Исследование резонансных свойств механических объектов с движущимися границами при помощи метода Канторовича-Галёркина Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.11

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ СВОЙСТВ МЕХАНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С ДВИЖУЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ ПРИ ПОМОЩИ МЕТОДА КАНТОРОВИЧА-ГАЛЁРКИНА

В. Н. Анисимов, В. Л. Литвинов

Сызранский филиал Самарского государственного технического университета,

446001, Самарская обл., Сызрань, ул. Советская, 45.

E-mails: anisimov170159amail.ru, vladlitvinovarambler.ru

Разработана обобщенная методика использования метода Канторовича в совокупности с методом Галёркина для исследования резонансных свойств механических систем с движущимися границами.

Ключевые слова: резонансные свойства, механические системы с движущимися границами, амплитуда колебаний.

В настоящее время вопросы надежности при проектировании машин и механизмов требуют все более полного учета динамических явлений, имеющих место в проектируемых объектах. Широкое распространение в технике имеют механические объекты с движущимися границами. Это канаты в грузоподъемных установках, ленты в лентопротяжных механизмах, звенья передач с гибкой связью, стержни твердого топлива при сгорании и т. д.

Точные методы решения таких задач ограничены волновым уравнением и сравнительно простыми граничными условиями [1]. Из приближенных методов наиболее эффективен метод Канторовича—Галёркина. Он использовался ранее в работе [2] для решения волнового уравнения и уравнения изгибных колебаний балки при несложных однородных граничных условиях, заданных на одной движущейся и одной неподвижной границах.

В данной работе метод распространен на более широкий класс задач, которые в случае неподвижных границ могут быть решены методом разделения переменных. Особое внимание уделено анализу получаемых решений на резонансные свойства. Произведена оценка точности метода в зависимости от скорости движения границ.

Пусть требуется получить решение дифференциального уравнения в частных производных

Utt (£,т)+ L[U (£,т )]= ф(£,т) (1)

при граничных условиях

Yji[U (lj (er ),т)] = Fji(r); i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, (2)

где L — линейный однородный дифференциальный оператор по переменной £ порядка 2m; Yji — линейные однородные дифференциальные операторы по £; ф(£,т), Fji(r) —заданные функции; e — малый параметр (обычно величина e соизмерима с v/a, v —скорость границы, а — скорость распространения колебаний).

Анисимов Валерий Николаевич — доцент кафедры общетеоретических дисциплин; к.ф.-м.н., доцент.

Литвинов Владислав Львович — преподаватель кафедры общетеоретических дисциплин.

Запись законов движения границ в виде lj (er) соответствует режиму медленного движения. Уравнение (1) и граничные условия (2)—самосопряжённые, и в случае неподвижности границ (lj (er) = const) может быть получено точное решение методом разделения переменных.

Заметим, что метод Канторовича—Галёркина позволяет учесть и начальные условия. Однако цель статьи — анализ резонансных свойств, а начальные условия не влияют на резонансные свойства линейных систем, поэтому в задаче (1), (2) начальные условия опущены.

Для того чтобы избавиться от неоднородностей в граничных условиях, вводится новая функция

и (£,т ) = V (£,т) + н (£,т ), (3)

где

2 m

н (£,т ) = ЕЕ Dkr (С^т )Fkr (т),

k=1r=1

а функция Dkr(С^т) удовлетворяют уравнению

L[Dkr (С^т )]=0 (4)

и условиям

^г^^(lj(єт),т)] Ч 0, fc = j С Г ф І, (5)

Решение задачи (4), (5) затруднений, как правило, не вызывает, и поэтому здесь она подробно не рассматривается.

Функция V(£,т) находится как решение следующей задачи:

Утт(С,т) + (С,т)] = Ш,т) - Нтт({,т),

(1з (ет),т )]=0. (6)

Для решения задачи используем метод Канторовича в совокупности с методом Галёркина. Решение задачи будем искать в виде

У(£,т) = Ё ?п(т)Хп(^’ет)’ (7)

п=1

где Хп(£,ет) —собственные функции следующей краевой задачи:

ЧХп (£,ет)] = и0п(£т )Хп (£,ет); (8)

^[Хп(^ (ет ),ет)] = 0.

