1], согласно которой расход воды из накопительного бака зависит от высоты уровня жидкости и площади поперечного сечения проходного отверстия ^1 :

Ql = Sl^j2 gH 2 . (11)

Предполагается, что это отверстие находится на уровне днища бака.

б

Рис. 3

Первое уравнение системы (10) представляет собой алгебраическую связь переменных в малой окрестности кривой H2 = F2 (Q), являющейся подпространством медленных процессов. Точки этого подпространства - состояния равновесия для быстрых процессов, являющиеся устойчивыми, выделены жирной линией. В соответствии с теорией разрывных колебаний точки подпространства медленных процессов, для которых

dF2

-----< 0, устойчивы. Фазовые траектории, соот-

dQ

ветствующие быстрым процессам, параллельны оси Q, а направления движения, отмеченные стрелками, указаны в соответствии с условиями устойчивости.

Анализ устойчивости состояния равновесия по медленным процессам проводится по линеаризованным в этом состоянии уравнениям (10), то есть по уравнению первого порядка

Sah - h = 0,

. ‘ Нг

\

\

\ / 1; д ;

V /

і * /j \

у 1 \

/ 1 \

1 w I \ ч

D О Си Q

Анализ полученных результатов показывает, что система может устойчиво работать только при Ql > Q . При Ql < Q возникают автоколебания, при которых периодически часть воды из накопителя вытекает через трубопровод обратно в водохранилище, а уровень в накопительном

б

Рис. 4

Вид фазовой плоскости в этом случае представлен на рис. 4а, 4б. Вид бифуркационной диаграммы сохраняется, если в качестве управляющего параметра принять Sl, величине которого прямо пропорционально Ql.

а

а

ДН2

V'-- п-т'-.; м,1,1

Рис. 5

Связь результатов исследования с общей проблемой динамики гидросистем с напорным течением несжимаемой жидкости

Проведённый выше анализ динамических свойств простой гидросистемы в виде насосной станции и результаты исследований динамики сложных гидросистем, содержащих трубопроводы и насосы, а в ряде случаев и объемы со свободными уровнями [5], позволяет сделать ряд важных выводов.

Строго доказано, что в гидросистемах без объемов со свободным уровнями и других элементов с накоплением среды автоколебания невозможны, система диссипативна [5-7] и все процессы с течением времени заканчиваются в одном из устойчивых состояний равновесия. К таким системам, в частности, относятся системы тепловодоснабжения и системы циркуляции теплоносителя водо-водяных ядерных реакторов.

При наличии свободных уровней оказываются возможными автоколебания в виде периодического перераспределения жидкости в сообщающихся сосудах. Рассмотренная выше система водоснабжения относится к этому типу. Однако сопровождающее автоколебания изменение уровня в водоёме из-за значительной площади поверхности не учитывается.

Изучение характера и особенностей возникновения автоколебаний в рассмотренном простом случае позволяет получить наглядные ка-

чественные представления. Наличие ограниченного участка «отрицательного сопротивления» в гидравлической характеристике насоса приводит к неустойчивости при попадании состояния равновесия на этот участок. Возникающие при этом колебания ограничиваются по амплитуде, определяющейся полной характеристикой насоса.

Для исследования общих динамических свойств сложных гидросистем полученные результаты имеют теоретическое и прикладное значение. Например, наличие объёмов со свободным уровнем характерно для некоторых типов систем циркуляции ядерных реакторов [5], а также для некоторых систем водоснабжения, в которых кратковременное возрастание потребления компенсируется за счет воды, накопленной в объемах со свободными уровнями.

Работа выполнена в рамках ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.2/3863).

Список литературы

1. Чугаев Р.Р. Гидравлика. Л.: Энергоиздат, 1982. 672 с.

2. Степанов А.И. Центробежные и осевые насосы. М.: Физматгиз, 1960. 375 с.

3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1959. 917 с.

4. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний: Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. школа, 2001. 395 с.

5. Смирнов Л.В. Математические модели динамики и устойчивость систем принудительной циркуляции теплоносителя. М.: Энергоатомиздат, 1992.

6. Кассина Н.В., Смирнов Л.В. Динамика и устойчивость гидросистем // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 22-28 августа 2006). Аннотации докладов. Т. 1. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Лобачевского, 2006. С. 64-65.

7. Смирнов Л.В., Данилова Н.В. Основы прикладной аналитической гидромеханики напорного течения несжимаемой жидкости: Учебное пособие. Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2009. 65 с.

ANALYSIS OF STABILITY, BIFURCATIONS AND INTERRUPTED AUTO-OSCILLATIONS AS EXEMPLIFIED BY THE MATHEMATICAL MODEL OF A WATER-SUPPLY SYSTEM

L. V. Smirnov, A. A Kulneva

An analysis has been made of the mathematical model of a simple water-supply system with a centrifugal pump and a storage tank. The equilibrium mode stability condition determined by the system parameters and consumption has been obtained. After introducing a physically based small parameter, a discontinuous limit cycle has been found. Investigation methods are demonstrated for studying stability, decomposition of the mathematical model, and analysis of bifurcation for the cases of stability loss and creation of a finite size limit cycle. The significance of the results obtained for the hydraulic system dynamics is discussed.

Keywords: decomposition of the mathematical model, hydraulic system, dynamics, mathematical model, stability, bifurcation, auto-oscillations.