Исследование робастного непараметрического алгоритма прогноза Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Наибольшее значение суммы штрафа за один день достигается при максимальном количестве инспекторов и минимальном времени обслуживания.

График поверхности зависимости прибыли Var5 от средней суммы штрафа Var3 и средних затрат Var4:

Ш -20000

Наибольшее значение прибыли образуется при максимальной сумме штрафов и минимальной сумме затрат.

График зависимости прибыли Var5 от количества инспекторов Var1:

График средних(Таблицав 10м*10с)

Varl

Оптимальное количество инспекторов равно 8. Прибыль поста ДПС за один день при этом составляет 71752 р.

Список литературы

1. Афонин П. Система оптимизации на основе имитационного моделиро-

вания. http://www.bioinformatix.ru.

2. Математическое моделирование и оптимизация системы массового

обслуживания. httD://www.BestReferat.

УДК 519.234

В.А. Симахин, О.С. Черепанов

Курганский государственный университет

ИССЛЕДОВАНИЕ РОБАСТНОГО НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА ПРОГНОЗА

Аннотация. В статье приводится исследование ро-бастного непараметрического алгоритма прогноза на основе взвешенного метода максимального правдоподо-

бия для разных моделей случайных стационарных процессов.

Ключевые слова: взвешенный метод максимального правдоподобия, робастное непараметрическое прогнозирование, эффективность оценок.

V.A. Simakhin, O.S. Cherepanov Kurgan State University

RESEARCH OF ROBUST NONPARAMETRIC ALGORITHMS FOR PREDICTION

Annotation. In paper we have researched robust nonparametric algorithms for prediction by weighted maximum likelihood method for different stochastic stationary models.

Key words: robust nonparametric prediction, weighted maximum likelihood method, effectiveness of estimates.

Введение

Задаче анализа и прогнозирования случайных процессов посвящено много работ [1-4]. В настоящее время существует достаточно большое число различных моделей случайных процессов. Неверный выбор модели или небольшие отклонения от нее, например, наличие выбросов, могут привести к тому, что полученные результаты по прогнозу будут далеки от истинных. Взвешенный метод максимального правдоподобия (ВММП) вместе с ядерными оценками позволяют получить эффективные робастные непараметрические алгоритмы прогноза, которые включают известные непараметрические алгоритмы [3] как частные случаи.

В данной работе приводятся результаты исследования эффективности робастных непараметрических оценок прогноза [4] для ряда моделей случайных стационарных процессов.

1. Постановка задачи

Пусть Xo,...,XN1 — последовательность случайных величин (выборка) из случайного стационарного процесса X(t) со слабой зависимостью. В качестве математической модели случайного процесса используется модель нелинейной авторегрессии вида:

X = m(Xt_m) + £,.,

Xi-m = (Xi-1,.., Xi-m )Г ,

где m( Xi-m ) — функция авторегрессии;

е: — последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Структура функции m( X. ) и закон распределения е: считаются неизвестными. Предполагается, что е: распределена симметрично относительно нуля.

Требуется оценить значение временного ряда на к шагов вперед.

2. Взвешенный метод максимального правдоподобия

Поиск оценок прогноза производится в классе условных М-оценок на основе эмпирических уравнений вида:

\ve(t,0/Xn-m )dFN (t / Xn-m ) = 0, (1)

где фв(.,в / Хн_т) — оценочная функция;

Хы _ — вектор т-последних значений временного ряда.

Оценочную функцию в (1) представим в следующем виде [4]:

вХ,в/_т ) =

' д -— 1П /(Х,в/Xы_т ) + в дв

/' ( Х,в/X N _т ) , (2)

где /(х,в/Хы_т) — условная плотность распределения; в — параметр, который определяется из условия несмещенности оценки Е[ф(х, в / Хы_т )] = 0; l —

параметр радикальности оценки.

В качестве оценки условной плотности распределения применяется ядерная оценка:

/М (Х,в/_т ) =

/1, (х, ХМ+к , НМ,ХМ_т ) -

/м (Х,в, Хм_т ) /Ы ( Х N _т )

(3)

1

(N — т — к + 1)кт

2 *

2к,

( Х ,+ с _ Х м

К,

<П К\ м_т+с

1 N _тт_1

/М (Х N _т , hN1 ) = ~77~Т 1Ч7 т 2 П * (N - т + 1)Кт 5=0 С=0

1 (Х _ Х I

-- ]+о N_т+с

К

где hN — параметр «размытости»; XN+к — оценка

значения прогноза;

Подставляя (3) в (2) и (2) в (1), получаем следующую систему уравнений:

т-1 (_ Х ^

2 /_'(Х

1+т+к—1 ,Х N+к , ^ , XN—т )П *

1+с N—т+с

3. Исследования полученных оценок

В первую очередь интересует эффективность полученных оценок в зависимости от порядка авторегрессии и параметра радикальности. Теоретическое исследование таких оценок является достаточно сложной задачей. Поэтому в данной работе использовался метод статистических испытаний с применением блочного бутстрепа [5].

