CC BY
6
2007
Доклады БГУИР
январь- март
№ 1 (1 7)
УДК 681.325
ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ В РЕКУРРЕНТНОМ УПРАВЛЯЕМОМ ВЕРОЯТНОСТНОМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕ
УСАМА САЛИМ АЛЬ-СИД, Э.А. БАКАНОВИЧ, Т.М. КРИВОНОСОВА
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 23 февраля 2007
Показана возможность использования математической модели программно-управляемого вероятностного преобразователя рекуррентного типа для получения оценки точности его работы. Исследованы различные виды погрешностей: краевая погрешность, максимальная относительная погрешность аппроксимации, погрешность, возникающая при замене функции стягивающей ее хордой для различных видов функций.
Ключевые слова: функция распределения, вероятностный преобразователь, краевая погрешность, интервальная погрешность.
Математические модели, рассмотренные в [1-3], устанавливают аналитические зависимости между воспроизводимыми функциями распределения случайных величин и основными параметрами рекуррентных УВП — числом разрядов п циклического регистра сдвига (числом состояний эквивалентного автомата), длительностью шага квантования по времени А( для определенного класса аппроксимирующих функций 0(?), или Р>](А^)к, множеством значений интенсивностей Хк, к= 1, п, первичных случайных потоков сигналов с учетом допустимых величин методических погрешностей преобразований. Эти зависимости определяют инженерную методику выбора таких параметров рекуррентного УВП, которые обеспечат заданную точность воспроизведения функции для финальных значений
вероятностей.
Связь между оригиналом и изображением 9(0 воспроизводимой функции
распределения определяется формулой
¿9(0 = г F) ат= Р(Г) С г01 - Р (т) 1 - Р (Г)
а приращения изображения и оригинала связаны так:
А9(/) - СР^ АР(0 (1)
ар (/)
Поскольку
С9(0 С9(0 Л
ор(0 с ОР(0
и 120
_ \ У^)
Ж
1 т
- Е (т) 1 - Е (/)
-Ж т =
(3)
ж
1
ЖЕ (г) е (г)
то
Д0(/) = ДЕ (I)/ [1 - Е ^)].
(4)
(5)
Учитывая, что функция монотонно возрастает с ростом значений аргумента t и множитель при ДЕ(0 в (5) изменяется в пределах от единицы до бесконечности при изменении времени t в пределах от нуля до бесконечности, можно сделать вывод, что неравенство
Д0(О = ДЕ (О
(6)
усиливается при увеличении t, например, при Е(0=0,9 Д9 (¿)=10ДЕ(().
Так как в рассматриваемом УВП задаются изображения воспроизводимых функций распределения, то соотношение (5) и неравенство (6) означают, что при установке требуемых
вероятностей гк, к=1, п, появления сигналов на выходах управляемых вероятностных
конъюнкторов &к (к=1, п) УВП допустимы большие значения ошибок, чем погрешности, которые могут быть допущены в функции распределения случайных временных интервалов формируемого потока случайных событий. Поскольку связь между приращениями изображения и оригинала известна, все рассуждения можно вести относительно изображения 0(0 воспроизводимой функции.
Рассмотрим другие методические погрешности, характерные для исследуемого УВП.
Ограниченность временного
>*(0
детерминированного интервала Т, внутри которого в соответствии с Е(0 распределены формируемые случайные временные интервалы, не позволяет воспроизводить значения функции Е(0, соответствующие значениям времени Х>Т. Вследствие этого появляется погрешность, которая на рис. 1 обозначена символом с(Т). Назовем эту погрешность краевой. Конечная длительность шага квантования по времени Дt не позволяет точно воспроизвести изображение заданной функции, поскольку внутри каждого
интервала квантования участок изображения аппроксимируется функцией Р>\(Д?)к, к=1, п. В частном случае это может быть функция распределения интервалов между соседними сигналами в соответствующем потоке фк(г). Важно отметить, что при задании требуемых функций распределения интенсивности потоков фк(г) устанавливаются такими, что
*(Г)
1 2
к-1
п-1
Рис. 1. Иллюстрация к определению краевой погрешности рекуррентного УВП
ДР>1 (&)к = 0(кДt)-[(к -]:
(7)
т.е. в начальных и конечных точках интервалов квантования (рис. 2,а) значения этих функций совпадают. Таким образом, появляется погрешность внутри каждого из интервалов квантования, которая на рис. 2,а обозначена символом 5к(т).
