CC BY
15Исследование структуры классических решений релятивистской электродинамики Уилера-Фейнмана. Часть II.
Никитин И.Н. Институт Физико-Технической Информатики г.Протвино, Ц2284, Московской обл.
1 Структура решений двух- и трехмерных задач о финитном движении двух тел
В данном разделе исследуются 2-УФ и 3-УФ задачи о релятивистском движении двух противоположно заряженных частиц равной массы в классической электродинамике с запаздывающим и опережающим взаимодействием. С помощью численного анализа решений показано, что при некотором критическом значении энергии топологическая структура фазового пространства претерпевает изменения, проявляющиеся в бифуркации (расщеплении) решений, появлении дополнительных не-ньютоновых степеней свободы и нарушении дискретных симметрий.
1.1 Уравнения движения и сохраняющиеся величины
1. Уравнения движения, описывающие взаимодействие двух заряженных частиц иув 2-УФ и 3-УФ задачах, имеют следующий вид:
Е,
шх
(Т)е„
+ (г±0 - (Е±rV±))r±оa±),
±
1-^1-кз^)
±
Е±
±
Е±
х0 х0
((1 - (*±)2 - (Е±а±))(Е± - г±о*±) +
Ех = у - ж
г±о = ±|Е±
(4+) + а«) +-- (Рех^хУох).
Здесь ах обозначает ускорение частицы ж; переменные Е± являются опережающей и запаздывающей компонентами электрического поля, созданными частицей у в местоположении частицы ж; переменные у± ,Е± ,а± обозначают соответственно положение, скорость и ускорение частицы у в моменты времени, когда мировая линия частицы у пересекутся световым конусом с вершиной в ж. Уравнения движения для частицы у получаются при замене (ж ^ у) в этих выражениях. Член ЕеХ соответствует внешней возмущающей силе, которую мы будем использовать для изучения вопросов об устойчивости и причинности. Для внешней силы мы выберем форму короткого импульса -Еех((^) = Еа ехр[(1 - (ДЬ/(Ь - ¿0))2)-1 ], если - ¿0| < ДЬ; иначе 0. Эта функция является бесконечно дифференцируемой и имеет конечный носитель.
У
Рис.1. Постановка задачи.
Е
X
X
X
2. Мировые линии частиц можно записать в параметризации, отличной от т = время Мннковского, в этом случае уравнения движения необходимо соответствующим образом переформулировать. Для решения данной задачи удобно использовать лестничную параметризацию, введенную в Части I. На начальных отрезках мировых линий, показанных жирными линиями на рис.2, выбирается произвольная монотонная параметризация т £ [0,0.5], например, в качестве т можно взять линейную функцию временных компонент ж0,у0- Далее
рассмотрим световые лучи, которые последовательно отражаются от мировых линий, и распределим параметризацию вдоль этих лучей, добавляя т ^ т + 0.5 в точках отражения. В этой параметризации х(т) и у(т ± 0.5) связаны световыми лучами, так что отклонение аргумента в уравнениях движения становится постоянным. Эта форма системы наиболее удобна для численного анализа в Части III.
У х
Рис.2. Лестничная параметризация.
Используя данную параметризацию, мы рассматриваем эволюцию переменных х(т),у(т), х0(т),у0(т), переформулируя уравнения движения к виду х = хог7х, ТТХ = ¿оах, и аналогичная пара для другой частицы у. Мы подставляем в х0 формулу х0 = у— (|г— | + (г— ТТ— ))/(|Г— | + (г— Ттх)), которая следует из дифференцирования условия светового конуса гХм = 0 и выражает хо в терминах прошлых переменных (у-, гТ—, у—) и текущих переменных (х, ТТХ). В аХ мы подставляем уравнения движения, приведенные выше. После этих подстановок, мы получаем замкнутую систему дифференциально-разностных уравнений на х(т),у(т). Перемениые х0(т),у0(т) фактически не участвуют в уравнениях, и могут быть определены по известным решениям дифференциально-разностных уравнений, используя рекуррентные формулы х0 = у— + |у— — х|, у0 = х— + |х— — у|. Описанная процедура вводит Ож-параметризацию па мировых линиях, в частности, если в качестве начальных участков
т
порционален времени Минковского на всей траектории), и дальнейшая форма траекторий задается с помощью бесконечно дифференцируемой силы внешнего возмущения РеХ4-
3. Инвариантность действия Шварцшильда-Тетрода-Фоккера относительно группы преобразований Пуанкаре приводит к существованию интегралов движения Нётер. Эти сохраняющиеся величины определены уравнениями (2.9-10) в [38], и после частичного интегрирования могут быть записаны в виде:
ц ц > ц 2 2 м
-1(А-(х)А+(у-))(х - у-), - G<f)(x) + G^\y~), P^V) = (х»У),
= e-fjo drxxvF+^x), С(у\0 = (x ~ у). (1)
Здесь АД(£) всюду означает векторный потенциал, измеренными точке (£). Например, A±(x) являются опережающими и запаздывающими компонентами потенциала Лиенара-Вихерта, созданного частицей y и измеренного в точке x. Явная формула для потенциалов: A±(x) = ±eyy±/(r±y±). Аналогично, F±(x) представляет полевой тензор, созданный частицей y и измеренный в точке x, определяемый формулой F± (x) = dA±(x)/dxV], где квадратные скобки обозначают антисимметризацию индексов. Определенные выше G-фупкции равны про-
xy
опережающих и запаздывающих сил Лоренца после интегрирования дает локальное выражение (изменение импульса), G-члепы могут быть записаны в различных эквивалентных формах, однако невозможно привести их к полностью локальному виду (интеграл в G не может быть устранен).