Проводилось исследование полученного алгоритма прогноза на следующих тестовых моделях:

- синусоида x(t)=sin(t) с Д<=0,314 и N=400;

- биение x(t)=0,5(s/n(3t)+s/n(4t)) с Д<=0,158 и N=400.

При этом рассматривались случаи наличия и отсутствия аддитивного белого шума и дельтаобразных выбросов.

Эффективность рассматриваемого алгоритма сравнивалось с алгоритмом на основе ARMA-модели. Для определения оптимальных значений порядков авторегрессии и скользящего среднего ARMA-модели, а также их коэффициентов использовалась программная среда статистических вычисления R.

3.1.Синусоида

3.1.1. Временной ряд

Таблица 1

Параметры генератора временных рядов

Случайный процесс Шаг дискретизации Размер временного ряда Выбросы

х(/)=5Ш (/) 0,3141593 400 Хб2=-5, Х123= -6

V

N—m—k V _ и

N +к и1, 1

2 *

1=0 •* 1

^ ^ Х — и I т—1 ( Х — Х

Л- N +к и1,1 1—г --I ^ 1+с

И

П *|-

1+с Я—т

с=0 V 'Ы

= 0,

Рис. 1. График временного ряда 3.1.1 Результаты прогнозирования

2 /' (Х

1+т+к—1 , ХN +к , ^ , XN—т )П *

— Х

1+с N—m+c

*N )

*I Х^к и, 1 П*[ Х1+с |2(Х1+с 1,„[ Х1+с ^ы^т+с

N_т-к ( Х — и I т—1 ( Х — Х

2 * \ N+k и П * [ -1+ ^т^с

(4)

2П *

1=0 с=0 '

Х1+с ХН— ] + с ( Х] + с XN-m + c\|J^ Х1+с ХН-т + с

И-

П-т т—1 ( Х — Х

2 П—р*\ 1+с И-т + с

1

"(1+1)

= 0.

а) 1=0; б) 1=0,5; в) 1=1 Рис. 2. График прогноза

Г Л - *'(х)

где ¥(х) = „ , и,

Х 1+т+к —1 + Х 1+т+к—1

полусумма

*( х) м 2

Уолша.

Решая систему уравнений (4), получаем робастную непараметрическую оценку прогноза случайного стационарного процесса.

Таблица 2

Параметры алгоритма прогноза на основе ВММП

Горизонт Точность решения системы Порядок авторегрессии

20 0,001 3

X

X

X

с=0

N

N

X

1=0

N

X

Суммарные ошибки прогноза

Таблица 3

Алгоритм ВММП ARMA

Параметр радикальности 0 0,25 0,5 0,75 1

Суммарная ошибка прогноза 0,0786 2-10-5 2-10-5 2-10-5 2-10-5 0,0293

3.1.3. Результаты моделирования

Таблица 4

Параметры бутстреп-моделирования алгоритма на основе ВММП

Горизонт Количество итераций Размер ряда Порядок авторегрессии Параметр радикальности

3 395 397 3 От 0 до 1 с шагом 0,1

Рис. 3. График дисперсии оценки на основе ВММП от параметра радикальности при бутстреп-моделировании

3.2. Синусоида с аддитивным белым шумом 3.2.1. Временной ряд

Таблица 6

Параметры генератора временных рядов

Случайный процесс Шаг дискретизации Размер временного ряда Дисперсия шума

х(г)=5ш(г)+е( 0,3141593 400 0,1

Рис. 4. График временного ряда 3.2.2. Результаты прогнозирования

Таблица 7

Параметры алгоритма прогноза на основе ВММП

Горизонт Точность решения системы Порядок авторегрессии

20 0,001 4

Суммарные ошибки прогнозов

Таблица 8

Алгоритм ВММП ARMA

Параметр радикальности 0 0,25 0,5 0,75 1

Суммарная ошибка прогноза 0,0441 0,0396 0,0384 0,0388 0,0393 0,0220

а) 1=0; б) 1=0,5; в) 1=1 Рис. 5. График прогноза

3.2.3. Результаты моделирования

Таблица 9

Параметры «чистого» моделирования алгоритма прогноза на основе ВММП

Горизонт Количество Размер Порядок Параметр

итераций ряда авторегрессии радикальности

3 100 400 C 2 до 8 с шагом 1 0

Рис. 6. График дисперсии оценки на основе ВММП от порядка авторегрессии при «чистом» моделировании