Здесь Шоп(ет) —собственные частоты задачи. Оператор Ь не содержит производной по т, поэтому величина ет рассматривается как параметр.

Такой выбор координатных функций Хп обусловливает тот факт, что решение (7) является точным в случае, если границы неподвижны. При увеличении скорости движения границ точность метода будет уменьшаться.

Заметим, что функции Хп(£,ет) удовлетворяют граничным условиям (6) и играют в данном случае роль динамических, т. е. изменяющихся со временем, мод.

Разложим функции Н(£,т) в ряд Фурье:

Н(^’т) = Е фп(т)Хп(С,ет), (9)

п=1

где

12 (ет)

Фп(т) =

J Н(е,т)Хп(С,етмеж

Н(ет)

12 (ет)

I Хп(е,ет же к

к (ет)

Здесь д(£) —весовая функция.

Тогда, согласно методу Галёркина, с учётом (8), (9), функции /п(т) будут удовлетворять следующей системе:

Ь(ет)

2

'^2{/п(т )Хп (е,т ^ тт + Ш2п (ет )Хп (е,ет )/п (т ) + [фп(т )Хп (е,ет ^ тт] X Ч(ет) п=1

ь(ет)

х Хт(е,етЖСЖО = I ф(е,т)Хт(е,етЖСЖО, (10)

11 (ет)

где т € N.

Решение системы (10) затруднительно. При резонансных явлениях амплитуды всех динамических мод, за исключением резонансной, малы. Поэтому в каждом уравнении системы членами, не содержащими Хт(^,ет), в связи с их малостью пренебрегают. В этом случае система (10) становится расщепленной и уравнение для нахождения /п(т) принимает вид

Ь(ет)

J { [/п(т)+ фп(т)]Хп(е,ет) тт + Ш2п(ет)Хп(е,ет)/п(т)} х

Ь(ет )

ь(ет)

х Хп(е,ет)д(е)^ = I ф(е,т)Хп(е,етЖСЖ- (11)

11 (ет )

Введём новую функцию: цп(т) = /п(т) + фп(т), тогда уравнение (11) при-

мет вид

_2

А1п(ет)^п(т) + 2еА2п(ет)^'п(т) + е Азп(ет)/Лп(т) +

+ А1п(ет )^п (ет )^п(т) = 0п(т), (12)

і2 (єт) і2(єт )

где A1n(єт)= j Xn(С,єт)q(C)dC; єA2n(єт)= j Xn^(С,єт)Xn(С,єт)q(C)dC;

іі(єт ) іі(єт )

і2(єт )

є2Aзn(єт)= J X,n,TT(С,єт)X,n(С,єт)q(C)dC;

і2(єт )

~2 ^3n\^ I J -

іі(єт)

9п(т )= u2n (єт )A1n(єт )фп(т )+ J ф(С,т )Xn (С, єт )q(C)dC.

іі(єт)

С учётом (7), (9) решение (3) будет иметь вид

U (С,т ) = Ё Vп(т )Xn(^ ).

п=1

Данное решение показывает, что аналогично тому, как колебательные процессы для объектов с неподвижными границами выражаются суммой колебаний, соответствующих собственным функциям, так в случае движения границ появляется суперпозиция колебаний, соответствующих динамическим модам Хп^^т ).

В большинстве практических задач границы движутся в медленном режиме и параметр e мал, поэтому в дальнейшем величины порядка e2 учитываться не будут.

Для упрощения введем в уравнение (12) новую функцию

ц.п(т) = Аоп^т )уп(т), (13)

где

Аоп^т) = exp

o

2

В этом случае уравнение (12) с точностью до величин порядка е будет иметь вид

г/пОО + иІ(єт)уп(т) = 9п^ (14)

Aon (єт)A1n (єт)

Пусть внешнее воздействие на систему носит гармонический характер,

т. е.