Данное представление имеет важное отличие от нётеровских интегралов нерелятивистской механики. Пол-
« 7->(ж) т-)(у) 7->(ж) „ / _ I \
ныи импульс составлен из двух вкладов РД и РД , где РД зависит от положения троики точек (y xy+) и рДу) зависит от тройки (x-yx+), см. рис.1. Эти тройки независимы, в результате этого оба вклада сохраняются отдельно: P^x) = Const, = Const. Легко проверить, что дифференцирование P/(x'y) дает отдельные
xy
Выражение для тензора углового момента также состоит из двух отдельно сохраняющихся вкладов ЬДV = Г(х) i гЫ.
^Д V + гД V *
L(x) = x[ ,, V(x)
[m*V] ' + 2
A+ (y-) - G(X)(x) + G(y)(y-), L(l) = (x - y),
V(x)
+ Ц-A-ix) + UA-(x)A+(y-))y-, VP = y),
V
m
x
x2
= у р <1тххрх[,Е+](х), = (х ~ у). (2)
Интегралы Нётер необходимо вычислять для определения системы центра масс (СЦМ). В частности, в определении Шильда, заданном выражением (2.13) в [38], тензор Ь^ определяет мировую линию центра масс как с^ (А) = Ь^Р„/Р2 + АР^. В системе координат, в которой ось времени направлена вдоль этой линии и начало координат расположено на этой линии, т.е. с = 0, три компоненты тензора углового момента образуют вектор углового момента: Ь = (Ь23, Ь31, Ь12) и три другие компоненты обращаются в нуль: Ь0 = 0. Проверка этого свойства, так же как сохранение других нётеровких интегралов используется для контроля точности численного анализа в Части III.
Методы, примененные для численного решения данной задачи, используют специально разработанную в Части III. конечно-разностную схему в комбинации с ранее существовавшими итеративными схемами [39]. Здесь мы представляем результаты, полученные с помощью этих методов для частного случая, когда частицы имеют равные массы и противоположные заряды ("позитроний"). В этом специальном случае система обладает дополнительными симметриями, интересными для исследования.
Следуя работе [36], мы выбираем систему единиц с = 1, ех = -еу = 1, тх = ту = 2, так что приведенная масса т = (т-1 + т-1)-1 = 1. Мы представляем эволюцию в СЦМ, используя определение Шильда [38].
1.2 Структура решений
Малые энергии: прецессия Дарвина. Низкэнергетическое решение имеет вид очень медленно прецесси-рующего эллипса, показанного на рис.3 а. Между каждыми двумя последующими эллипсами на этом рисунке 500 промежуточных эллипсов не показаны. Рисунок представляет две совпадающих кривые: траектория частицы ж и траектория частицы у, отраженная относительно начала координат в СЦМ. Совпадение ж и (-у) демонстрирует Р-симметрию решения.
Ь(Е)
СУЮ0(Е)
2е-05 Зе-05 4е-05 5е-05
Рис.3. Низкоэнергетическое решение: а) траектории, Ь-с1) параметры решений.
Параметры (Е, Ь, сио,шр): энергия связи Е = 2т—л/Р^, угловой момент в СЦМ, угловые частоты вращения и прецессии. Для 10 000 случайно сгенерированных решений мы измерили эти четыре параметра, и анализируем соответствующее 4-мерное распределение. Рисунки 3 с, с1 представляют проекции распределения на плоскости (Е, Ь) и (Е, шр/ш0). Граничные кривые на этих рисунках соответствуют пределу круговых орбит, и даются формулами (3.4-5) в [38] и (5.1) в [36], которые для случая равных масс и малых скоростей сводятся к Е =
1/(2Ь2) = шр/^0.