Задача выбора параметров рекуррентного УВП сводится к тому, чтобы по заданным величинам методических погрешностей — относительной краевой погрешности с(Т) и
максимально допустимой погрешности аппроксимации 5к(т) — выбрать такие параметры преобразователя п, Дt, Хк, к=1, п , чтобы ошибки при воспроизведении известного множества функций Е(1) не превышали предельно допустимых значений. Краевая погрешность записывается в виде
Рис. 2. Величина интервальной погрешности: а — в общем случае; б — при замене функции стягивающей ее хордой; в — для вогнутых функций; г — для выпуклых функций
а(Т ) = 1 - Е (Т)
(8)
а максимально возможное значение временного интервала, формируемого базовой структурой рекуррентного УВП, равно T=nДt. Очевидно также, что
0(к ^) -0[(к -] = 1 -<
-1к Дt
(9)
Пусть внутри к-го интервала квантования максимальная относительная погрешность аппроксимации 5тах(Д0к соответствует некоторому значению тт(0<тт<Д0 (рис. 2,а). Тогда
«„»(Д)к = (0(Тт )к - 0[(к - 1)^] - ДР>1(ТИ )к ( / ),
(10)
где 0(тт)к — значение изображения воспроизводимой функции, соответствующее точке тт к-го интервала квантования. Соотношения (9), (10) и
Т=пД
(11)
не дают однозначного решения для нахождения параметров п, Дt, Хк, к=1, п, так как число неизвестных в этих выражениях превышает число уравнений: кроме параметров преобразователя неизвестными также являются значения изображения 0(0 в точках kДt и (к-1) Дt и значение аппроксимирующей функции Р>1(Д0к в точке тт. Поэтому можно задаться одним из параметров рассматриваемого УВП.
Предположим, например, что предварительно выбрано число разрядов п циклического регистра сдвигов. Если известен масштаб времени — максимально возможная длительность временного интервала в формируемом случайном выходном потоке — то из (11) находится длительность шага квантования по времени воспроизводимой функции Е{(). Это, в свою очередь, позволяет найти значения изображения 0(0 в точках квантования по времени kДt и (к-1)Д^ В этом случае равенство (10) может быть использовано как контрольное; внутри каждого интервала [(к-1)Д^ кД^ значение времени тт, соответствующее максимальной ошибке аппроксимации, определяется из условия
{5тах(Д0к 0(Тт )к -0[(к - 1)Д/] +ДРа1(Тт )к } = 0 . 122
0
0
Таким образом, при заданном числе разрядов п для проверки возможности воспроизведения функции Р(/) с заданной степенью точности необходимо проверить п равенств (10); это, естественно, связано с трудностями вычислительного характера. Поэтому проведем некоторые упрощения: заменим в каждом интервале квантования участок аппроксимирующей функции Р>1(А0 стягивающей его хордой и оценим вносимую при этом погрешность Ьтах(А/) — рис. 2,6. Уравнение хорды имеет вид
1 - е~ЧА'
У = —--Тк; 0 <тк <А/, (13)
Аt
поэтому
Ь(А/)к =(1 -е^а/)-тк(1 -е^а/))/ . (14)
Дифференцируя это выражение и приравнивая производную нулю, находим
X к Аt
= ХТк , (15)
1 - е к откуда для к-го интервала 1 , Х:А/
т-=Х: |пт-т^ ■ (1б)
Последнее выражение позволяет определить максимальное значение погрешности
Ьmax(Аt)k.
