Исследование трехпозиционного релейного регулятора температуры в скользящем режиме работы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

(1)

УДК 62-501.72

А.А. Шилин, В.Г. Букреев

Исследование трехпозиционного релейного регулятора температуры в скользящем режиме работы

Предложен эффективный алгоритм управления нелинейным объектом второго порядка, реализующий трехпозиционное релейное регулирование в скользящем режиме и обеспечивающий робастность к возмущениям определенного класса. Алгоритм использует свойства притяжения траектории движения нелинейного объекта к траектории скольжения при нулевом значении управления. В качестве тестового примера рассматривается релейный регулятор температуры теплового узла с электромеханическим клапаном.

Ключевые слова: нелинейный объект, релейный регулятор, скользящий режим, робастность.

Использование релейных регуляторов в системах управления нелинейными объектами позволяет построить оптимальные алгоритмы стабилизации, обеспечивающие нечувствительность к параметрическим и внешним возмущениям. Рассматривая технологию синтеза такого класса регуляторов, следует отметить эффективность методов теории систем с переменной структурой при решении различных прикладных задач [1-4].

В частности, для нелинейных объектов, представленных математической моделью второго порядка вида [3]:

xi(t ) = x2(t X

*2(t) = h(x, t) + g (x, t)-u (t), где h(x, t) и g(x,t) - нелинейные гладкие положительные функции, при выполнении условий

(ai -x2(t)+h(x,t)']

1 ( д < ki (2)

I g(xt) )

можно определить движение объекта на траектории скольжения, представленного уравнением

s(x,t) = ai -xi(t) + x2(t) = 0, ai >0. (3)

При этом классическое двухпозиционное релейное управление

u(t) = -k - sign(s) (4)

с ограничением k>ki гарантирует приближение фазовой траектории объекта к траектории (3) скольжения, на которой выполняется равенство

xi(t) = -ai xi(t), (5)

и обеспечивает робастность регулятора по отношению к изменениям h(x, t) и g(x, t) в определенных пределах. Следует отметить, что реализация данного управления возможна в том случае, если фазовую координату x2(t) можно непосредственно измерить или вычислить, например, на основе оценки производной переменной xi(t) состояния объекта.

В перечне законов регулирования вида (4) особое место занимают законы, которые формируют нулевое значение управляющего воздействия в некоторой окрестности значений переменных состояния нелинейного объекта. В качестве примера может служить регулятор [i], где нелинейный

элемент с зоной нечувствительности оценивается как «неидеальность», приводящая к увеличению амплитуды автоколебаний системы управления или статической ошибки в области равновесия.

Постановка задачи

Основным объектом управления при автоматизации теплоснабжения зданий и сооружений является тепловой узел смешения, использующий в качестве регулирующего элемента электромеханический клапан чаще всего специальной конструкции [5]. При определенных допущениях процесс изменения температуры T(t) теплоносителя после узла смешения, в котором происходит перемешивание объемов прямого и обратных потоков системы теплоснабжения, можно представить моделью второго порядка вида (i) [6].

Задача стабилизации температуры теплоносителя после электромеханического клапана узла смешения формулируется следующим образом. Необходимо обеспечить минимальное значение ошибки е(?) регулирования текущей Т(/) температуры теплоносителя от заданного Тзад значения,

используя трехпозиционное управление электромеханическим клапаном теплового узла вида и (?) = {1,0, -1}. При этом предполагается, что постоянная времени температурных изменений теплоносителя в системе теплоснабжения, параметры которой изменяются в определенных пределах, значительно превышает суммарное значение постоянных времени электромеханического клапана.

Определение области притяжения к траектории скольжения при отсутствии воздействия на электромеханический клапан

С учетом обозначения е(/) = Х1(/) и предполагая изменения параметров теплового узла смешения в виде зависимости [6]:

Ъ( х,?) = -а( х,?) -Х2(?), (6)

где а(х,?)— положительная нелинейная функция, соответствующая обратно пропорционально постоянной времени скорости изменения температуры теплоносителя, модель процесса изменения температуры теплоносителя после электромеханического клапана записывается уравнениями:

)х1(?) = х2(? X (7)

1x2 (?) = -а( х,?) • х2 (?) + g (х, ?) •и (?). 1 ’

Для оценки устойчивости регулируемого процесса на траектории скольжения используем функцию Ляпунова квадратичной формы

1 2

V (х, ?)=- 5 2( х, ?). (8)

Условие отрицательной определенности первой производной функции Ляпунова, гарантирующее устойчивость системы регулирования при равенстве и = 0, будет иметь вид

V(х,?) = 5(х,?) • 5(х, ?) = (а1 — а(х,?)) • (а • х1 (?) + х2 (?)) • х2(?) < 0 . (9)

Таким образом, в пространстве переменных [х1(?),х2(?)] условие устойчивости записывается

следующими неравенствами:

И <а(х,?х или (а1 >а(x,t), (10)

( х1 (?) + х2(?))(?) > 0, (( -х^) + х2(?))(?) < 0. ( )

Поскольку значения параметров реального объекта и его модели обычно отличаются, то можно предположить, что существует положительно определённая функция д(х) такая, что при управлении, равном нулю. выполняется условие

V(х, ?) <-д(х). (11)

При этом фазовые траектории теплового объекта, модель которого имеет вид (7), с управлением и = 0 имеют свойства притяжения к траектории (3) скольжения.