Рисунок 3 Ь представляет диаграмму (Ь, шр/ш0), на которой распределение проецируется почти в 1-мерную кривую. Это показывает, что отношение шр/ш0 зависит в основном от Ь как шр/ш0 = 1/(2Ь2). Данная зависимость была предсказана Дарвиным [35], который впервые исследовал релятивистские поправки низшего
порядка к кулоновской задаче и нашел описанный эффект прецессии. Используя непертурбативные методы,
10-10
перименте (которое имеет абсолютную точность шр/ш0 порядка 10-14). На вставке показана разность Дшр/ш0 =
1/(2L2) — wp/wo в зависимости от L, для 4 узких полос 2EL2 = [0.98,1], [0.78,0.8], [0.58,0.6], [0.38,0.4], приведенные на изображении в порядке снизу-вверх. Таким образом, wp/wo зависит главным образом от L и очень слабо от E.
Рисунок 3 b фактически показывает, что сечение 4-мерного распределения гиперповерхностями EL2 = Const является кривой в проекции па плоскость (L, Awp/wo). Та же самая картина видна в проекциях (E, Awp/wo), (wo, Awp/wo). Отсюда мы заключаем, что сечение распределения гиперповерхностями EL2 = Const является 1-мерной кривой в 4-мерном пространстве. Эта кривая заметает 2-мерную поверхность при изменении параметра сечения. Поэтому распределение в 4-мерном пространстве (E, L, wo, wp) при низких энергиях расположено па 2-
(E, L)
единственными параметрами, определяющими форму решений в СЦМ.
Планарность: численный эксперимент показывает, что траектории в СЦМ с высокой точностью1 принадлежат плоскости, перпендикулярной вектору углового момента L, даже если начальные данные в лабораторной системе не лежат в одной плоскости. В результате этого, 3-мерная задача в СЦМ эффективно сводится к 2-мерной (3-УФ = 2-УФ). В нерелятивистской кулоновской задаче это свойство можно легко вывести из определения СЦМ mxx + myу = 0 и сохранения полного импульса и углового момента, которые совместно приводят к пропорциональности и отдельному сохранению индивидуальных угловых моментов для каждой частицы. В релятивистской УФ задаче мы не можем непосредственно прийти к такому заключению, поскольку интегралы движения теперь включают полевые члены, и индивидуальные угловые моменты частиц в общем случае не сохраняются. В настоящее время мы наблюдаем свойство планарности только как результат численного эксперимента. Мы можем также найти общее соотношение между планарностью, дискретными симметриями системы и однозначностью решений.
Рассмотрим задачу двух тел, для которой уравнения движения и выражения для сохраняющихся величин являются инвариантными относительно двух дискретных преобразований: (Р : x ^ — x, y ^ — y) и (Л : x — y), то есть Р-симметрии и изменении нумерации частиц (УФ задача имеют первую симметрию для
mx = my
(E, L)
обладающие равными (E, L), можно совместить вращениями и сдвигами времени t ^ t + C. В силу того, что Р- и Л-преобразовшия отображают решения в другие решения, обладающие теми же самыми (E, L), эти решения можно совместить сдвигами времени и вращениями вокруг L, что приводит к следующей системе функциональных уравнений:
—x(t) = eia x(t + в), —y(t) = eia y(t + в), y(t) = eiYx(t + J), x(t) = eiYy(t + J), —xs(t) = xa (t + в), —ys(t) = ys(t + в), Уз(t) = xa(t + J), xa(t) = ya(t + J),
где мы используем комплексные обозначения x = xi + 2x2, y = yi + iy2- Уравнения для (x,y) и (xa, ya) расцеплены. Для этой системы нетрудно найти все решения, которые могут быть перечислены следующим образом:
XY0) x(t) = y(t) = 0 является решением для произвольных а, в, Y, J XY1) для произвольных x(t), имеется решение для в = 0, J = 0, а = пи XYla) y = 0с y(t) = x(t); XYlb) y = п с y(t) = —x(t); XY2) x(t) = Ceiwi (окружность) является решением для произвольных в, J, а = п — в^ и XY2a) y = —Jw с y(t) = x(t); XY2b) y = п — Jw с y(t) = —x(t); XY3) x(t) - квазипериодическая функция: x(t + T) = eiex(t) с минимальным положительным T, когда это свойство удовлетворено, является решением для в = IT, а = п — le и XY3a) J = mT, y = —me с y(t) = x(t); XY3b) J = mT, y = п — me с y(t) = —x(t);
XY3c) J = (m + 1/2)T, y = —(m + 1/2)e с y(t) = e-ie/2x(t + T/2); XY3d) J = (m + 1/2)T, y = п — (m + 1/2)e с y(t) = —e-ie/2x(t + T/2); Z0) xa (t) = ya(t) = 0 является решением для произвольных в, J;
Zl) xa (t) - антипериодическая функция: xa(t + Ta) = — xa(t) с минимальным положительным Ta, когда это свойство удовлетворено, является решением для в = (2k + 1)TaH
1Движение вдоль оси L состоит из малых колебаний с амплитудой Az = 10-8 классического радиуса или относительным значением Az/(XY-pa3Mep орбиты) = 10-12; и медленного броуновского движения со скоростью порядка v = 10 17; оба движения имеют тот же самый порядок, что и несохранение Lllv и P^, появляющееся из-за вычислительных погрешностей.