ф(С,т) = Bo(Ocos Wo^);

Fjг(т ) = Bjг cos Wjг(т); j = І, 2; i = І, 2,...,m,

где Bo (С) —функция, характеризующая интенсивность распределённой нагрузки; Wo^), Wjг(т) —монотонно возрастающие функции; Bjг — постоянные величины.

Ограничимся рассмотрением случая, когда правую часть уравнения (14) можно представить в виде

= Мп(ет) cos W„(г), (15)

A0n(er )Ain (ет)

где Wn(r) —монотонно возрастающая функция.

Представление (15) возможно в следующих случаях: 1) все внешние возмущения равны нулю кроме какого-то одного; 2) функции Wo(t), Wji(r) отличаются на постоянную величину; 3) резонансные области внешних нагрузок не пересекаются, тогда при рассмотрении резонанса от одной нагрузки действием других можно пренебречь.

С учётом изложенного уравнение (14) примет вид

у'П(т) + иП(ет)уп(т) = Мп(ет) cos Wn(T). (16)

Решение данного уравнения при начальных условиях у(0) = 0, у'(0) = 0 записывается следующим образом [3]:

Т

Уп(т) = j Yn(T, Z)Mn(eZ) cos Wn(Z)d(, (17)

0

где

yin(T~)У2п(() - yin(z)У2и(т)

Yn(T,z) =

yin(z)y,2n(z) - y'ln(z)y2n(z) ’

а У1п1 У2п — линейно независимые решения однородного уравнения, соответствующего (16).

С помощью метода малого параметра [4] с точностью до величин порядка

2 ~ ••

е2 найдем:

У1п(т) = йп(ег)8т ■Шп(т); У2п(т) = ап(ет)с0в ■Шп(т), (18)

где функции ап(ет) и wn(т) определяются из системы уравнений

й-тп(т)

-1—=и)п(£т), йап(ет) ап(ет) д,Шп(ет)

dт 2un (ет) dт

решение которой даёт

Т

wn(r) = шп(ет)с1т; ап(ет) =

J у и

у и^ет)

0

1

Возвращаясь к решению (17), с учётом (18) получим:

т

Уп(т) = ап(єт) 8Іп -т^т) J

Мп(є() 008 ^п(С) 008 -Шп(()

—

- ап (єт) 008 №п(т) У

ап(єС )^п (с)

т

Мп(є() 008 ^п(С) 8ІП №п(С)

ап(єС )^п(с)

Разлагая произведение тригонометрических функций в сумму и учитывая замену (13), можно получить следующее выражение для полной амплитуды колебаний, соответствующих п-ной динамической моде:

А1(т) = п(єт)а2п(єт)<

т т

fFn(є() 008 Фпі(СЖ + JFn(є() 008 Фп2(СЖ

+

0

т

+

Мп(є С)

т -| 2 N

JFn(є( )8ІпФпі(С Ж + JFn (є( )8ІпФп2(С Ж >, 00

Фпі(0 = »п(О - ^п(С); Фп2(С) = ^п(С) + ^п(С).

где ^га(е() = .

апН )^п(С)

Здесь функция Fn(eZ) знакопостоянна, так как функции Мп(е() положительны, а произведение ап(е()^П(С) знакопостоянно (оно равно якобиану двух линейно независимых функций У1п и У2П)- Функции wn(Z) и ^п(£) монотонно возрастают, поэтому фаза ФП2(С) изменяется быстрее фазы свободных колебаний, которая определяется функцией wn(Z). Следовательно, участок знакопостоянства функций 8тФП2(£), оозФП2(С) меньше половины периода свободных колебаний, т. е. период возрастания соответствующих интегралов невелик. Интегралы же, содержащие втФП1(£), еозФП1(^), возрастают в течение всего периода, пока наблюдается резонансное явление, и вносят основной вклад в амплитуду. Пренебрегая членами, содержащими ФП2(С), получим следующее выражение для амплитуды колебаний:

1

Л* 00 = -А0п(єт)ап(єт)<

т

I Fn(єС) 008 Фпі(СЖ

0

+

+

Fn(єC) 8ІП Фпі((Ж

(19)

Полученное выражение удобно для анализа резонансных свойств систем с движущимися границами. В таких системах различают два вида резонансных явлений: установившийся резонанс и прохождение через резонанс.

