CC BY
21
УДК 624.07.531.1
Г. С. ЖЕЛЕЗНЯК, К. И. СОЛДАТОВ (ДИИТ)
ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ КВАЗИРЕГУЛЯРНОЙ ТРЕХПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ
У робот на прикладi трипропнно! нерегулярно! балки дослщжено вплив нерегулярностей лшшних, жо-рстк1стних та масових параметрiв на змiну власних частот. Доведено, що при окремих визначених параметрах нерегулярностей у практичних розрахунках можливо використовувати простi рiшення для регулярних систем, отриманi приблизнi залежносп, графiки та номограми.
В работе на примере трехпролетной нерегулярной балки исследовано влияние нерегулярностей линейных, жесткостных и массовых параметров на изменение собственных частот. Показано, что при определенных параметрах нерегулярности в практических расчетах можно использовать простые решения для регулярных систем, получены приблизительные зависимости, графики и номограммы.
The article, using the example of a three-flight irregular beam, studies the influence of irregularities of linear, stiffness- and mass-related parameters on the change of own frequencies. It has been shown that at certain parameters of irregularity it is possible to use in practical calculations simple solutions for regular schemes, the obtained approximated dependences, charts and nomograms.
Данная статья является логическим продолжением исследований, отраженных ранее в работах [1; 2], влияния незначительных нерегулярностей по длинам пролетов, массе и жесткости пролетов на частоту собственных колебаний.
В данном случае фундаментальные исследования с двухпролетных балок четырнадцати типов, в том числе и на упругих опорах, перенесены на трехпролетную балку на жестких опорах. Как отмечено в указанных выше работах, нерегулярность по весовым и жесткостным параметрам оказывает влияние на изменение собственных частот неразрезных балок на жестких и упругих опорах значительно меньше, чем нерегулярность по длинам пролетов.
Данное исследование выполнено для квазирегулярной балки путем сравнения решений для собственных частот с аналогичной регулярной балкой. При этом задачей исследований устанавливались предельные границы линейных (I), жесткостных (Е1) и массовых (ц) значений параметров, при которых вычисления частот можно производить по значительно более простым решениям для регулярной балки. Нерегулярность задавалась в диапазоне влияния на частоту до 10... 15 %, которую можно считать при расчетах допустимой.
Для исследования записано уравнение для нерегулярной трехпролетной балки (рис.1) и использовано полученное ранее решение для многопролетной регулярной [3].
EI, р. - const
/ = 0.333 / = 0.333 / = 0.333
/ L = 1 /
а)
Ei2,\i2 mitlh
1 ] к
L -]l
б)
Рис. 1. Расчетная схема трехпролетной балки:
а - регулярная балка; б - нерегулярная балка
В связи с громоздкостью уравнения для нерегулярной балки была составлена программа для определения частотного параметра Х7, который в данных исследованиях является основным. Данная программа позволяет исследовать изменение собственной частоты в зависимости от изменения любого из приведенных выше параметров в широком диапазоне и, таким образом, пригодна и для систем имеющих сильную нерегулярность.
В общем случае частота собственных колебаний балки определялась по известной формуле
(1)
2П2 V ^
"31 21
-31
'21
р1 S1B2 B3 = 0, (2) S21
где B1, B2, B3, S1, S2, S3, D2 - функции Прагера, имеющие вид:
B (Я) = chX sin X - shX cos X,
S (X) = 2shX sin X; D (X) = chX cos X-1;
P21 P31 S21 S31 - коэффициенты нерегулярности, которые для систем регулярных равны 1; коэффициенты нерегулярности соответственно по массе и по жесткости 1-го и 2-го пролетов будут иметь вид
ц2 Е111
Р21 = 4 — ' 821 = 4Е-Т-V Ц \ Е212
Для рассматриваемого случая, когда отсутствует нерегулярность между крайними симметричными пролетами
= I S31 = 4/
E3I3
= 1.
В общем случае процент погрешности при определении частот нерегулярной балки по уравнениям для регулярной определялся по формуле, %
юр.б. юнр.б.
100,
ю
(3)
р.б.
где Е - модуль упругости материала балки, кПа; ц - погонная масса балки, кГс /м ; I -
4
момент инерции сечения, см ; ю7 - частота свободных колебаний 7-й формы колебаний, Гц; I - пролет балки, м ; Х7 - частотный параметр определяемый по уравнению (2).