г1а) 6 = 2пТз с уз (*) = жз (*); 21Ь) 6 = (2п + 1)Тз с уз(*) = -жз(*). Здесь к, п, 1, т - произвольные целые числа, и углы а, 7 всюду понимаются по модулю 2п.
( Е, Ь)
ностыо до тривиальных преобразований, Р, Л-симметрии делают возможным некоторое дискретное множество решений. В конкретной задаче не каждая возможность может реализоваться, например, случай Х\"1а УЛп (совпадающие частицы) является особым для УФ задач. Плоское зеркально симметричное квазипериодическое решение, найденное нами численно в 3-УФ, в терминах приведенной выше схемы соответствует случаю
х\зь • го.
Высокие энергии: бифуркации. При высокой энергии существующие численные методы позволяют рассматривать более короткие времена интегрирования, типично Т = 5..10 шагов световой лестницы. Рисунок 4 показывает найденные участки высокоэнергетических решений. Здесь траектории ж и (-у) снова наложены друг на друга для проверки Р-симметрии. Постановка задачи специально сделана Р-асимметричной в начале траектории, применяя различные силы Рех4 для частиц ж и у. В результате этого мы можем наблюдать, как начальная асимметрия распространяется во внутренние области траектории. При малых энергиях асимметрия экспоненциально стремится к нулю во внутренних областях. При увеличении энергии асимметрия проникает глубже во внутренние области, и при высоких энергиях решение полностью теряет Р-симметрию.
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 -0.08 -0.04 0 0.04 0.08
Рис.4. Высокоэнергетические решения: траектории.
Рис.5. Высокоэнергетические решения: параметры.
Мы определяем меру асимметрии как п = тах |ж(£) + Е(^) | в СЦМ, где максимум взят по шагу световой лестницы. Затем мы строим графики п2(Е) для последовательных шагов световой лестницы, показанные кривыми с точками на левой части рис.5. Мы видим, что при низких энергиях асимметрия стремится к нулю с увеличением числа шагов световой лестницы, в то время как при высоких энергиях асимметрия стремится к значению, отличному от нуля. Предельная зависимость п2 хорошо описывается линейной функцией от Е, показанной верхней прямой линией на графике. Нижние прямые линии соответствуют аналогично построенным зависимостям для меньшей начальной асимметрии. Правое изображение представляет результат сборки всех графиков в 3-мерном пространстве, который также показан в Части III на цветной вклейке ЦВ-2. Здесь ДЬ(Е) = Ь(Е) - Ь0(Е), где Ь0(Е) - угловой момент для круговых орбит. Линия АВ подразделяет диаграмму на две части:
симметричная фаза - слева от линии АВ траектории обладают Р-симметрией, и форма решения однозначно
( Е, Ь)
( Е, Ь)
множеству решений, отличающихся мерой асимметрии.
Такая структура фазового пространства фактически была предсказана Андерсеном и фон Байером [36] при линейном анализе устойчивости круговых орбит в 2-УФ. В этой работе было показано, что при скорости около V = 0.95 появляются новые вещественные собственные значения характеристического уравнения, представляющие новые степени свободы системы. Соответствующая линейная мода, обозначенная Андерсеном и фон Байером кяк , нарушает Р-симметрию. В нашем непертурбативном подходе этот эффект обнаруживается в области энергии Е £ [2.6,2.8], которой доя круговых орбит соответствует области скоростей V £ [0.937,0.954], в хорошем согласии с предсказаниями [36]. Фактически, в точке В, где орбиты близки к круговым, мы получаем Е = 2.75, V = 0.950, то есть точное совпадение.
