Исследование скорости бегущей волны в одной модификации модели Полтеровича-Хенкина Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.633

А. Ю. Александрова

Российский университет дружбы народов

Исследование скорости бегущей волны в одной модификации модели Полтеровича—Хенкина

Рассматривается модификация модели распространения новых технологий Полтеровича-Хенкина с учетом выбытия производственных мощностей. С помощью автомодельной редукции уравнение сводится к квазилинейному. В данной работе будет доказана сходимость решения уравнения к бегущей волне и найдена скорость распространения волны.

Ключевые слова: модель распространения новых технологий, бегущая волна, квазилинейное уравнение, автомодельная редукция.

A.Y. Aleksandrova

Peoples' Friendship University of Russia

Running wave speed analysis in one Polterovich—Henkin

model modification

Modification of the Polterovich-Henkin Model of extending new technologies is considered with account taken of the elimination of productive capacity. The equation is simplified to a quasilinear equation by automodel reduction. In this paper the convergence of the solution to a traveling wave is proved and the wave propagation speed is found.

Key words: model of extending new technologies, running wave, quasilinear equation, automodel reduction.

1. Введение

Одним из ключевых вопросов экономической теории является моделирование процессов появления и распространения новых технологий.

Идея, принадлежащая Дж. Шумпетеру, гласит о том, что инновационные изменения надо разложить на две составляющие: инновационную и имитационную. Данному вопросу посвящено немало работ. Относительно инновационного процесса известно мало. Процесс имитации рассматривается как главный элемент введения новшеств от фирм-новаторов к остальным. Так же широко используются гипотезы о том, что скорость распространения инноваций пропорциональна доле фирм, которые не освоили новшества и коэффициент пропорциональности увеличивается с ростом доли освоивших фирм. Согласно этой гипотезе, доля предприятий, использующих инновационные технологии, изменяется по логистической кривой. Данный эффект согласуется с эмпирическими наблюдениями.

Аналитические исследования асимптотического поведения модели распространения новых технологий Полтеровича-Хенкина продолжаются. Более подробно данная модель была исследована в статьях [1], [2]. Предварительный анализ показал, что эффективность может не только увеличиваться, но и уменьшаться. Поэтому исходную модель модифицировали, добавив слагаемое, отвечающее за амортизацию, учитывающую процессы, снижающие эффективность. В работе [3] приведены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие работоспособность и реалистичность модели.

В данной работе будет рассмотрена модель распространения новых технологий с учетом выбытия производственных мощностей, доказана сходимость решения уравнения к бегущей волне и найдена скорость распространения волны.

2. Описание модели. (Постановка задачи)

Рассмотрим производственную систему, состоящую из предприятий, упорядоченных по уровням технологического развития. Пусть Рп(1) - доля предприятий, находящихся в момент времени £ на уровнях с номерами, меньшими или равными п. Модель задается бесконечной нелинейной системой дифференциально-разностных уравнений и имеет следующий вид:

ЩШ = -(а + р(1 - - Рп-М) + - Рп(1)) (1)

с заданными начальными и естественными граничными условиями

0 < Еп(0) < 1,1 < п<И; Рп(0) = 1,п ^ N; Ро(г) = 0 (2)

при всех I > 0.

Таким образом, предприятия уровня п поднимаются на более высокий уровень с интенсивностью инновации а и интенсивностью имитации @(1 - Рп(Ь)). В свою очередь, предприятия опускаются с уровня п + 1 на уровень п с интенсивностью амортизации 7. Модель с амортизацией учитывает процессы, снижающие эффективность за счет износа фондов или иных причин.

Коэффициенты а > 0, @ > 0,^> 0 постоянны и одинаковы для всех предприятий.

Работа [3] посвящена исследованию модифицированной модели. Вычислительные эксперименты показали, что при ненулевом коэффициенте амортизации асимптотика зависит от 7 и скорость движения волны с ростом 7 уменьшается и может даже стать отрицательной. То есть при достаточно малых 7 наблюдается движение в сторону возрастания эффективности с постоянной скоростью. При некоторых 7 волна почти неподвижна. Возрастание 7 приводит к снижению эффективности, т.е. обратное движение волны. Были проведены эксперименты, направленные на проверку соответствия модели реальной динамики. Было доказано, что эта модель позволяет аппроксимировать реальные данные.