Подчеркнем, что устойчивость обеспечивается не на всем фазовом пространстве, так как условиям (10) соответствует два сектора в фазовом пространстве, отмеченные затемнённой областью (рис. 1, а). Из этого сектора, в котором наблюдается притяжение фазовых траекторий к траектории скольжения, выбираем зону нулевого воздействия на электромеханический клапан (рис. 1, б).

Аналогичным образом можно получить подобные сектора притяжения непосредственно на траектории скольжения (рис. 2, а). Однако в этом случае дополняется ограничение на выбор а1 из условия (2). Также выбираем в секторе зону нулевого воздействия (рис. 2, б).

Алгоритм трехпозиционного управления с учетом свойств притяжения фазовых траекторий к траектории скольжения

В результате определения траекторий движения объекта в окрестности траектории скольжения, можно утверждать, что выбор траектории выполняется из того же условия (2), как и в классическом случае. Условия (10) определяют положение зоны нулевого воздействия в фазовом пространстве, но не являются ограничением на выбор траектории скольжения.

Сравним три способа вычисления релейного управления:

а) двухпозиционное управление представленное алгоритмом:

Г \ г!((а1 • х1 + х2 )< 0); [-1, г!((а-х + х2)>0);

б) трехпозиционное управление с зоной нечувствительности:

и = •<

0, і/(а • хі + Х2\ <у);

1, і/((<оі • хі + Х2)<-у);

-1, і/((<01 • хі + Х2)));

і трехпозиционное управление с зоной притяжения к траектории при и=0:

і, і/(( • Хі + Х2)< 0);

-і, і/(і • Хі + Х2)>у) )(иоМ >0);

0, і/(0 <( • Хі + Х2)));

-і, і/(і • Хі + Х2)> 0); і, і/(і • Хі + Х2) < -у) )(иоШ - 0);

0, і/(-у<(( • Хі + Х2)< 0); иои = и, і/(и Ф 0).

(і3)

и = <

(і4)

Рис. і. Первые секторы и зона нулевого притяжения в фазовом пространстве объекта управления

Значение у в (і3) и (і4), как правило, выбирается минимально возможным из значений точности измерения Хі(?) или Х2(?) (или оценивания Х2(?)). Так, например, значениям у = 0,0005 °С, при котором выполнялось моделирование тестовых примеров, соответствуют весьма высокие требования к разрядности АЦП (количество разрядов от і6 до 24).

Идея использования свойств притяжения траекторий объекта к траектории скольжения при управляющем воздействии, равном нулю, реализована в алгоритме управления (і4). Зона нулевого воздействия всегда расположена с только одной стороны траектории скольжения, а не в ее окрестности, как в случае с зоной нечувствительности. При анализе переходных процессов в фазовом пространстве можно увидеть закономерность: зона нулевого управления всегда располагается с противоположной стороны кривой скольжения относительно последнего активного управления, т.е. для моментов времени и(і) Ф 0. В результате зона нечувствительности отсутствует, а есть переключающаяся зона, где управление и = 0 также гарантирует притяжение к траектории скольжения. Рассмотрим принцип работы алгоритма определения положения зоны нулевого притяжения (НП) на примере рис. 3. Так как рассогласование системы имеет положительный знак, то первоначальное воздействие имеет отрицательное значение, поэтому предполагаем, что зона НП уі расположена с обратной стороны относительно траектории скольжения. При сравнении с областью устойчивости

(см. рис. 2) следует, что зона НП выбрана неправильно. Поэтому траектория движения объекта управления при и = 0 удаляется от траектории скольжения. Однако как только объект покинет зону Уі, значение управления принимает положительный знак, при этом алгоритм принимает решение о смене положения зоны НП. На этом этапе зона НП у2 выбрана правильно (см. рис. 2, а), поэтому, вдоль оставшейся части траектории управление, равное нулю, обеспечивает притяжение к траектории скольжения.

Ь

Рис. 2. Вторые секторы и зона нулевого притяжения в фазовом пространстве

По результатам моделирования трех методов управления (а,Ь,с) можно заключить, что переходный процесс (рис. 4, а) одинаковый для двухпозиционного метода (а) и трехпозиционного с зоной притяжения (с), а переходный процесс с зоной нечувствительностью (Ь) имеет ошибку в установившемся режиме.