Работа [36] также предсказывает следующие бифуркации при более высоких энергиях, недоступных нашим численным методам. С другой стороны, в [36] фактически была проанализирована 2-УФ задача. Для 3-УФ можно ожидать бифуркаций, связанных с нарушением планарности. Чтобы проверить эту возможность, мы построили зависимость пг = шах(|жг(£)| + |уг(£)|) от энергии, и для рассмотренного диапазона энергий не нашли существенных особенностей в этой зависимости. Тем не менее, имеется принципиальная возможность для бифуркаций такого вида при более высоких энергиях.
Бифуркации решений при высоких энергиях, связанные с нарушениями зеркальной симметрии, наблюдались также в вышеописанной 1-УФ задаче рассеяния.
0.01 да о.ооо1
:ay,/
-,аУ .
.5 5 5.5
Рис.6. Предускорение: а) отклик системы на внешнее возмущение, действующее в момент времени т = 5; Ь, с) зависимость эффекта от амплитуды возмущения и скорости частиц.
ay2 axi ayi,_i
axi ayi,_i ax0
aYi.
<a>
aY,
b)
<F>
c)
Предускорение: рассмотрим внешнюю силу, которая имеет форму короткого импульса и возмущает траекторию частицы х в момент времени т = 5. Движение частиц в прошлом при т < 1 было установлено на круговые орбиты. Возмущение производит последовательность пиков ускорения, распространяющихся вдоль световой лестницы в прошлое и будущее, как показано на рис.6 а. На этом графике по оси абсцисс отложен параметр световой лестницы, так что точки с Дт £ Z/2 связаны световыми лучами. По оси ординат отложено относительное изменение ускорения, по сравнению с невозмущенной круговой орбитой: |a — acirc|/|acirc|, измеренное для частиц «у. Ордината представлена в логарифмическом масштабе, так что пики превышают близлежащие фоновые значения на порядок величины. Ясно видимо экспоненциальное уменьшение амплитуд пиков.
На рис.6 b мы представляем зависимость интеграла (a) = J |a — acirc|di, взятого в окрестности каждого пика ускорения, от интегрального значения внешней силы (F) = J Fdt. Рис. 6с показывает три совпадающих графика, представляющих отношения последовательных амплитуд пиков: ay2/axi, axi/ayi i, ayi i/axo в зависимости от скорости. Все масштабы являются логарифмическими. В области малых сил эти графики хорошо описываются формулой (a) = 0.5(F)v2". Для больших сил эта зависимость насыщается: (a) ^ 1. Этот предел возникает вследствие того, что интеграл ускорения не превышает скорость света. В результате этого ограничения, последовательность пиков ускорения, показанных слева рис.6 а, не может увеличиться до бесконечности, но в течение конечного числа шагов световой лестницы (n = 0.5log(a)o/ log v) решение достигает
ay
1
axi
t
1 - ax
0
ax
l
v
скорости света и не может быть продолжено далее. Для решений такого вида система не может остаться изолированной в течение долгого времени, но должна вступить во взаимодействие с другими объектами (испустить излучение) ранее критического времени и затем возвратиться в невозмущенное состояние.
Наблюдаемое экспоненциальное поведение возмущения аналогично экспоненциальной расходимости, связанной с комплексными собственными значениями линеаризованной задачи [36]. Изменяя продолжительность и форму импульса внешнего возмущения (которое, напомним, действует в течение конечного промежутка времени), в частности, модулируя .Рех4 осциллирующими функциями, мы можем изменить продолжительность и форму пиков ускорения, которые имеются в режиме свободного движения. Заметим, что эти степени свободы уже не содержатся в ньютоновых данных, но доступны в бесконечном множестве расходящихся мод. Важное отличие от [36] состоит в том, что мы наблюдаем только сходящиеся участки экспоненциальных мод, которые обращаются в нуль на бесконечности и появляются только как реакция на внешнее возмущение системы. Мы не нашли никаких расходимостей в решениях невозмущенных уравнений движения, определенных глобально на всей временной оси.
Предускорение и принцип причинности
Рис. 6 а, показывающий пики ускорения в прошлом, произведенные внешним воздействием в будущем, на первый взгляд, противоречит принципу причинности. В действительности, этот вопрос является более сложным. Прежде всего, наблюдая пики в т < 3.5 на рис.6 а, мы не способны предсказать точно, когда произойдет внешнее воздействие: при т = 4, гаи т = 4.5, гаи т = 5, или, возможно, некоторая комбинация этих воздействий будет иметь место. Рассмотрим этот вопрос подробно.
