Исследование процессов формирования поля давления акустических излучателей с помощью аппарата передаточных функций Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396

Б.А. Сальников, Е.Н. Сальникова

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ ДАВЛЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ АППАРАТА ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Одной из актуальных задач как в биомедицинском приборостроении, в которм в качестве зондирующего излучения используется ультразвук, так и в гидроакустике, является задача формирования заданных угловых распределений поля давления на фиксированных расстояниях от излучающей поверхности. Такая задача сводится к определению функции возбуждения нормальной составляющей колебательной скорости на излучающей поверхности в зависимости от заданного углового распределения поля давления. Эта задача является некорректной задачей математической физики и сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. Основные методы решения таких задач основаны на применении регуляризации по Тихонову [1,2] и по своей сути являются вариационными, а эффективность их применения в основном зависит от оптимальности выбора вычислительного алгоритма и мощности применяемых программно-аппаратных средств.

Предложенный в данной статье метод основан на формализме линейной теории фильтров. Процесс формирования поля давления на криволинейной излучающей поверхности, совпадающей с поверхностью постоянной координаты в координатных системах, в которых уравнение Гельмгольца допускает разделение переменных, в ближней и дальней зонах моделируется как воздействие нормальной составляющей функции возбуждения колебательной скорости на «чёрный ящик», представляющей собой систему: «излучающая поверхность - среда распространения ультразвуковых колебаний». Сравнительный анализ аналитических выражений для модуля передаточной функции такой системы на излучающей поверхности в ближней и дальней зонах позволяет исследовать основные закономерности процессов трансформации гармоник Фурье функции возбуждения колебательной скорости с излучающей поверхности в гармоники Фурье поля давления в зависимости от волновых размеров излучателя и количества суммируемых гармоник в конечном аналитическом выражении для функции углового распределения реализованного поля давления.

Известно [3], что структура конечных выражений решения уравнения Гельмгольца, найденного методом разложения в ряд по собственным функциям для акустических излучателей с криволинейной замкнутой аналитической поверхностью, идентичны, а связь между гармониками Фурье поля давления и гармониками нормальной составляющей функции возбуждения колебательной скорости на излучающей поверхности определяется соотношением

Aj = aj -Sj (kr) / S'(ka), (1)

где Aj - гармоники Фурье поля давления, Sj (kr) - собственные функции уравнения

Гельмгольца, записанного в соответствующей криволинейной системе координат, S' (ka) - производная по аргументу собственной функции уравнения Гельмгольца на излучающей поверхности, ka - волновой радиус для кругового цилиндра и сферы. Во избежание путаницы в обозначениях, здесь и далее там, где идет речь об обобщенных выражениях, применимых для излучателей любой конфигурации, суммирование ведется по индексу j, а при рассмотрении цилиндрических излучателей по индексу n и сферических - по индексу m.

Действительно, поле давления цилиндрического излучателя в азимутальной плоскости при гармонической зависимости от времени ехр(-ю1) может быть представлено в виде

р(г,ф)=ірс £ а" (кг)ехр(іпФ),

п=-ш н( (ка)

(2)

где і= V-!, рс - импеданс среды распространения ультразвуковых колебаний,

НП. (кг), Н^> (ка) - цилиндрические функции Ханкеля 1-го рода и их производные

по аргументу, ап- заданные коэффициенты гармоник функции возбуждения колебательной скорости поверхности излучателя волнового радиуса ка, а поле давления зонального сферического излучателя в виде

р(г, 0) = ірс £

ат • Ьт(кг)

Рщ (СОБ 0) ,

(3)

(4)

т=0 ИЩ1 (ка)

где ЬЩЧкг) ,Ьтт) (ка) - сферические функции Ханкеля 1-го рода и их производные по аргументу, Рт (соб0) - полиномы Лежандра, ат - заданные коэффициенты гармоник функции возбуждения колебательной скорости поверхности излучателя волнового радиуса ка.

Представим гармоники Фурье поля давления (1) в виде А.| = в^кг,ка) • aJ,

где С ^ (кг, ка) - комплексная передаточная функция системы «излучающая поверхность - среда распространения ультразвуковых колебаний»

GJ (кг, ка) = GJ (ка, кг) • ехр[і • gJ (ка, кг)], (5)

где амплитудная С^ (ка, кг) и фазовая £ ■ (ка, кг) характеристики передаточной

функции (5) определятся соответственно

Gj (ка, кг) = |н J (кг) • |»' (ка)| 1,

gJ (ка, кг) = а^[Н J (кг)] - а^[Н' (ка)] + п /2, (7)

Модуль передаточной функции на поверхности цилиндрического излучателя, в ближней (на расстоянии одной длины волны от излучающей поверхности) и в дальней зонах определится, соответственно, в виде

(6)

Gnов (ка) = |нП1)(ка)|

НП1) (ка)

(-1)

