CC BY
40
Литература
1. Ситников Д.В., Бурьян Ю.А., Русских Г.С. Автопилот мультикоптера // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. - 2012. - № 7. - С. 213-221.
2. Рубин Д.Т., Конев В.Н., Стариковский А.В., Шептунов А.А., Смирнов А. С., Толстая А.М. Разработка квадрокоптеров со специальными свойствами для проведения разведывательных операций // Спецтехника и связь. - 2012. - № 1.- С. 28-30.
3. Эпов М.И., Злыгостев И.Н. Применение беспилотных летательных аппаратов в аэрогеофизической разведке // Интерэкспо Гео-Сибирь. - 2012. - Т. 2. -№ 3.- С. 22-27.
4. Белоконь С.А., Золотухин Ю.Н., Нестеров А.А., М.Н. Филиппов. Управление квадрокоптером на основе организации движения по желаемой траектории в пространстве состояний // Труды XIII Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах». - Самара: Самарский научный центр РАН, 2011. - С. 217-222.
5. Puls T., Hein A. 3D trajectory control for quadrocopter // Intelligent Robots and System (IROS), IEEE/RSJ International Conference on, 2010. - P. 640-645.
6. Бобцов А.А., Шаветов С.В. Управление по выходу линейным параметрически неопределенным объектом в условиях возмущающих воздействий и неучтенной динамики // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2011. - № 1 (71). - С. 33-39.
7. Чеботарев С.Г., Кремлев А.С. Анализ линейных систем с переменными параметрами для синтеза интервальных наблюдателей // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2012. - № 6. - С. 50-53.
8. Бобцов А.А., Пыркин А.А. К задаче управления параметрически не определенным линейным объектом с запаздыванием в канале управления // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2011. -№ 3 (73). - С. 138.
9. Андреев В.Л., Иванов Р.В., Козлов Е.Б., Потупчик С.Г., Соколов П.В. Системы управления малоразмерными дистанционно пилотируемыми самолетами // Изв. вузов. Приборостроение. - 2011. - Т. 54. - № 8. - С. 48-57.
10. Литвинов Ю.В., Бушуев А.Б., Гриценко П.А., Шмигельский Г.М. Полет квадрокоптера по произвольно задаваемой траектории // Материалы IX международной научно-практической конференции «Современные научные достижения-2013». - Технические науки: Прага. Издательский дом «Образование и наука» ООО. - 2013. - Часть 77. - 96 с.
11. Бланшет Ж., Саммерфилд М. QT4 программирование GUI на С++. - 2-е изд. - ООО КУДИЦ-Образ, 2008. - 738 с.
Гриценко Полина Андреевна - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, студент, [email protected]
Кремлев Артем Сергеевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, [email protected]
Шмигельский Григорий Михайлович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, студент, [email protected]
УДК 62.50: 681.50.1
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ С КРАТНЫМИ КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫМИ СОБСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ ИХ МАТРИЦ СОСТОЯНИЯ Т.А. Акунов, Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, А.В. Ушаков
Рассматривается устойчивая непрерывная система, матрица состояния которой обладает спектром кратных комплексно-сопряженных собственных чисел, кратность которых равна размерности ее вектора состояния. Особое внимание обращается на ситуацию, когда модуль вещественной части собственного числа меньше единицы. Устанавливается, что в этой ситуации уже при малой колебательности собственных чисел появляется заметный выброс в процессах по норме свободного движения по вектору состояния и величина выброса тем больше, чем меньше по модулю вещественная составляющая собственного числа и чем больше его кратность и мнимая часть. Ключевые слова: комплексно-сопряженные собственные числа, кратность, свободное движение, норма, выброс.
Введение. Постановка задачи
Ставится задача исследования свободного движения устойчивой линейной непрерывной многомерной динамической системы по норме вектора состояния с целью изучения влияния на это поведение кратности собственных чисел ее матрицы состояния и значения их модуля. В работе поставленная задача
решается для случая комплексно-сопряженных кратных собственных чисел. Более того, предполагается, что кратность собственного числа равна размерности вектора состояния. Как будет показано, приходится констатировать системное явление, состоящее в том, что в устойчивой системе при кратности собственных чисел, большей единицы, и значениях модуля вещественной части собственных чисел, меньших единицы, возникает возможность появления заметных выбросов нормы вектора состояния в свободном движении уже при малой колебательности. Обнаруживается, что величина выброса растет с уменьшением модуля вещественной части собственных чисел, с увеличением их кратности и модуля мнимой. Настоящей работа является продолжением работы [1].