1. Наличие в уравнениях движения силовых членов, действующих из будущего в прошлое, не обязательно дает возможность послать сигнал из будущего в прошлое. Например, уравнение х"(4) = х" (4 + 1)+ х"(4 — 1), которое, на первый взгляд, дает в момент времени (4) возможность узнать ускорение в момент времени (4 + 1), будучи эквивалентно переписанным как х" (4) = х" (4—1) — х" (4—2), становится запаздывающим уравнением, и не может использоваться, чтобы "предвидеть будущее". На самом деле вопрос ставится о возможности обнаружить внешнее локальное воздействие на систему, действующее в будущем, по наблюдению за поведением системы в прошлом. Рассматривая далее эту модель: х" (4) = а(х" (4+1)+х" (4—1))+в#(£), и находя решения с х" (±гс>) = 0, мы получим х" (4) = А ^п — п), функцию, сходную с пиками ускорения рис.6 а. Здесь мы рассматриваем случай 0 < а < 1/2 и д = (2а)^1 — -у/(2а)~2 — 1 < 1, А = ¡3/ — (2а)2. Мы видим, что решение составлено из двух решений: при 4 < 0 пики растущей амплитуды ""¿(4 — п), при 4 > 0 пики уменьшающейся амплитуды
— п). В^ное наблюдение: к^дад из этих функций, будучи рассмотренной на всей оси является решением свободного уравнения без ¿(4) - члена. В результате этого, наблюдая последовательность растущих пиков ускорения в прошлом, мы не можем предсказать действие внешней ¿-силы при 4 = 0, потому что мы не можем отличить это решение от решений свободного уравнения.
2. Важное отличие этого примера от УФ задач состоит в том, что УФ является нелинейной и содержит, в частности, члены \/1 — г'2- В результате этого, скорость в УФ не может быть произвольно большой. В следующих разделах мы увидим, что это требование является препятствием для неограниченного продолжения расходящихся решений на всю временную ось. Для решений, показанных на рис.6 а, которые обладают растущими пиками ускорения в прошлом, внешнее воздействие должно обязательно произойти до того времени, когда дальнейшее продолжение свободного решения вступит в противоречие с т < с и должно быть прекращено. Например, изучая круговое движение при т = 10—'2 и наблюдая пики ускорения, соответствующие Ат = 10—16, можно предсказать, что внешнее воздействие должно произойти в течение следующих 4 шагов световой лестницы (меньше 1% полного оборота). Таким образом, время и тип воздействия не могут быть точно определены, но сам факт его наличия в ближайшем будущем может быть установлен.
3. В результате этого, мы сталкиваемся с широко известным причинным парадоксом, когда знание о будущем воздействии дает возможность предотвратить его возникновение. В действительности, этот парадокс имеет достаточно простое решение, см. 1949г. работу Уилера и Фейнмана [1]. Согласно этой работе, парадокс разрешим, если процесс управляется физическим устройством, и физические события обладают не дискретным (да/нет), а непрерывным (больше/меньше) характером. В этом случае математическая модель процесса будет иметь самосогласованное решение.
Рис.7. Трактовка причинного парадокса по Уилеру и Фейнману.
- t
в
Устройство А включает устройство В, в то время как устройство В выключает устройство А в его прошлом посредством прямого взаимодействия, нарушающего причинность. В результате этого, позже А не сможет включить В, и В не сможет выключить А и так далее. Здесь можно увидеть попытку решить булевскую систему А В. А (не)В. Если состояние устройств описывается разрывными функциями, принимающими только значения 0 и 1, система имеет пустое множество решений. Для непрерывных функций существует самосогласованное решение, соответствующее промежуточному состоянию устройств. Таким образом, "причинный парадокс "в действительности является логической трудностью при описании дискретных физических систем, и не связан непосредственно с понятием причинности.
4. Явление предускорения было впервые описано в работе Дирака [8], где показано, что в классической механике при взаимодействии с электромагнитным полем в виде резкого волнового фронта электрон испытывает ускорение несколько ранее момента прихода волны в местоположение электрона, а именно, когда волна находится от него на расстоянии классического радиуса е2/тс2 ~ 3 Фм. Исчерпывающего объяснения этого результата до сих пор нет и, несмотря на то, что исследованию данного явления уже посвящено огромное количество литературы, его обсуждение продолжается и по сей день [28,29].