G Пл (ка + 2п) = |нП1)(ка + 2п)|>

GДал (ка) =

НП1) (ка)

НП1) (ка)

(-1)

(-1)

а для сферического излучателя в виде

G Щов (ка) = |ьЩ1) (ка) •

ЬЩ? (ка)

(8)

(9)

(10)

(11)

в т (ка + 2п) = ^ (ка + 2л)| •

О тал (ка) =

^ (ка)

(-1)

(-1)

В новых обозначениях поле давления цилиндрического излучателя, включая излучающую поверхность, определится как

да

Р(г, ф) = рс £ вп (ка, кг) • ехр^ (ка, кг)] • ап • ехр(шф),

п=-да

а сферического в виде

да

Р(г, 0) = рс £ вт (ка, кг) • ехр[1§т (ка, кг)] • ат • Рт(соБ 0),

т=0

(12)

(13)

(14)

(15)

На рис. 1 в логарифмическом масштабе приведены нормированные зависимости изменения модуля передаточной функции при увеличении номера гармоник для различных волновых размеров сферического излучателя. По оси ординат на рис. 1 отложены значения для излучающей поверхности: 20^[0тпсв(ка)/0опов(ка)]; для ближней зоны (на расстоянии

одной длины волны от излучающей поверхности): 20^[0т (ка+2п)/О0 (ка+2п)] и для дальней зоны: 20^[Отдал(ка)/О0дал(ка)].

Непосредственное исследование амплитудной характеристики передаточной функции показывает, что процесс трансформации гармоник функции возбуждения с излучающей поверхности в гармоники поля давления аналогичен прохождению сигнала через низкочастотный фильтр, причём «частота среза» - количество гармоник функции возбуждения без подавления, трансформирующихся в гармоники поля давления, определяются лишь волновыми размерами сферического излучателя. Аналогичные результаты были получены для цилиндрических излучателей в [4].

Для решения обратной задачи формирования на расстоянии г=г0 заданного нормированного углового распределения поля давления, гармоники Фурье функции возбуждения должны быть равны гармоникам Фурье этого распределения, помноженным на фазовую характеристику передаточной функции (7) с обратным знаком, для нейтрализации дифракционных эффектов на непрозрачной излучающей поверхности. Угловое нормированное распределение реализуемого поля давления на расстоянии і=і0 определится выражением

Рм (0) = а-1 Е^Оч,)! • |е (ка)-1 • Вт • Рт(со8 0)

(16)

где а-1 - нормирующая положительная константа, Вт - точные гармоники Фурье заданного поля давления на расстоянии г=г0. Среднеквадратичная погрешность решения задачи синтеза определится в виде

(17)

§е= ||Р(0) - Рм(0)|| + | |рм (0) - БМ (0)||

где первое слагаемое - погрешность замены бесконечного ряда полиномом конечной степени М, а второе - погрешность замены точных гармоник Фурье заданного поля давления Вт на реализуемые Вт*

вт =аЛт)

(кі0)|

• В„

(18)

константа а, как и в [4], определяется из минимизации 2-го слагаемого (18).

Рис. 1. Динамика изменения модуля передаточной функции с ростом номера гармоник т для волновых радиусов излучающей сферы ка=10 и ка=15; а -излучающая поверхность; б - ближняя зона; в - дальняя зона

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. -286 с.

2. Жуков В.Б. Расчет гидроакустических антенн по диаграмме направленности. - Л.: Судостроение, 1977. - 184 с.

3. КлещевА.А., КлюкинИ.И. Основы гидроакустики. - Л.: Судостроение, 1987. - 224 с.

4. Сальников Б.А., Сальникова Е.Н. Использование аппарата передаточных функций для исследования процессов формирования звуковых полей непрозрачными антеннами // Сб. тр. XX сессии РАО / Распространение и дифракция волн. - М: ГЕОС, - 2008.

УДК 534.143, 536.242

И.В. Тимошенко

К ВОПРОСУ О МОДЕЛИРОВАНИИ ВОЗДЕЙСТВИЯ УЛЬТРАЗВУКА НА ПРОЦЕСЫ ТЕПЛОМАССООБМЕНА

Использование ультразвука в терапевтических целях является перспективной и интенсивно развивающейся областью современной медицины. Одним из механизмов воздействия ультразвука на биологическую ткань является интенсификация массообменных процессов через перепонки. Благодаря этому усиливается обмен веществ, повышаются регенераторные и регуляторные функции тканей. Кроме того, ультразвук может действовать как физический катализатор, ускоряя процессы (например, обмен веществ путём диффузии), которые в нормальных условиях протекают медленно [1]. Ещё одним фактором воздействия ультразвука является его существенное влияние на теплообменные процессы в биологических тканях [1]. Экспериментальное исследование механизмов этих явлений представляет интерес для использования полученных результатов при разработке новых методов лечения и диагностики. В силу того, что подобные явления носят, как правило,