Конструирование канонического «квазижорданова» представления матрицы состояния непрерывной системы с кратными комплексно-сопряженными собственными числами
Рассмотрим линейную гурвицеву непрерывную многомерную динамическую систему, задаваемую [1, 2] в векторно-матричной форме
x (t) = Fx(t), x(t )| t=0 = x(0), (1)
где x (0), x (t) - вектора соответственно начального и текущего состояний системы; F - ее матрица состояния; x (0), x (t) е Rn; F e Rnxn. Матрица F системы (1), заданная в произвольном базисе, такова, что ее алгебраический спектр о {F} собственных чисел удовлетворяет условию
°{F} = {= arg [del (XI - F) = 0] : X2,.= a + jß; i = W2}. (2)
Из (2) следует, что матрица F имеет единственную пару комплексно-сопряженных собственных чисел кратности ц = п/2, где n = dim (x). Дополним (2) условием, накладываемым на геометрический спектр собственных подпространств в виде значения дефекта характеристической матрицы [2] матрицы F , записываемым в форме def (XI - F) = 2 . Тогда каноническая форма матрицы, построенная на спектре
о {F} собственных чисел матрицы F , будет представлять собой (п х п) -«квазижорданову» клетку
J (a,ß). При конструировании «квазижордановой» клетки J (a,ß) потребуем выполнения условия
liin J (a,ß)} = J (a). (3)
Для конструирования «квазижордановой» клетки J (a,ß) воспользуемся структурным представлением системы
x (t) = J (a)x (^ x (OL = x (^ (4)
которое приведено на рис. 1.
a
< ч/
1 s
a £
- (()
a £
4 (t
a £
3 (t)
a £
a £
Рис. 1. Структурная реализация системы (4) Нетрудно видеть, что условиям (2) и (3) будет удовлетворять система
X() = I(а,р)х(),х(/)|( о = х(0), (5)
структурное представление которой получается из структурной схемы рис. 1, в котором пары интеграторов, примыкающих друг к другу, охвачены обратной связью с коэффициентом передачи « -в2» так, что получается схема, приведенная на рис. 2.
a £
a
-ß2
- (()
a £
a £
-ß2 t-
3 (t)
a
1
~ it
Г 1 Х2 (
s
a £
ЫЦ
-ß2 t-
(t) —>
Рис. 2. Структурная реализация системы (5) Если учесть, что на непосредственном входе / -го интегратора наблюдается переменная х (/), то
со структурной реализации рис. 2 системы (5) может быть «списана» матрица I (а,в), которая получает представление
2
п
4
J (а,в) =
" a 10 0 ... 0 0"
-в2 a 10 ... 0 0
0 0 a 1 .0 0
0 0 -в2 a .0 0
0 0 0 0 .a 1
0 0 0 0 ... -в2 a
(6)
Нетрудно видеть, что «квазижордановая» матрица .1 (а,в) вида (6) допускает аддитивную декомпозицию в виде
J (а,в ) = diag { = а; i = 1, n) +
" 0 1 0 0 .. 0 0"
-в2 0 1 0 .. 0 0
0 0 0 1 .. 0 0
0 0 -в2 0 .. 0 0
0 0 0 0 .. 0 1
0 0 0 0 .. -в2 0_
= а1 + J(0, в ).