Уравнение трехпролетной нерегулярной балки на жестких опорах, записанное в функциях Прагера [4] с помощью метода подробно изложенного в [5], имеет вид (2) и позволяет задать любую степень нерегулярности по длинам пролетов, погонной массе и жесткости, определить частотный параметр Х7 по формуле (2), и определить частоту по формуле (1):
2
р31 р21 г> г> г> р31 о о П , р21 г> г> о , —--— В1В2 В3--Г" ¿1^3 °2 +~г В1В3 Л2 +
где «нр.б. = ®1, ®ц , ®EI, ®EI / ц - частоты нерегулярной балки, имеющие нерегулярность соответственно по I, ц, EI, EI/ ц.
При анализе были рассмотрены решения для четырех случаев, которые могут иметь место, а именно:
• ц, EI - const, I - переменная;
• I, EI - const, ц - переменная;
• I, ц - const, EI - переменная;
• I - const, EI/ц - переменная.
Используя формулу (3), запишем для указанных четырех случаев выражения для определения погрешности, которая возникает в том случае, если для нерегулярной системы использовать решения для регулярной системы (балки), которые имеют соответственно приведенный ниже вид. Все вычисления частотных коэффициентов ведутся для первого пролета балки. В случае необходимости по известной формуле - равенства круговых частот балки (1).
Для первого случая выразим через коэффициент ki величину нерегулярности пролета балки
I2 = 12k2 1р.б. = liki .
Исходя из этого коэффициент нерегулярности равен
lp
k =
p.б.
Так как для регулярной по длине балки (равно-пролетной) можно записать
^р.б. ^р.б.-^ ,
где /р б - относительная длина пролета, Ь -полная длина балки, следовательно,
I
0,3333
I,
I,
Значения относительной величины первого ¡1 пролета приведены в табл. 1 (столбец 2).
I
i
Как было указано выше частотный коэффициент X определяется для первого пролета, в то время как отличие балки от регулярной состоит в том, что масса и жесткость центрального пролета отличается от крайних. В первом пролете (крайнем) данные параметры идентичны. Таким образом, для определения погрешности нерегулярной системы, при рассмотрении ее как регулярной, достаточно сравнить частотные параметры (выражение справедливо также для случая не равных по всем характеристикам пролетов).
В табл. 1 приведены результаты расчета первых трех частот для случая, когда ц, EI - const, l - переменная. Ввиду того, что жесткостные и весовые характеристики пролетов одинаковы, коэффициенты в и р в данном случае соответственно равны 1.
Таблица 1
№ типа li L l2 L х2 хр.б. 1 Xl kl 100, % l хр.б J
1 0,26 0,48 4,420676 10,57068 12,78321 9,869604 12,648041 18,468761 26,38 -37,37 -13,77
2 0,27 0,46 5,056369 11,09914 13,09019 9,869604 12,648041 18,468761 21,91 -33,75 -8,03
3 0,29 0,42 6,534927 11,79418 13,87351 9,869604 12,648041 18,468761 12,52 -23,20 0,75
4 0,31 0,38 8,184167 12,24444 15,22259 9,869604 12,648041 18,468761 4,12 -11,93 4,70
5 0,32 0,36 8,972086 12,648041 18,468761 9,869604 12,648041 18,468761 1,36 -6,61 4,11
6 0,333 0,333 9,869604 12,648041 18,468761 9,869604 12,648041 18,468761 0,00 0,00 0,00
7 0,35 0,3 10,69364 12,90426 22,53078 9,869604 12,648041 18,468761 1,72 7,46 -10,65
8 0,37 0,26 11,36154 13,20077 29,53708 9,869604 12,648041 18,468761 6,57 15,29 -29,80
9 0,39 0,22 11,85581 13,49846 36,99853 9,869604 12,648041 18,468761 12,25 22,04 -46,34
юр.б.
ю
р.б.
X/2 к1
(4)
р. б
Для следующих трех случаев формула определения погрешности относительно регулярной балки запишется следующим образом:
X 2 Лр.б. EIр.б. X 2 нр.б. EI нр. б.
юр.б. -юнр.б. _ 1р.6. \ цр.б. 1р26. ^ М'нр.б.
юр.б. X 2 р.б. /Е!р.б.
l2 'р.б. V цр.б.
_ 1 X 2 нр.б
X 2 хр.б
(5)
Анализируя график (рис. 2), можно отметить границы диапазона нерегулярности по длинам пролетов, в пределах которого допустимо определять частоты колебаний нерегулярной балки по уравнениям для регулярной. Для рассмотренного случая эти границы по длине пролета определены для первых двух частот (которые обычно учитываются при рас-
четах) как -10 и +8 %. Погрешность по частоте при этом не будет превышать 10 %.