Характер управления и движение объекта в фазовом пространстве (см. рис. 4, а) можно оценить из увеличенных фрагментов для каждого метода управления. Для двухпозиционного управления (Ь) характерно излишне большое количество переключений, особенно в зоне равновесия, когда объект управления находится в начале координат и не требует воздействия, так как ошибка регулирования равна нулю. Минимизация количества переключений для электромеханического клапана в управлении (с) позволяет увеличить срок его службы. Также для управления (с) на большей части траектории исключается влияние люфта редуктора, которое проявляется при каждой смене знака управления.

На фазовом пространстве видно преимущество трехпозиционного управления, которое заключается в том, что количество переключений сигнала управления значительно меньше при том же качестве переходного процесса и отсутствии зоны нечувствительности. Также в точке равновесия отсутствуют излишние переключения в установившемся режиме замкнутой системы регулирования.

Рис. 3. Принцип определения зоны нулевого притяжения

а Ь

Рис. 4. Результаты моделирования трех методов управления

Пример реализации трехпозиционного управления.

Предположим, что объект имеет нестационарный параметр, представленный нелинейной функ-

2

цией и удовлетворяющий интервальному условию 400 < а(х,?) < 1600, Ух1,х2 еЭТ . Данное условие характерно для объектов управления теплопотреблением зданий и сооружений. На результатах моделирования пяти характерных случаев с фиксированными значениями а(х,?) = {400,600,800,1200,1600} (траектории на рис. 5 обозначены соответственно {а, Ь, с, й, е}). Переходные процессы ошибки регулирования асимптотически устойчивы (рис. 5, а) и траектории объекта в фазовом пространстве (рис. 5, б) за конечное время достигают траектории скольжения и не покидают ее окрестности. Из этого можно сделать вывод, что алгоритм управления (14) также обладает робастными свойствами по отношению к нестационарному и нелинейному параметру И(х, ?) . В то же время робастные свойства по отношению к нестационарному и нелинейному параметру § (х, ?) наследуются от классического двухпозиционного релейного регулятора.

Рис. 5. Результаты моделирования при нестационарном параметре а(х, ґ)

На фазовом пространстве (см. рис. 5, б) затемненной областью в окрестности начала координат выделена область притяжения для всех рассматриваемых параметров объекта, в которой обеспечивается робастность регулятора по отношению к к(х,ґ) и §(х,ґ). Все графические материалы и результаты исследований получены с помощью моделирования в среде БеіЬаЬ (аналог программного пакета МаїЬаЬ), опубликованы и доступны [7] для использования и исследования.

Из результатов анализа и моделирования исследуемого алгоритма можно сделать следующие выводы:

1. Предложенный алгоритм трехпозиционного управления в скользящем режиме, использующий свойства динамического объекта, исключает неблагоприятное влияние зоны нечувствительности.

2. Количество переключений трехпозиционного релейного регулятора существенно ниже по сравнению с классическим двухпозиционным регулятором при тех же качественных показателях переходного процесса.

3. В режимах трехпозиционного релейного регулятора от знакового активного управления к нулевому значению влияние люфта в электромеханическом клапане отсутствует вдоль всей траектории скольжения.

Литература

1. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. -М.: Наука, і974. - 272 с.

2. Клюев А.С. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию / А.С. Клюев, А. А. Колесников. - М.: Энергоиздат, і982. - 240 с.

3. Халил Х.К. Нелинейные системы. - М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. - 832 с.

4. Рывкин С.Е. Скользящие режимы в задачах управления автоматизированным синхронным электроприводом. - М.: Наука, 2009. - 237 с.

5. Мухин О.А. Автоматизация систем теплогазоснабжения и вентиляции. - Минск: Вышейшая школа, і986. - 304 с.

6. Шилин А.А. Материалы к статье «Нелинейная математическая модель теплопотребления с учетом характеристик элементов теплового узла» [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://elist.tom.ru/index.php/nauchnaya-rabota/materialy-k-state-modelirovaniya-teplouzla, свободный (дата обращения: і8.04.20і2).

7. Шилин А.А. Материалы к статье «Трехпозиционное управление в скользящем режиме» [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://elist.tom.ru/index.php/nauchnaya-rabota/materialy-k-state-3slider-control, свободный (дата обращения: і8.04.20і2).

Шилин Александр Анатольевич

Канд. техн. наук, доцент каф. электропривода и электрооборудования Национального исследовательского Томского политехнического университета (НИТПУ)

Тел.: 8 (382-2) 56-3i-47 Эл. почта: [email protected]

Букреев Виктор Григорьевич

Д-р техн. наук, проф. каф. электропривода и электрооборудования НИТПУ Тел.: 8 (382-2) 56-30-45 Эл. почта: [email protected]

Shilin A.A., Bukreev VG.

Research of three-position relay control the temperature in the sliding mode

We propose an efficient algorithm to control an electromechanical valve thermal unit that implements the three-position relay control in sliding mode, and provides robustness to perturbations of a certain class. The algorithm uses the properties of gravity trajectory of the nonlinear heat to the trajectory of an object sliding at zero control. Key words: thermal unit, relay regulator, sliding mode, robustness.