(7)
Исследование свободного движения непрерывной многомерной системы для случая кратных комплексно-сопряженных собственных чисел ее матрицы состояния
Поставим задачу исследования свободного движения системы (5) по вектору ее состояния в ска-ляризованной форме. Решение системы (5) x (t) = x (t, x (0)) c использованием представления (7) приобретает [1-4] вид
X(t) = X(t, X(0)) = exp {j (а,в)t)x (0) = еа exp{J (0,в) t) X (0). (8)
Скаляризацию векторного процесса (8) осуществим на основе использования согласованных [2] векторных и матричных норм, в результате чего получим цепочку соотношений
||x (t )|| = I exp {J (0,в) t) x (0) = I |exp {J (0,в) t) x (0) < | |exp {J (0, в) t)|| • | |x (0). (9)
Заметим, что в отличие от случая вещественных кратных собственных значений, рассмотренного в [1], для которого матричная экспонента exp {J (0)t) имеет прозрачную алгоритмическую основу для
формирования ее представления, матричная экспонента exp {J (0,в) t) таким свойством не обладает. В связи с этим в дальнейшем матричную экспоненту exp {J (0,в) t) вычислим для достаточно репрезентативной системной ситуации, характеризующейся n = 6. ц = n¡2=3. В итоге получим цепочку равенств на основе вычисления обратного преобразования Лапласа от резолвенты
exp {J (0,в )t) = l1 {(i - J (0,в ))) =
[cos et, - в sin et ,0,0,0,0f ,[в-1 sin et ,coset ,0,0,0,0f ,[(2в)-^ sin et ,(2e)-1(sin et+et cos в0, cos вt, - в sin вt ,0,0]T ,[(2в3)-1^ш вt - вt cos в0,(2в)-11 sin вt, в-^ш вt ,cos вt ,0,0]T, [(8 в3)-^ (sinвt-вtcos вt),(8 в3)-1((1+(вО2) sinвt-вtcos в0,(2в)-^sinвt, (2 в)-1^^+вtcos в0,cos вt,-вsinвt]T,[(8в5)-1((3-(вО2) sinвt-3вtcos вt), (8 в3)-^(sinвt-вtcos в0, (2в3)-1^швt-вtcos в0,(2в)-^sinвt, в-^твt,cos вt]T
= row
(10)
Из (10) видно, что столбцовая норма ||ехр.(0,в)/|| , определяемая последним столбцом матричной экспоненты ехр {I (0, в)/|, ее строчная норма ||ехр . (0, в)/||| , определяемая первой строкой экспоненты, и оценка спектральной нормы ||ехр {I (0) , задаваемая [5] мажорирующим неравенством
||ехр{(0,вМ||2 -{{хр{.I(0,вехр(0,вМ[|2, совпадают и вычисляются как норма вектора
v(a,ß,t) =
(3-(ßf)2 )sin ß-3ßt COS ß t (sin ßf .ßfcos ßf) sjn ßt
8p5
8 ß3
-ßt cos ßf t sin ßt sin ßf 2ß3 ' 2ß ' ß '
cos ßt
(11)
Следует заметить, что требование (3) к «квазижордановой» форме .1 (а,в) канонического вещест-
веннозначного представления матрицы состояния с кратными комплексно-сопряженными собственными числами выполняется и для нормы матричной экспоненты в форме нормы вектора (11). Действительно, при в ^ 0 с использованием «замечательного предела» lim (sin в/в) = 1 и правила Лопиталя [6] доказы-
ваются следующие предельные сходимости:
1. lim(cos(ßt)) = 1;
2. limfisin(ßt)] = tlimf^
ß-0 ^ ß ') ß^0 ^ ßt
3. limÜ-tsin(ßt) 1= — limf^
ß^0 ^ 2ß ) 2 ß^0 ^ ßt
= t;
4 ЙI ^(sin(t)-ßtcos(ßt)))= ^lim
ß^01 2ß
= 1 tcos (ßt)-tcos (ßt) + ßt2 sin (ßt) = t3 f sin (ßt)
3ß2
= — lim
6
ßt
31'
5. limmfiß-(и-ßtcos (ßt))]=8&
t. t cos (ßt)-1 cos (ßt)+ ßt2 sin (ßt) = t4 . f sin (ßt)] t4
3ß2
-=—lim
24
ßt
4!
6.
t
ß^>1 8ß
— ((3-ß2t2)sin (ßt)-3ßtcos (ßt)) I = - W ß4
= t2 limßsin (ßt)-ß2tcos (ßt) =
40 pm ß4 =
t2 , sin (ßt)- ßt cos (ßt) + ß2t2 sin (ßt)= t4 , 3sin (ßt)+ßt cos (ßt) = /
lim
160 ß^0
3 lim-
ß3 480 ß^> ß 5!