3. Асимптотика решения задачи Коши для квазилинейных уравнений и его сходимость к бегущей волне

Для начала дадим определение бегущей волны. Определение. Волновым решением уравнения

ду(и) д<р(и) д2и сЯ дх дх2

будем называть функцию й(х - Ы), которая удовлетворяет условиям:

1) существуют й(з) и й($), равные и- и и+ соответственно;

2) й(х - Ы) - решение уравнения (3).

В работе [4] исследуется асимптотическое по времени поведение решения задачи Коши для квазилинейных уравнений параболического типа. Были перенесены известные результаты работы [5] на более широкий класс уравнений, обобщены известные результаты об асимптотическом поведении решения для случая линейной функции ь(и) на случай монотонной. Одним из важных результатов той работы является теорема об асимптотике в случае выполнения энтропийного условия.

Теорема (см. [4]). Пусть и- < и+ и выполнены условия

, , Л (р(и) - ¡р(и-) ¡р(и+) - ¡р(и-)

1) для и € (и-,и+) ^ —----—- > —-—г--—- - энтропийное условие

у(и) - у(и-) у(и+) - У(и-)

Гельфанда-Олейник.

2) для начальной функции существуют интегралы

/0 г-

(ь(и0(х)) - ь(и-))д,х; (ь(и0(х)) - ю(и+))йх.

0

Тогда 'решение задачи Коши для уравнения (3) с начальным условием и(х, Ь) |^=о = и0(х) равномерно относительно х стремится к решению уравнения вида и(х — Ы), где

к = —^, а и(в) удовлетворяет равенству [ (у(и(в)) — у(и0(в)))й8 = 0.

у(и+) — у(и-)

' — оо

Приступим к решению нашей задачи. Перепишем задачу (1), (2) в следующем виде:

= -(а + ß(1 - F(х, t)))(F(х, t) - F(х - е, t)) + 7(F(х + е, t) - F(х, t)) (4)

при условиях

0 < F(х, 0) < 1; limF(х, 0) = 1; F(0, t) = 0. (5)

При е ^ 0 воспользуемся автомодельной редукцией: разложим F(х, t) - F(х - е, t) и F(х + е, t) - F(х, t) в ряд Тейлора до члена второго порядка:

F(х, t) - F(х - е, t) и F(х, t) - (F(х, t) - F'(х, t)e + 1f''(х, t)е2) =

= F(х, t)e - 1f''(х, t)е2,

F(х + е, t) - F(х, t) и F'(х, t)e + 1f''(х, t)е2. Уравнение (4) перепишем в следующем виде:

= -(а + ß(1 - F(х, t)))(F'(х, t)e - ±F''(х, t)е2) + -y(F'(х, t)e + ±F"(х, t)e2).

Получили дифференциально-разностное уравнение, являющееся квазилинейным. Перегруппируем слагаемые и введем замену ß = а + ß:

dF dF д2F е2

— = (1 -ß + ßF)—г + (1 + ß-ßF )-

т " ^ И ' дх ^ ' ' дх2 2'

Поделим обе части уравнения на и введем замену = :

дР , дР , д2Р е

* = (г — >' + 1№) дх + (Г + Ц — РР) д^ *

Поделим обе части на (г + ц — РР):

1 dF (ß - ^ + ßF) dF = d^FE. (6)

+ 7Z~\ 7. а ЕЛ я™ = я™2 ö. (6)

(г + ц — рР) дт (г + Ц — РР) дх дх2 2 Для того чтобы свести к уравнению вида (3), необходимо (' (1Р 1

' = — -Чг + ц — РР ) = ЧР),

У (г + ц — РР) р

//+ Ь^ГРР-^)"Р = Р+>т+ц—РР) = ^)

Уравнение (6) примет вид

ед2Р = д в\(Р) + д в2(Р) 2 дх2 дт дх '

Уравнение (7) соответствует виду уравнения (3) с точностью до обозначений. Построим фундаментальную диаграмму для уравнения, заданного параметрически функциями в\ = в\(Р) и 02 = $2(Р).

Рис. 1. Фундаментальная диаграмма при фиксированном /3 = 0.4 и ^ = 0.5

На рис. 1 кривые, изображенные красным и зеленым, означают положительную скорость, синяя кривая - скорость близка к 0, розовая и оранжевая кривые - скорость отрицательна.