Таблица 10

Дисперсии оценок на основе ВММП от порядка авторегрессии при «чистом» моделировании

Порядок авторегрессии 2 3 4 5 6 7 8

Дисперсия оценки, х10-2 6,349 3,04 1,27 1,04 1,28 0,80 0,90

Таблица 11

Параметры бутстреп-моделирования алгоритма на основе ВММП

Горизонт Количество Размер Порядок Параметр

итераций ряда авторегрессии радикальности

3 393 396 4 С 0 до 1 с шагом 0,1

Таблица 12

Дисперсии оценок при бутстреп-моделировании

Алгоритм ВММП ARMA

Параметр радикальности 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Дисперсия оценки, х 10-4 2,6 0,43 0,34 0,35 0,38 0,4 11,52

025 03 0Л5

Рис. 7. График дисперсии оценки на основе ВММП от параметра радикальности при бутстреп-моделировании

3.3. Синусоида с аддитивным белым шумом и дельтообразными выбросами 3.3.1. Временной ряд

Таблица 13

Параметры генератора временных рядов

Случайный процесс Шаг дискретизации Размер временного ряда Дисперсия шума Выбросы

0,3141593 400 0,1 x62=-5, Х123= -6

3.3.3. Результаты моделирования

Таблица 16

Параметры бутстреп-моделирования алгоритма на основе

ВММП

Горизонт Количество итераций Размер ряда Порядок авторегрессии Параметр радикальности

2 393 396 4 От 0 до 1 с шагом 0,1

Рис. 8. График временного ряда 3.3.2. Результаты прогнозирования

Таблица 14

Параметры алгоритма прогноза на основе ВММП

Горизонт Точность решения системы Порядок авторегрессии

20 0,001 4

Таблица 15 уммарные ошибки прогнозов

Алгоритм ВММП ARMA

Параметр радикальности 0 0,25 0,5 0,75 1

Суммарная ошибка прогноза 0,200 0,0460 0,0443 0,0451 0,0466 0,0447

а) 1=0; б) 1=0,5; в) 1=1 Рис. 9. График прогноза

Рис.10. График дисперсии на основе ВММП оценки от параметра радикальности при бутстреп-моделировании

Таблица 17

Дисперсии оценок при бутстреп-моделировании

Алгоритм ВММП ARMA

Параметра радикальности 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Дисперсии оценки, х10"5 500 7,3 6,8 7,1 7,3 8,2 3082

3.4. Биение

3.4.1. Временной ряд

Таблица 18 Параметры генератора временных рядов

Случайный процесс Шаг дискретизации Размер временного ряда Выбросы

x(í)=0,i(sin(3í)+sin (40) 0,1579796 400 Х42=-5, Х83= -7

Рис.11. График временного ряда 3.4.2. Результаты прогнозирования

Таблица 19

Параметры алгоритма прогноза на основе ВММП

Горизонт Точность решения системы Порядок авторегрессии

20 0,001 14

а) 1=0; б) 1=0,5; в) 1=1 Рис. 12. График прогноза

Таблица 20

Суммарные ошибки прогнозов

Алгоритм ВММП ARMA

Параметр радикальности 0 0,25 0,5 0,75 1

Суммарная ошибка прогноза 0,3002 3-10" 3-10" 3-10" 3-10" 0,03012

3.4.3. Результаты моделирования

Таблица 21

Параметры бутстреп-моделирования для алгоритма на основе ВММП

Горизонт Количество итераций Размер ряда Порядок авторегрессии Параметр радикальности

2 379 386 14 С 0 до 1 с шагом 0,1

ь

Рис.13. График дисперсии оценки на основе ВММП от параметра радикальности при бутстреп-моделировании

Таблица 22

Дисперсии оценок прогнозов при бутстреп-моделировании

Алгоритм ВММП ARMA

Параметр радикальн ости 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Дисперсия оценки 9,68-10-3 0 0 0 0 0 0,2775