Таким образом, оказываются справедливыми предельные
НН (J ( ß)) i=I lexp (J (0) ), НЬр (J а ß)) i=llexp (J (a) )IL •
В работе [1] показано, что для случая вещественных кратных собственных чисел матрицы J (а) гурвицевой системы такой, что X = а = arg {а < 0 v|a| < lj кратности ц, в сходящихся траекториях свободного движения по норме вектора состояния обнаруживаются выбросы, величина которых тем больше, чем больше кратность ц и меньше модуль |а| < 1. Ниже ставятся и решаются две задачи. Первая задача состоит в оценке влияния значения ß мнимой части собственного кратного комплексного числа X = а + jß при сохранении условия а = arg {а < 0 v а < 1 j на величину выбросов в траекториях системы (5) по норме вектора x (t) = x (t, x (0) ) . Вторая - в оценке возможности появления выбросов в траекториях системы (5) по норме вектора x (t) = x (t, x (0)) при условии а = arg {а < 0 > lj и влияния значения ß мнимой части собственного кратного комплексного числа X = а + jß на величину этих выбросов.
Результаты решения первой задачи в форме x (t, x (
переходы
IIх (0) 1=1
вычисленной в силу соотношения
(9), на примере системной ситуации, характеризующейся значениями п = 6. ц = п/2=3, Х = а + jß : а = -0,2 и ß - var, сведены в табл. 1.
Вторую задачу, состоящую в оценке возможности появления выбросов в траекториях системы (5) по норме вектора x (t) = x (t, x (0) ) при условии а = arg {а < 0 v^|> lj и влияния значения ß мнимой
части на величину выбросов, начнем с графической иллюстрации известных [7] рекомендаций по секторному ограничению локализации комплексно-сопряженных собственных чисел матрицы состояния ячейки системы (5), представленной на рис. 2 в виде двух последовательно соединенных интеграторов, охваченной отрицательной обратной связью с коэффициентом « -ß2», гарантирующей отсутствие перерегулирования в переходных процессах. Эта иллюстрация приведена на рис. 3.
X = a + jP; n =6; ц = 3
a a = -0,2
в 0,01 0,1 0,25 0,5 1 1,25 1,375
maxl |x (t, X (0))) t II v V /;ll|||x(0|=1 150 110 42 10,6 3,9 9,2 16,8
tm = argmax x (t, x (0))| 20 17 10,5 7 7,5 9,2 9,25
в 1,5 1,75 2 3 3,5 5 10
maxl |x (t, x (0)Ц t И v V //ll||x(0H=1 30 86 220 3700 11000 13104 17106
tm = argmax x(t,x(0))jj 9,3 9,35 9,4 9,56 9,6 9,72 9,93
Таблица 1. Значения выбросов max (||x (t)) = ||x (tM )) кривой ||x (t)||
x(0)=1
exp(at)x(Q)
Рис. 3. Графическая иллюстрация свободных движений, порождаемых вещественным а и мнимым в компонентами собственного числа X = а + ув
Свяжем траектории, порождаемые вещественной частью а и мнимой частью р , соотношением = У Т/2 = у я/в = 3/а . Тогда при р < у (я/3)а будут отсутствовать перерегулирования, если у удовлетворяет условию у < 0,25, в противном случае перерегулирование, а, следовательно, и выброс в кривой
процессов по норме вектора свободного движения будет иметь место. Выделенная i-я (i = 1, п/ 2) двумерная ячейка задается моделью
Xi (t) = [4_1 (t), 502, (t)7 = col {[a ,1], [-P2, a] }[^_i (t), ^ (t)J , x, (0) = [^- (0), ^ (0)J . Движение в ячейке описывается выражением
X,(t) = exp(at)col{[[cos(pt),(1/p)sin(et)],[(-p)sin(pt),cos(pt)]}x,(0), для которого по норме ||x,(t)||
при ||x, (0) = 1 оказывается справедливым покрытие roof {||X, (t))} = exp (atcol {[1, (1/P)],[(-P),1 ]} .