В табл. 2 приведены аналогичные данные расчета регулярной балки по длине пролетов, но которая имеет нерегулярность по жесткости крайних пролетов и центрального (жесткости крайних пролетов одинаковы, т. е. Е1Х = Ез).
30 25 20 15 10 5
о
-5 -10 -15 -20 -25 -30 -35
-45
X I 00%
V
/ Ч
/ \
\
\
\
N
\
Ч
¿1.
СЧ О! ГЧ П (О со
Рис. 2. График изменения частоты собственных колебаний в зависимости от соотношения пролетов:
1 - первая форма колебаний; 2 - вторая форма колебаний; 3 - третья форма колебаний
Таблица 2
№ типа Е12 ^ У2 нр.б.,Е/ I2 ир.б.,ц Ч.б. ( Л 1 ^ 100 , % 1 ур.б. ) (у2 Л 1 ^ 100, % 1 ур.б. )
1 0,25 12,5354 14,3541 25,3404 11,02285 12,7200 30,7185 9,8696 12,6480 18,4687 -27,01% -13,49% -37,21% -11,69 -0,57 -66,33
2 0,50 11,1379 13,6097 21,4957 10,6675 12,6967 23,6970 9,8696 12,6480 18,4687 -12,85 -7,60 -16,39 -8,08 -0,38 -28,31
3 0,75 10,3657 13,0639 19,6847 10,2777 12,6727 20,3574 9,8696 12,6480 18,4687 -5,03 -3,29 -6,58 -4,13 -0,20 -10,23
4 1,00 9,8696 12,6480 18,4687 9,869604 12,64804 18,46876 9,8696 12,6480 18,4687 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
5 1,25 9,5155 12,3209 17,5404 9,4608 12,6226 17,2888 9,86960 12,6480 18,4687 3,59 2,59 5,03 4,14 0,20 6,39
6 1,50 9,2432 12,0571 17,7886 9,0656 12,5965 16,5030 9,8696 12,6480 18,4687 6,35 4,67 9,10 8,15 0,41 10,64
7 1,75 9,0221 11,8399 16,1596 8,6932 12,5695 15,9540 9,8696 12,6480 18,4687 8,59 6,39 12,50 11,92 0,62 13,62
8 2,00 8,8350 11,6578 15,6226 8,3477 12,5418 15,5550 9,8696 12,6480 18,4687 10,48 7,83 15,41 15,42 0,84 15,78
Анализируя график 3 и данные табл. 2, можно сделать вывод о том, что изменение жесткости и погонных масс пролетов значительно менее влияет на изменение частот, чем изменения длин пролетов. Та же погрешность по первым двум частотам (10 % в данном случае) достигается при нерегулярности по погонной массе пролетов +55...-55 %, а при нерегулярности по жесткости 55 и -30 %. Указанный результат логичен по
той причине, что в первом случае, при исследовании нерегулярности по длине, сама длина входит в формулу во второй степени, в то время как жесткость и масса стоят под знаком радикала.
Проведенное исследование дает нам основание обоснованно использовать простые решения, графики и приближенные формулы для определения собственных частот трехпролетной нерегулярной балки с минимальной погрешностью (рис. 3, 4).
20 16 12 8 4 0 -4 -8 -12 -16 -20 -24 -28 -32 -36
1 -
' нр.6.,£/
Х\к
о о%
-----
//
//
/ г/
/ / /
//
/ /
2 3
Рис. 3. График изменения частоты собственных колебаний в зависимости от соотношения жесткостей (слева) и погонных масс (справа) пролетов:
1 - первая форма колебаний; 2 - вторая форма колебаний; 3 - третья форма колебаний
Рис. 4. График изменения частоты собственных колебаний в зависимости от соотношения жесткости и погонных масс пролетов: а) по первой форме от соотношения погонных масс; б) по второй форме от соотношения погонных масс; в) по первой форме от соотношения жесткости; г) по второй форме от соотношения жесткости
Соотношения длин пролетов реальных неразрезных металлических пролетных строений (ферм 110 х 132 х 110, 132 х154 х132 и др.) мостов находятся в пределах 0,20.0,32, что позволяет определять собственные колебания пролетных строений как для равнопролетной балки с допустимой для практических расчетов погрешностью. Апробация указанного подхода была проведена на многопролетной неразрезной конструкции, имеющей сильную нерегулярность, и по которой имеется эксперимент и выполнен расчет частот методом конечных элементов [6].