Предложение. Пусть в\(Р) и 02(Р) - гладкие функции, такие что выполнено энтропийное условие, тогда решение задачи Коши для уравнения (7) с начальными условиями (5) равномерно относительно х сходится к решению вида Р(х - Ы),

где к =

02 (Р+ ) - 02^_)

^в1(Р+) - в1(Р_)

Р(я) = Р_ и Р(я) = Р+.

В нашем случае Р_ =0 и Р+ = 1 :

т.е. имеет асимптотику типа «бегущая волна». Здесь

к =

02 (Р+) - 02 (Р_) 01 (Р+) - 01(Р_)

1 + Ц- 1п(^ + а) - Ц 1п(^ + а + /3)

- -^Ь^ + а) + 11п(7 + а + /3) Р Р

2ч ч + а + /3

1--1п-

р 7 + а 1 7 + а + @ — 1п

= -2^ +

¡3

1п(1 +

/3

)

(3 7 + а а + ч'

При 7 = 0 найденная скорость совпадает с той, которая была получена в работе [2]. Проверим выполнение энтропийного условия для функций 01(Р) и 02 (Р):

02(Р) - 02(Р_) > 02(Р+) - 02 (Р_) 01(Р) - 01(Р_) 01(Р+) - 01 (Р_) '

^ + Ц 1п(^ + /л - ) - ^ 1пЬ + ») 1 + 2^ + V - 13) - у 1пЬ + »)

-11п(ч + » - /ЗР) + 11п(ч + /л) Р Р

Р

<

-11пЬ + V - + 11п(7 + ц) Р Р

1

1п(1 - ) 1п(1--—)

7 + Д

7 + Д

При 0 < Р < 1 неравенство выполнено. Таким образом, асимптотика типа «бегущая волна» существует.

а 7

Следствие. При (3 = 0 положим к(а,/3,ч) = к( —,—) = к(а , 7 ). Тогда при к = 0

Р V

следует Ы =

1

е V - 1

1

1

Рис. 2. Зависимость между параметрами а! и 7' при к = 0

Таким образом, при а' < что к > 0.

1 . 7 1

— 7 следует что к < 0, a при а >

- 1

- 1

7 следует

На рис. 2 показано, что параметры Ы и г' принимают положительные значения. Построим график функции скорости к (а', г').

Рис. 3. Функция скорости

Из рис. 3 видно, при каких значениях а' и 7' скорость отрицательная, а при каких положительная.

1

Литература

1. Хенкин Г.М. , Шананин А.А. Математическое моделирование шумпетеровской инновационной динамики // Математическое моделирование. 2014. Т. 26, № 8. С. 3-19.

2. Полтерович В.М., Хенкин Г.М. Эволюционная модель взаимодействия процессов создания и заимствования технологий // Экономика и математические методы. 1988. T. 24, № 6. C. 1071-1083.

3. Гельман Л.М., Левин М.И., Полтерович В.М., Спивак В.А. Моделирование динамики распределения предприятий отрасли по уровням эффективности (на примере черной металлургии) // Экономика и математические методы. 1993. Т. 29, № 3. С. 460-469.

4. Гасников А.В. Асимптотическое по времени поведение решения квазилинейного уравнения параболического типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. T. 46, № 12. С. 2235-2253.

5. Ильин А.М., Олейник О.А. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для некоторых квазилинейных уравнений при больших значениях времени // Математический сборник. 1960. Т. 51, № 2. С. 191-216.

References

1. Henkin G.M., Shananin A.A. Mathematical modeling of the schumpeterian dynamics of innovation. Matem. Mod. 2014. T. 26, N 8. P. 3-19.

2. Polterovich V.M., Henkin G.M. Evolutionary model of the interaction processes of creation and technology import. Economics and Mathematical Methods. 1988. T. 24, N 6. P. 10711083.

3. Guelman L.M., Levin M.I., Polterovich V.M., Spivak V.M. Modeling of the dynamics of firms distribution in accordance with efficiency levels (ferrous metal industry case). Economics and Mathematical Methods. 1993. T. 29, N 3. P. 460-469.

4. Gasnikov A.V. Time asymptotic behavior of the solution to a quasilinear parabolic equation. Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 2006. T. 46, N 12. P. 2235-2253.

5. Il'in A. M., Oleinik O. A. Asymptotic behavior of solutions of the Cauchy problem for some quasi-linear equations for large values of the time. Mat. Sb. (N.S.). 1960. T. 51, N 2. P. 191-216.

Поступила в редакцию 05.11.2015.