Одновременно при p > |y (я/3)a| оказывается справедливым непрерывное мажорирующее покрытие процессов, задаваемых нормой вектора (11), использующего, как и выше, замены cos(pt) на 1, sin(pt) на 1, так что это покрытие может быть задано в виде нормы вектора
г(3-(Р02)-3Рt "I t (1 - pt) ( i-pt 11 J_ , " , 2p3 j,12p^
'(a ,P ,t ) =
8P5
IP3
Исследование нормы вектора v (a ,p ,t) как функции времени обнаруживает доминирование в ее значении первого члена этого вектора. Это позволяет построить аналитическое представление покрытия (roof) процесса ||exp {J (0, р )t}|| в форме эвклидовой нормы вектора
v (a, Р, t )= ((3 - (pt )2) - 3pt )у/(8р5), 0,0,0,0,0
которое принимает вид
г 2 1 1/2
roof {||exp {.I(0, ß)t| ||| = | ^ ((3 - (ßt)2) - 3ßt)/(Sß5 ) j . Последнее выражение делает справедливым представление покрытия процесса ||exp {J (а, ß )t| ||
форме
roo
exp {J (а, ß) t| || = eat j [ ((3 - (ßt)2) - 3ßt)/(8ß5 )
1/2
(12)
Форма (12) не содержит разрывно дифференцируемых функций типа модульных в случае использования абсолютной векторной нормы, что позволяет применять ее для исследования на экстремумы нормы матричной экспоненты ехр (а,в) '| = еа' ехр (0,в) '|. Действительно, вычисление
= argmax{exp{.I(a,ß) t||| из условия d{roof {(||exp{J(а,ß)t|||)|| = 0 порождает алгебраическое
tM =
уравнение для вычисления tM :
t4 + 6a+2ß t3 + 3a + 9ß t2 + 3ß-18at + 9(a-ß) _ 0 M aß M aß2 M aß3 M aß4 0. Результаты вычислений tM с помощью (13) приведены в табл. 2.
(13)
ß
a 2 3 5 10 20
-0,2 9,4 9,56 9,72 9,86 9,93
-2 0,913 0,88 0,9 0,938
-S 0,236 0,22
tM
Таблица 2. Значения моментов tM выброса в кривой ||x(t)||
Компьютерное исследование свободного движения непрерывной системы при кратных комплексно-сопряженных числах ее матрицы состояния
Компьютерное исследование процессов по норме ||x (t)|| как функции собственного кратного комплексно-сопряженного числа X _ a + jß проводилось на примере системы (5), характеризующейся размерностью п _ 6 и кратностью X _ a + jß, равной ц _ п/2 =3, в модельной среде пакета MATLAB с целью визуализации полученных в предыдущем разделе работы результатов. Визуализировались результаты для трех системных ситуаций.
Первая системная ситуация состоит в оценке влияния значения ß мнимой части собственного
кратного комплексного числа X_a + jß при сохранении условия a_ arg{a < 0 v|a|< l| на величину выбросов в траекториях системы (5) по норме вектора x (t) _ x (t, x (0)). Результаты визуализации этой ситуации для a _ -0,2 при ß _ 0,01 (рис. 4, а), ß _ 1 (рис. 4, б), ß _ 2 (рис. 4, в), ß _ 5 (рис. 4, г) приведены на рис. 4. Приведенные кривые полностью соответствуют данным табл. 1 и характеризуются резким ростом величины выбросов с ростом значения мнимой части ß в области ß >1.
Вторая системная ситуация состоит в оценке возможности появления выбросов в траекториях системы (5) по норме вектора x (t)_ x (t, x (0)) при условии a_ arg {a < 0 v|a|> 1| и влияния значения ß мнимой части собственного кратного комплексного числа X _a + jß на величину и характер этих выбросов. Исследование этой системной ситуации авторы сочли целесообразным начать с рассмотрения тех же проблем для i-й (i _ 1, п/2) двумерной ячейки с вектором состояния xi (t) _ [x2i-1 (t), x2i (t)] . Результаты визуализации этой ситуации для a _ -S при ß _ 1 (рис. 5, а), ß _ 5 (рис. 5, б), ß _ 20 (рис. 5, в), ß _ 50 (рис. 5, г) приведены на рис. 5.