Ранее проведенные исследования [3] собственных частот многопролетных неразрезных балок (количество пролетов не ограничено) предлагают взамен сложного уравнения (2) пользоваться полученным простым решениями (6) для форм колебаний (- = 1,2,3,..., п)
(для трехпролетной балки в7 = -3- - = 1,2,3) или
графиком (рис. 5), построенным на основании решения уравнения (6), и наконец приближенными формулами, полученными на основании точного решения.
Для первых трех частот приближенные формулы [3] имеют вид
п
V, = — 3 2)1
Ы_
4
ц/
1 + -
(7)
п
V 2 =_ 2
Е1
ц/4
2п
1 + -
1 -1
81П-
shX- (008 - 008 Р7) 1
81П
Х7 ((А,7 - 008 Р7)
в-=п
п
(6)
п
V, = — 1 ^
Е1
ц/4
4 Г 3
6,6
81П П
6,6
3
Рис. 5. График для определения частот собственных колебаний регулярной многопролетной балки на жестких опорах
Для определения частот многопролетной регулярной балки отрезок 0-1 разбивается на количество частей равное количеству пролетов балки п (в данном случае разбивка выполнена для две-надцатипролетной балки). Восстанавливая перпендикуляры до пересечения с кривой, получаем
й У2
п значений частотного параметра —.
2п
Для определения точности предлагаемых формул и сравнения с приближенными методами вычисления частот, рассмотрим трех-
пролетную регулярную балку длиной 15 м. Поперечное сечение балки - 80 мм, момент инерции сечения I = 201,062 см4, модуль упругости для стали 20 600 кН/см2, погонная масса 0,3946 кН/м.
Результаты вычислений частот колебаний по трем формам приведены в табл. 4. В зависимости от способа определения частотного параметра: по формуле (2) и (6) - точный метод, выступает в роли эталонного, по графику - номограмме и по приближенным формулам (7).
Таблица 4
Варианты По формуле (2) По формуле (6) График-номограмма По формуле (7)
расчета Формы Частота, Гц Погрешность, % Частота, Гц Погрешность, % Частота, Гц Погрешность, % Частота, Гц Погрешность, %
1 40,44632 0,00 40,44632 0,00 40,444863 +0,02 40,44632 0,00
2 51,83263 0,00 51,83263 0,00 52,269818 -0,83 51,99204 +0,31
3 75,68641 0,00 75,68641 0,00 75,442205 +0,32 74,15164 +0,32
Все рассмотренные методы обеспечивают достаточную точность вычислений. Следует отметить полное совпадение значений частот при вычислении по формулам (2) и (6). Формула (6) позволяет определить частоты колебаний балки не только для случая трехпролетной балки. В то же время при нерегулярности трехпролет-ной балки по длине пролетов, массе, жесткости больше указанных выше пределов целесообразней производить расчеты по формуле (2).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гуржий К. В. Исследование влияния незначительных нерегулярностей на изменение собственных частот неразрезных балок на жестких опорах / К. В. Гуржий, К. И. Солдатов // Вопросы статистической и динамической работы мостов: Меж-вуз. сб. науч. тр. / ДИИТ, - Д., 1993, С. 63-74.
2. Гуржий К. В. Особенности динамики систем близких к регулярным применительно к двух-пролетным неразрезным балкам с промежуточной упругой опорой // Вопросы динамики мос-
тов и теории коллебаний: Межвуз. сб. науч. тр. / ДИИТ, - Д., 1994. - С. 70-83.
3. Солдатов К. И. Частные случаи задачи о собственных колебаниях регулярных упруго опертых балок, // Исследования статистики, динамики и грузоподъемности мостов: Межвуз. сб. науч. тр. / ДИИТ, - Д., 1971. - Вып. 127. - С. 72-79.
4. Ананьев И. В. Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем. - М., 1946. - 224 с.
5. Эйхе Г. Н. Анализ структуры уравнения частот и форм колебаний прямолинейных цепных стержневых систем и свободные колебания радиально-вантовых мостов: Дисс. канд. техн. наук. - 183 с.
6. Солдатов К. И. Дослвдження динамши нерегу-лярних по довжинах прольопв мостових конс-трукцш / К. И. Солдатов, Г. С. Железняк, К. В. Гуржий. - Д., 2004. - С. 221-226.
7. Солдатов К. И. О жесткости опор реальних мос-тових конструкцш / К. И. Солдатов, Г. С. Железняк, К. В. Гуржий. - Д., 2004. С. 154-160.
Поступила в редколлегию 25.03.2005.