Установившийся резонанс — это явление резкого увеличения амплитуды колебаний в случае, когда изменение частоты внешней силы и одной из собственных частот согласованы таким образом, что создаются наилучшие условия для возрастания амплитуды.

2

2

2

т

Прохождение через резонанс — это явление резкого увеличения амплитуды в течение конечного промежутка времени, когда мгновенная частота одного из собственных колебаний проходит через значение возмущающей частоты.

Заметим, что при стремлении скорости движения границ к нулю явление установившегося резонанса и явление прохождения через резонанс вырождаются в явления обычного резонанса для системы с неподвижными границами.

Из выражения (19) следует, что установившийся резонанс будет наблюдаться, если $ni(C) = Y = const.

Явление прохождения через резонанс наблюдается во временной области, содержащей точку то, где ФП^Тз) =0. В этой точке мгновенная частота п-ного собственного колебания проходит через значение возмущающей частоты. Прохождение через резонанс начинается не доходя до точки то и заканчивается за этой точкой. Если принять амплитуду в начале резонансной области (точка Ti) равной нулю, то амплитуда в конце резонансной области (точка T2) будет определяться следующим выражением:

Исследование прохождения через резонанс заключается в определении границ резонансной области т\ и 72, соответствующих максимуму выражения (20), причём т\ < то, а т2 > то.

В качестве примера рассмотрим вынужденные колебания струны с равномерно движущейся границей. Зависимость силы сопротивления движению струны примем пропорциональной её скорости. Тогда дифференциальное уравнение, описывающее колебания струны, будет иметь вид

где р — линейная плотность массы струны; Т — сила натяжения струны; Л — сила сопротивления среды, действующая на единицу длины струны при единичной скорости поперечного движения; 2(х,Ь) —поперечное смещение точки струны с координатой х в момент времени Ь.

Рассмотрим граничное условие следующего вида:

где 1о(Ь) = ^о + УоЬ — закон движения границы; ^о(шоЬ) —монотонно возрастающая функция; В, ио —постоянные величины (в случае действия гармонического возмущения ио является частотой возмущения).

Введём в задачу (21), (22) безразмерные переменные:

2

АП(т1; T2) = Е (т2)< У Fn(e( )шзФп1(С )d( +

LT1

(20)

pZtt(x, t) - TZxx(x, t) + AZt(x, t) = 0,

(21)

Z(0,t) =0; Z(l0(t),t) = B cos W0(w0t),

(22)

£ = wo —, r = uoot + Z(x,t) = Bz(£,t)

a V0

(23)

(24)

и новую функцию г(£,т) = ехр(-ат)[/(£,т), где а = а = ^-р.

Тогда после преобразований получим:

Цгт (С, Т) - % (С, т) - а2 и (С, т) = 0; и(0, т) = 0; и(1(е, т), т) = ехр(ат) 008 Ш(т).

Здесь использованы следующие обозначения:

1(е,т) = 1+ет, £ = —, И^(т) = ТУо(т + 7о), 70 = -—

а

Заметим, что величина ехр(-2па) характеризует относительное изменение амплитуды свободных колебаний за одно собственное колебание, и а в большинстве случаев является величиной того же порядка малости, что и е.

Для решения задачи используем описанную выше методику.

В результате получим следующее выражение для амплитуды колебаний, соответствующих п-ной динамической моде:

(т) = (т)

(С) 008 Ф„ (СЖ

+ / (С)8шФ„ (СЖ

(25)

где

^„(ет) =

7Г 2П2

1{ет)

а

пп

Ып{т) = ------

£

Б(ет) = у 1 —

а(1 + ет)

пп

2

!, 1 + 5(ет)

2 ехр(—2си~) _

п А1(£т)шп(£т)'

(—1)„+12пп ехр(а()

Фп(С) = МО - ^(С); Ега(С) = -

л/^„(е( )13(е()