3.5. Биение с аддитивным белым шумом 3.5.1. Временной ряд

Таблица 23 Параметры генератора временных рядов

Случайный процесс Шаг дискретизации Размер временного ряда Дисперсия шума

x(t)=0,5(sin (3t)+sin(4t))+s, 0,1579796 402 0,1

Рис.14.График временного ряда

3.5.2. Результаты прогнозирования

Таблица 24

Параметры алгоритма прогноза на основе ВМПП

Горизонт Точность решения системы Порядок авторегрессии

20 0,001 15

а) 1=0; б) 1=0,5; в) 1=1 Рис. 15. График прогноза на основе ВММП

Таблица 25

Суммарные ошибки прогнозов

Алгоритм ВММП ARMA

Параметр радикальности 0 0,25 0,5 0,75 1

Суммарная ошибка прогноза 0,0483 0,0351 0,0341 0,0325 0,0330 0,0424

3.5.3. Результаты моделирования

Таблица 26

Параметры «чистого» моделирования алгоритма на основе ВММП

Горизонт Количество Размер Порядок Параметр

итерации ряда авторегрессии радикальности

3 100 402 От 2 до 14 с шагом 1 0

§2 5 8 11 14

Рис. 16. График дисперсии оценки на основе ВММП от порядка авторегрессии при «чистом» моделировании

Таблица 27

Дисперсии оценок на основе ВММП от порядка авторегрессии при «чистом» моделировании

Порядок авторегрессии 2 4 6 8 10 12 14

Дисперсии оценки 0,0167 0,0206 0,0042 0,0037 0,0036 0,0025 0,0019

Таблица 28

Параметры бутстреп-моделирования алгоритма на основе ВММП

Горизонт Количество итераций Размер ряда Порядок авторегрессии Параметр радикальности

2 373 387 15 От 0 до 1 с шагом 0,1

Рис. 17. График дисперсии оценки на основе ВММП от параметра радикальности при бутстреп-моделировании

Таблица 29

Дисперсии оценок при бутстреп-моделировании

Алгоритм ВММП ARMA

Параметр радикальности 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Дисперсия оценки, х103 2,388 2,272 2,238 2,230 2,215 2,205 3,113

3.6. Биение с аддитивным белым шумом и дельтообразными выбросами 3.6.1. Временной ряд

Таблица 30 Параметры генератора временных рядов

Случайный процесс

x(t)=0,5(sin(3t)+sm(4t))+£t

дискретизации

временного ряда

Дисперсия шума

Выбросы

Xg3=-7, x124= -10

Рис. 18. График временного ряда 3.6.2. Результаты прогнозирования

Параметры алгоритма прогноза

Таблица 31

Горизонт Точность решения системы Порядок авторегрессии

20 0,001 15

а) 1=0; б) 1=0,5; в) 1=1 Рис. 19. График прогноза на основе ВММП

Таблица 32 Суммарные ошибки прогнозов

Алгоритм ВММП ARMA

Параметр радикальности 0 0,25 0,5 0,75 1

Суммарная ошибка прогноза 0,2081 0,0321 0,0316 0,0347 0,0370 2,241

3.6.3. Результаты моделирования

Таблица 33

Параметры бутстреп-моделирования алгоритма прогноза на основе ВММП

Горизонт Количество Размер Порядок Параметр

итераций ряда авторегрессии радикальности

1 373 387 15 От 0 до 1 с шагом 0,1

Рис. 20. График дисперсии оценки на основе ВММП от параметра радикальности при бутстреп-моделировании

Таблица 34

Дисперсии оценок прогнозов при бутстреп-моделировании

Алгоритм ВММП ARMA

Параметр радикальности 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Дисперсия оценки, х10-3 179,0 6,16 4,21 3,88 3,88 4,07 162,4

Заключение

В результате проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. В случае, когда 1=0 (оценка максимального правдоподобия), алгоритм не является устойчивым к наличию дельтаобразных выбросов.

2. Изменение параметра радикальности приводит к повышению эффективности оценки, делая алгоритм робастным к наличию выбросов во временном ряде.

3. Нахождение эффективных оценок прогноза требует адаптации алгоритма как по распределению случайного процесса, так и по выбросам.

0,3141593

0,1

4. Процедура блочного бутстрепа изменяет структуру случайного процесса (создает точки разрыва). При этом во временных рядах, генерируемых с использованием блочного бутстрепа, некоторые значения могут быть восприняты как выбросы, хотя такими в исходном ряде не являются. В итоге дисперсия для оценки при /=0, получаемая при таком моделировании, неоправданно завышается.

Список литературы

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. - Т. 1.

- М.: Фазис, 1998. - 512 с.

2. Симахин В.А. Непараметрическое прогнозирование случайных

процессов // Тез. докл. I областной научно-практической конференции по надежности научно-технических прогнозов.-Новосибирск, 1978.