Оценим значение тт, соответствующее погрешности Ьmax(Аt)k. Разложив в ряд е в (16) и учитывая, что при малых х 1п(1+х)"х, после ряда преобразований для малых значений ХА/ получаем
Тт «А//2. (17)
Подставляя найденное значение тт в (14) и вновь разлагая в ряд е~ХкА1, находим ьтах (а/): = 1 -2 -1/2(1 -е^а/)«Х(А/)2/4. (18)
В этом случае величина максимальной относительной погрешности
Ьтах (а/): _ 2ХА/
АР>1 (Тт ) 4 -ХА/
< 0,05 (19)
при ХкА/<0,1. Поэтому замена внутри каждого интервала квантования А/ аппроксимирующей функции Р>1(А/) стягивающей ее хордой вполне допустима. Кроме этого, учитывая (4) и монотонный рост значений оригинала Р(/) и изображения 9(/) с ростом /, можно сделать вывод о том, что одна и та же величина погрешности Ьтах(А/): с увеличением номера интервала квантования будет приводить ко все более малым погрешностям в воспроизводимой функции распределения.
Незначительная величина погрешности, вызываемой заменой участка изображения стягивающей его хордой, позволяет использовать простой графический метод выбора числа разрядов п ЦРС. Выбрав некоторое число разрядов п1 ЦРС, по (7) определяем длительность шага квантования по времени А/. Изображение воспроизводимой функции разбивается на п интервалов длительностью А/ каждый, а соседние точки квантования 9(кА/), к=0, п1,
стягиваются хордами. Графически определяются вносимые при этом погрешности Актах, соответствующие точкам тт, а затем находятся относительные погрешности Актах/9 (тт)к. Если для всех интервалов квантования выполняется условие
AW e(xm ) <5 k (t),
(20)
то можно попытаться уменьшить число п1. Если условие (20) не выполняется, то выбирается число п2>п1, и процедура определения погрешности Дктах повторяется. Определив таким образом число разрядов п ЦРС, с учетом (9) и (10) находим остальные параметры рекуррентного УВП.
Формулы (9) и (10) можно упростить, если учесть некоторые обстоятельства. Во-первых, на начальном интервале квантования имеет место максимальная относительная погрешность от замены участка изображения 0(0 хордой, поскольку одни и те же значения погрешности Дктах на начальных интервалах квантования вызывают большие относительные погрешности Дктах/0(тт)к, так как 0(тт)1 < 0(тт)2 < ... < 0(тт)п . Во-вторых, некоторые функции
распределения на начальных участках имеют вогнутый характер, что, естественно, увеличивает погрешности от замены участков изображения хордами (рис. 2,в,г). В третьих, одни и те же величины погрешностей при задании изображения 0(0 в соответствии с (5) приводят к большим ошибкам в воспроизводимых функциях распределения именно на начальных участках. Поэтому от системы равенств (9)—(11) можно перейти к соотношениям:
Дифференцируя (22), можно определить значение времени (тт)1 для первого интервала квантования. Подставив (тт)1 в (22), определяем интенсивность А,1 первичного потока ф1(г), которая обеспечила бы заданную величину относительной погрешности б^т). По известной интенсивности А,1 из (21), учитывая (7), определяется длительность шага квантования по времени Д^ а затем из (11) можно найти число п разрядов ЦРС.
STUDY OF THE DATA REPRESENTATION ACCURACY IN A RECURRENT CONTROLLABLE PROBABILISTIC CONVERTER
USAMA SALEM AL SAID, E.A. BAKANOVICH, T.M. KRIVONOSOVA
The possibility to apply the mathematical model of a program-driven recurrent converter is demonstrated for the purposes of assessing it performance accuracy. Divergent error types are investigated, such as a boundary error, maximal relative approximation error, an error that emerges if a function is replaced with its subtense, for various functions.
Литература
1. Баканович Э.А., Аль-Сид Усама Салем, Кривоносова Т.М. Рекуррентные управляемые вероятностные преобразователи (вариант детерминированного квантования). Часть I. Деп. в БелИСА 25.01.2005 г. № Д20052.
2. Баканович Э.А., Аль-Сид Усама Салем, Кривоносова Т.М. Алгоритм имитационного моделирования рекуррентного вероятностного преобразователя. Часть 2. Деп. в БелИСА 07.04.2006 г. № Д00619.
3. Аль-Сид Усама Салем, Баканович Э.А., Кривоносова Т.М. // Докл. БГУИР. 2006. Т. 4, № 4. С. 64.
(21)
(t)]max =|e(Tm )i -^1 (t. )i|/e(Tm )
(22)
Abstract