Установившийся резонанс в рассматриваемой системе наблюдается, если

Ш (С) = (С) + 7,

где 7 — постоянная величина. Амплитуда при этом имеет вид

т

ехр(а()

Г

Лг(т) = ехр(-ат) ■

1+ еС

ис-

численное исследование этого выражения показывает, что при уменьшении длины струны (е < 0) амплитуда колебаний непрерывно возрастает. При увеличении длины (е > 0) амплитуда сначала возрастает, достигая некоторого максимального значения, а потом начинает убывать. Убывание амплитуды связано с тем, что демпфирующие силы, начиная с некоторого момента времени, начинают преобладать над возмущающими, так как длина колеблющейся части увеличивается.

Зависимость максимальной амплитуды от а и е (от номера п она не зависит) приведена в таблице.

2

2

а г

0,001 0,005 0,010 0,100 0,200

0,00 1000 201 101 10,1 5,1

0,05 51,3 27,1 20,1 5,4 3,3

0,10 31,5 17,3 13,4 4,2 2,7

Исследуем явление прохождения через резонанс, возникающее в струне под действием силы постоянной частоты, т. е. Ш(т) = т, что в исходной системе соответствует действию силы С частотой Шо.

Максимально возможная амплитуда колебаний совпадает с максимумом выражения

Г Т2

АП(т1,т2) = ЕП (т2)

Е„(() 008 Ф„(()^С

'-Ті

Г Т2

+

Е„(С) 8ІП Ф„(()^С

■-Т1

Прохождение через резонанс начинается не доходя до точки то (ті < то) и заканчивается за этой точкой (т2 > то). Сама точка то определяется по следующей формуле:

пп

То

^гт

-1

а2

В результате исследования прохождения через резонанс получена зависимость максимальной амплитуды колебаний, возникающих при прохождении через резонанс на первой динамической моде, от а и е.

Данная зависимость приведена на рисунке.

Анализ графика показывает, что амплитуда при а = 0 является оценкой сверху для амплитуды колебаний, возникающих при прохождении через резонанс, когда а > 0. Когда действие демпфирующих сил не учитывается (а = 0), задача (23), (24) может быть решена точным методом. Это сделано в работе [5]. Сравнение результатов показывает, что

метод Канторовича—Галёркина даёт в рассматриваемом случае (е < 0,1) удовлетворительные по точности результаты (погрешность лежит в пределах 5%).

Зависимость амплитуды колебаний струны от а и е при прохождении через резонанс на первой динамической моде

2

2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Весницкий А. И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с.

2. Лежнева А. А. Изгибные колебания балки переменной длины// Изв. АН СССР. МТТ, 1970. — С. 73-81.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976. — 576 с.

4. Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. — М.: Наука, 1964. — 432 с.

5. Анисимов В. Н. Исследование резонансных свойств одномерных механических систем с движущимися границами. — Куйбышев: КПтИ, 1985. — 18 с.—Деп. в ВИНИТИ 03.07.85, № 807-85.

Поступила в редакцию 15/1/2009; в окончательном варианте — 16/11/2009.

MSC: 74H45, 74K05

INVESTIGATION OF RESONANCE CHARACTERISTICS OF MECHANICAL OBJECTS WITH MOVING BORDERS BY APPLICATION OF THE KANTOROVICH-GALYORKIN METHOD

V. N. Anisimov, V. L. Litvinov

Syzran’ Branch of Samara State Technical University 45, Sovetskaya st., Syzran’, Samara region, 446001.

E-mails: anisimov170159amail.ru, [email protected]

Generalized procedure of the Kantorovich-Galyorkin method application for studying of resonance characteristics of mechanical systems with moving borders was developed,.

Key words: resonance characteristics, mechanical systems with moving borders, amplitude vibrations.

Original article submitted 15/I/2009; revision submitted 16/II/2009.

Anisimov Valeriy Nikolayevich, Ph. D. (Phys. & Math.), Ass. Prof., Dept. of general-theoretical disciplines.

Litvinov Vladislav Lvovich, Teacher, Dept. of general-theoretical disciplines.