3. Рымар Т.Н., Симахин В.А. Непараметрическое прогнозирование

стационарных случайных процессов // Тез. докл. зональной научно-технической конференции «Датчики и средства первичной обработки информации».-Курган, 1990.- С. 102-104.

4. Симахин В.А. Адаптивные робастные непараметрические алгоритмы

прогноза // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника, информатика. - 2011. -№14. - С. 45-55.

5. Бюльман П. Бутсреп-схемы для временных рядов // Квантиль. - 2007.

- № 3. - С. 13-37.

УДК 621.19 В.Е. Овсянников

Курганский государственный университет,

В.Ю. Терещенко

ОАО НПО «Курганприбор»

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ

Аннотация. В статье рассматриваются некоторые вопросы исследования устойчивости технологических систем с применением численных методов: методов нелинейной динамики и вейвлет-анализа. Прорабатываются вопросы применения указанных методов для анализа устойчивости колебательных процессов в технологической системе посредством регистрации и последующей обработки виброакустического сигнала.

Ключевые слова: устойчивость систем, нелинейная динамика, вейвлет-анализ.

V.E. Ovsyannikov

Kurgan State University,

V.J. Tereshchenko

Open Society NPO Kurganpribor

METHODOLOGICAL BASES OF THE NUMERICAL ANALYSIS OF SYSTEMS STABILITY

Annotation. In article some questions of research of stability of technological systems with application of numerical methods are considered: methods of nonlinear dynamics and the wave-analysis. Questions of application of the specified methods for the analysis of stability of oscillatory processes in technological system by means of registration and the subsequent processing acoustical a signal are studied.

Key words: stability of systems, nonlinear dynamics, the wave-analysis.

Введение

Долгое время численные методы анализа устойчивости обрабатывающих технологических систем базировались на традиционных статистических и аналитических методах, таких как спектрально-корреляционный и регрессионный анализ, методы линейной оптимизации. Вследствие такого подхода к анализу сигналов динамическая сущность процессов, их порождающих, как правило, уходит на второй план.

Нелинейная динамика, включающая в себя теорию хаоса и теорию фракталов, позволяет понять, что колебания параметров системы относительно тренда развития чаще всего не являются простыми. Одно из применений теории фракталов связано с задачей обработки временных реализаций стохастических процессов. В рамках концепции динамического хаоса от анализа временного ряда можно перейти к анализу траектории в фазовом пространстве (аттрактору). Известная сложность при анализе реальных динамических систем заключается в возможном изменении со временем размерности фазового пространства, что осложняет реконструкцию моделей. Таким образом, оценка размерности фазового пространства и оценка размерности аттрактора с использованием так называемой фрактальной размерности дает возможность оценить вид движений в системе.

Спектр показателей Ляпунова дает необходимую классификацию аттракторов. Сумма показателей характеризует скорость изменения фазового объема в окрестности траектории. Режим странного аттрактора характеризуется наличием в спектре положительных показателей. Сумма показателей Ляпунова для диссипативных систем отрицательна. Если сумма показателей Ляпунова равна нулю, то фазовый объем системы во времени не изменяется - система консервативна и аттракторов не содержит. В случае положительной суммы показателей Ляпунова фазовый объем во времени нарастает.

Показатель Херста содержит минимальные предположения об изучаемой системе. Имеются три различных классификации для показателя Херста(Н).

Стохастические колебания представляют собой накладываемый на основной процесс шум определенного типа (от белого до черного). Фурье-анализ спектра такого шума не всегда позволяет выявить характер колебаний. Весьма перспективным методом анализа систем с "мягким хаосом" является вейвлет-анализ. Он дает возможность реализовать схему постепенного приближения модели процесса к оригиналу путем построения вначале наиболее простой его версии и последующего усложнения ее более высокочастотными деталями. На сегодняшний день доказано, что методы вейвлет-анализа можно использовать для выявления фрактальных компонентов в анализируемом сигнале и для изучения его структуры.

Целью данной работы является изучение возможности применения аппарата нелинейной динамики и вейвлет-анализа для оценки устойчивости технологических систем на примере токарного станка с ЧПУ. В качестве исходных данных используется вибросигнал, регистрируемый датчиком-акселерометром в процессе обработки. Временные параметры были замены на:

1. Основы применения методов нелинейной динамики для оценки устойчивости систем.

Как было сказано выше, в нелинейной динамике предложен ряд параметров, которые используются для оценки состояния динамической системы. Основными среди них являются: размерность аттрактора, энтропия,