Замечание о размерности пространства решений. Системы, рассматриваемые в общей теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами [11], обычно имеют спектр, состоящий из бесконечного числа комплексных собственных значений. Это свойство особенно легко понять на примере запаздывающих уравнений, для которых необходимо задать решение на начальном отрезке (функцию, содержащую бесконечное число степеней свободы), чтобы продолжить решение на всю временную ось. УФ задачи, однако, не являются чисто запаздывающими и не являются линейными. Заметим, что рассмотренное в предыдущем разделе решение 1-УФ имеет только конечное число степеней свободы. Этот факт был доказан в нескольких работах, аналитически при низких энергиях [15] и численно при высоких энергиях [39], см. также Часть I. При этом всегда подразумевается, что рассматриваемые решения удовлетворяют уравнениям движения на всей временной оси t £ (-те, Также, для рассмотренных здесь решений 2-УФ и 3-УФ, траектории которых были найдены в длительных интервалах интегрирования, наблюдаются локализации описывающих их параметров на поверхности малой размерности. С другой стороны, наличие экспоненциальных мод и связанных с ними эффектов предускорения свидетельствует о том, что в кратковременных интервалах решение имеет бесконечное число степеней свободы. В этом можно убедиться следующим образом. Для УФ задач в произвольной размерности имеется численная схема, предложенная первоначально в [12] и далее обсуждаемая в Части III, которая предлагает разрешить уравнения движения относительно наиболее опережающих переменных. В результате этого система преобразуется к запаздывающему виду, и траектории, заданные на первом шаге световой лестницы могут использоваться, чтобы определить дальнейшую эволюцию. Используя эту схему, можно показать, что решение имеет бесконечное число степеней свободы вблизи отрезка начальных данных. В Части III мы покажем, что эта схема на практике обладает численными неустойчивостями, которые делают ее применимой только для кратковременного интегрирования. Имеются также трудности принципиального характера: в данной схеме не гарантируется v < c и для большинства начальных данных интегрирование останавливается в некоторый момент (формально решение превышает скорость света и не может быть продолжено на следующий шаг в классе вещественных функций). Фактически, задачу в этом подходе необходимо сформулировать более тщательно, например, найти такое подмножество начальных функций, для которых решение может быть продолжено в обе временные бесконечности. Такое требование отбирает конечномерное подмножество в пространстве начальных данных. Таким образом, мы видим, что пространства решений в коротких временных интервалах и решений, продолжаемых в бесконечность, имеют разные размерности. В этом состоит принципиальное отличие механических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимися аргументами, от обычно рассматриваемых систем гамильтонова типа.
Сводка результатов
Объединяя вместе известные факты о решении 3-УФ задачи и результаты нашего численного эксперимента, мы заключаем, что множество решений 3-УФ имеет следующую структуру:
В коротком временном диапазоне система фактически обладает бесконечным числом степеней свободы, соответствующих бесконечному числу собственных значений в спектре [36], а также бесконечному числу данных на начальном отрезке в подходе [12] и различным формам внешней силы Fext в используемом здесь подходе. Эти степени свободы, в частности, включают Р-несимметричные и непланарные моды. Далее в течение нескольких шагов световой лестницы проявления большей части степеней свободы экспоненциально затухают. В это время можно наблюдать малую непланарность и Р-асимметрию траекторий, а также кратковременные эффекты предускорения, вызванные распространением затухающих мод из настоящего в прошлое. Только конечное число степеней свободы вносит вклад в более длительные временные интервалы. Эти степени свободы соответствуют вещественным собственным значениям в спектре [36], и при низких энергиях представляют только плоские и зеркально симметричные решения. Число таких степеней свободы такое же, как для нерелятивистской кулоновской задачи.
При более высоких энергиях численные методы позволяют рассматривать более короткие интервалы интегрирования T = 5..10 шагов световой лестницы. Численный анализ показывает, что при значениях энергии больше E ~ 2.7 некоторые из Р-асимметричных степеней свободы начинают распространяться на длительные временные интервалы, приводя одновременно к потере Р-симметрии в решении и увеличении размерности фазового пространства. Эти эффекты являются результатом бифуркации (преобразования пары комплексных собственных значений в спектре в пару вещественных), найденные в работе [36] в рамках первого порядка теории возмущений.
Список литературы
[1] J. A. Wheeler and R. P. Feynman, Rev. of Mod. Physics, 17, 157 (1945); Rev. of Mod. Phys. 21, 425 (1949).
[2] K. Schwarzschild, Gottinger Nachrichten, 128, 132 (1903).
[3] H. Tetrode, Zeits. f. Physik 10, 137 (1922).
[4] A. D. Fokker, Zeits. f. Physik 58, 386 (1929).
[5] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика, т.2 (теория поля), Москва: Наука, 1973.
[6] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика. т.З (квантовая механика, нерелятивистская теория), Москва: Наука, 1974.
[7] Дирак П.A.M., Лекции по квантовой механике, Москва: Мир, 1968.
[8] P. А. М. Dirac, Proc. Roy. Soc. London 167, p.148 (1938).