Слабая демпфированность комплексно-сопряженных собственных чисел уже проявляется выбросами в траекториях свободного движения по норме вектора состояния двумерной ячейки. Следует ожидать, что в случае кратных комплексно-сопряженных собственных чисел этот эффект многократно усилится,
несмотря на выполнение условия а= arg {а < 0 v^|> lj . Результаты визуализации этой ситуации для а = -8 при ß = l (рис. 6, а), ß = 3 (рис. 6, б), ß = 20 (рис. 6, в), ß = 50 (рис. 6, г) приведены на рис. 6.
Приведенные кривые при сходимости их к нулю с течением времени, обнаруживают наличие заметных выбросов, величина которых растет по мере роста значения мнимой части ß .
0 5 l0 l5 20 25 t, с
II x (t)||
200
l50 l00
50
0 5 l0 l5 20 25 t, с
0 5 l0 l5 20 25 t, с б
xl0
II x (t )||
l0
5
Рис. 4. Кривые ||x(t, x(0) )) ) ) ( ^ и их
roof\\x(t)\\-
II x (t )||
0 5 l0 l5 20 25 t, с
г
покрытий при а = arg {а < 0 < lj и ß = 0,01 (а); 1 (б); 2 (в); 5 (г)
roof\ |x (t)||;
l|x (t)||
0 0,2 0,4 0,6 0,8 t, с
4 3 2
l
0 0,2 0,4 0,6 0,8 t, с
roofl |x (0||;
l|x (t )||
l5 l0 5
roofl |x (t)\\;
llx«ll 40
30 20 l0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 t, с
0 0,2 0,4 0,6 0,8 t, с
Рис. 5. Кривые xj (t, x,
IM») h
и их покрытий при а = arg {а < 0 > lj , ß = 1 (а); 5 (б); 20 (в); 50 (г)
а
в
б
а
в
г
0,8
0,6 0,4 0,2
х 10
l|x (t )||
2
1,5 1
0,5 0
0
х108
II x (t )|| 10
5
0,5 1 б
1,5 t, с
0,5
1,5
t, с
Рис. 6. Кривые llx (t, x
l|x (0)|_
и их покрытий при a _ arg{a < 0 v|a| > и ß = 1 (а); 3 (б); 20 (в); 50 (г)
Заключение
Кратность собственных комплексно-сопряженных чисел X _a + jß матриц состояния устойчивых непрерывных систем, как и в случае апериодических систем при вещественной части, удовлетворяющей условию a_ arg{a < 0 v|a|< 1|, наделяет динамические процессы заметными выбросами траекторий
свободного движения при их сходимости к нулю с течением времени. Обнаруживается при этом, что слабая демпфированность мод системы, порождаемая ростом значения мнимой части ß , является дополнительным фактором увеличения выбросов траекторий свободного движения даже при выполнении условия a _ arg {a < 0 v|a| > 1|. С тем, чтобы не допустить обнаруженного эффекта кратности собственных
чисел при синтезе методами модального управления [4], матрицу состояния системы следует наделить спектром собственных чисел, удовлетворяющим сильному секторному ограничению.
Работа подготовлена при поддержке проекта 14.B37.21.0875 «Разработка систем интервального наблюдения для нестационарных систем с переменными параметрами применительно к мехатронным и робототехническим комплексам».
Литература
1. Акунов Т.А., Дударенко Н.А., Полинова Н.А., Ушаков А.В. Исследование колебательности процессов в апериодических непрерывных системах, порождаемой фактором кратности собственных чисел // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2013. - № 3 (85). -С. 55-61.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1973. - 575 с.
3. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. - М.: Наука, 1976. - 424 с.
4. Дударенко Н.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Математические основы современной теории управления: аппарат метода пространства состояний: Учебное пособие / Под ред. А.В. Ушакова - СПб: СПбГУ ИТМО, 2008. - 323 с.
5. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1999. - 548 с.
6. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. - М.: Сов. Энциклопедия, 1988. - 847 с.
7. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - СПб: Изд-во «Профессия», 2003. - 752 с.
а
6
1
0
в
г
Акунов Таалайбек Абакирович Дударенко Наталия Александровна Полинова Нина Алекандровна Ушаков Анатолий Владимирович
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, докторант, [email protected]
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, [email protected]
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, студент, [email protected]
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, [email protected]