[9] R.P.Feynman, The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics, Nobel Lecture, December 11, 1965. Preprint les Prix Nobel en 1965. The Nobel Foundation, Stockholm, 1966. Рус.перевод: Усп.Физ.Наук 91, 29 (1967).
[10] Сб.: "Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами", Киев, Hayкова Думка, 1977.
[11] L.E.Elsgoltz, S.B.Norkin, Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, New York 1973.
[12] R. A. Moore, D. W. Qi and Т. C. Scott, Can. J. Phys. 70, 772 (1992).
[13] F. Hoyle and J ay ant V Narlikar, Cosmology and Action at a Distance Electrodynamics, (World Scientific, Singapore 1996).
[14] F. Hoyle and J. V. Narlikar, Rev. of Mod. Phys. 67, 113 (1995).
[15] J. Hoag and R. D. Driver, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications 15, 165 (1990).
[16] R.Rivera, D.Villaroel // J.Math.Phys. V.38, p.5690 (1997).
[17] P.Stephas, J.Math.Phys. 1992. V.33. N2. р.612.
[18] J. De Luca, Phys. Rev. Lett. 80, 680 (1998).
[19] J. De Luca, Phys. Rev. E 58, 5727 (1998).
[20] J. De Luca, Phys. Rev. E 62, 2060 (2000).
[21] I.N. Nikitin, Hamiltonian formulation of two body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics, II Nuovo Cimento 110B (1995) p.771.
[22] S.Klimenko, I.Nikitin, W.Urazmetov "On structure of solutions of 1-dimensional 2-body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics", II Nuovo Cimento A, V.lll (1998) pp.1281-1292.
[23] S.Klimenko, I.Nikitin, W.Urazmetov "Methods of numerical analysis of 1-dimensional 2-body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics" Int.J.Mod.Phys.C. 1999. Vol. 10, No. 5, pp.905-920.
[24] Stanislav Klimenko, Igor Nikitin and Wasil Urazmetov: Methods of numerical analysis of 1-dimensional 2-body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics, Computer Physics Communications, Vol.126 (2000) pp. 82-87.
[25] Igor Nikitin and Jayme De Luca, Numerical methods for the 3-dimensional 2-body problem in the action-at-a-distance electrodynamics, Int. Journal of Modern Physics C, V.12, N.5 (2001) p.739; LANL e-print hep-th/0105285.
[26] Stanislav Klimenko and Igor Nikitin, On structure of 3-dimensional 2-body problem solutions in Wheeler-Feynman electrodynamics, II Nuovo Cimento, V.116B N9 (2001) pp.1029-1043.
[27] P.Brusentsev, M.Foursa, P.Frolov, S.Klimenko, S.Matveyev, I.Nikitin and L.Nikitina, Virtual Environment Laboratories Based on Personal Computers: Principles and Applications, p.6, Proc. of 2nd Int. Workshop on Virtual Environment on PC Cluster, VEonPC'2002, Protvino, published by ICPT, ISBN 5-88835-011-7.
[28] J.M. Aguirregabiria, A. Hernandez, M. Rivas, J. Phys. A, 30 (1997) L651-L654.
[29] D. Villarroel, Phys. Rev. A, V.55, N5 (1997) p.3333.
[30] D.G.Currie, J.Math.Phys. 4, 1470 (1963); Phys.Rev. 142, 817 (1966).
[31] D.G.Currie, T.F.Jordan, E.C.G.Sudarshan, Rev.Mod.Phys. 35, 350(1963).
[32] H.Leutwyler, Nuovo Cim. 37, 556 (1965).
[33] R.A. Rudd, R.N.Hill, J.Math.Phys. V.ll p.2704 (1970).
[34] R.N.Hill, Lecture Notes in Physics 162, 104 (1982) "Relativistic Action at a Distance: Classical and Quantum Aspects" Proceedings, Barselona, Spain 1981.
[35] C. G. Darwin, Phil. Mag. 39, 537 (1920).
[36] С. M. Andersen and H. C. von Baeyer, Phys. Rev. D 5, 802 (1972).
[37] M. Schonberg, Phys. Rev. 69, 211 (1946).
[38] A. Schild, Phys. Rev. 131, 2762 (1963).
[39] С. M. Andersen and H. C. von Baeyer, Phys. Rev. D 5, 2470 (1972).
[40] Francis G.K., A Topological Picturebook, Springer-Verlag 1987,1988 (M.:Mir, 1991).
[41] C.A.H. Paul, Numerical Analysis Report No. 283, Manchester Centre for Computational Mathematics (1995) <http://www.ma.man.ac.uk/MCCM/MCCM.html>
