Исследование процесса изменения числа заявок в нестационарной немарковской бесконечнолинейной системе массового обслуживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.А. Назаров

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛА ЗАЯВОК В НЕСТАЦИОНАРНОЙ НЕМАРКОВСКОЙ БЕСКОНЕЧНОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Для процесса изменения числа заявок в нестационарной немарковской бесконечнолинейной системе массового обслуживания найдены его математическое ожидание и ковариационная функция, показано, что при возрастании загрузки системы последовательность таких процессов сходится к гауссовскому.

В работе [1] в качестве математических моделей страховых компаний, кредитно-депозитных организаций, Пенсионного фонда и многих других экономических и социальноэкономических систем предлагается рассматривать бесконечнолинейные системы массового обслуживания (СМО). Например, количество возможных договоров между клиентами и кредитно-депозитной организацией практически неограниченно. Сроки, на которые заключаются договоры, имеют весьма широкий спектр продолжительностей, поэтому достаточно адекватно могут моделироваться некоторой случайной величиной с заданной функцией распределения В(х) их значений. Поток клиентов, обращающихся в кредитно-депозитную организацию, имеет явно стохастический характер и, как показывает статистические исследования реальных данных, его можно моделировать потоками Пуассона с заданной интенсивностью Х(Г).

Таким образом, математической моделью многих экономических систем может служить бесконечнолинейная СМО, на вход которой поступает пуассоновский поток интенсивности Х(Г). Обслуживание каждым прибором рекуррентное с одинаковой для всех приборов функцией распределения В(х) времени обслуживания.

СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ЗАЯВОК В СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

В работе [1] показано, что распределение Р(/, Г) вероятностей того, что в момент t в системе обслуживается / заявок, имеет вид пуассоновского распределения

Р(/, t) =2-^е-'Р'М, (1)

/!

где функция ф^) определяется следующим образом

ад

ф(0 = |^-х)[1 -В(х)]Сх . (2)

0

Известно, что

м ) = ф^), (3)

М12Ц) = ф2« +ф(0. (4)

То есть среднее число М ) и дисперсия этого числа Б ) имеют вид

ад

М/(0 = Б /(0 = ф(0 = |Х^-х)[1-В(х)]Сх. (5)

0

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ЧИСЛА ЗАЯВОК В СИСТЕМЕ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Не менее важной характеристикой случайного процесса является его корреляционная функция

Щ, t+т) = М{/■(t)/^+т)}, (6)

которая совместно с функцией математического ожи-

дания достаточно хорошо, а для гауссовских - полностью определяют случайный процесс.

Найдем функцию , t+т) для рассматриваемой СМО в случае детерминированного обслуживания продолжительности Ь, т.е., когда

ч (0, если х <Ь,

В( х) = </ ,

(1, если х > Ь.

в этом случае функция ф^) имеет вид

Ь t

ф(0 = |^-х)Сх = | Х(,$)С,5 = Л(t-Ь, ^ . (7)

0 1-Ь

Отметим, что эта величина совпадает со средним значением числа заявок входящего потока, поступивших на интервале ^ - Ь, t). Заметим, что при т> Ь значения /'(0 и /^ + т) рассматриваемого случайного процесса стохастически независимы, поэтому Я (^ t + т) = M{/(t) +т)} = M) M+т) =

= ф(0 ф(t + т) = Л(t-Ь, t) Л^-Ь +т, t+т) . (8)

Поэтому рассмотрим т<Ь и определим два случайных процесса, обозначив п^, t+т) - число заявок входящего потока, поступивших в систему на интервале ^, t + т), т^, t+т) - число заявок, завершивших обслуживание в течение интервала времени (^ t + т).

Очевидно имеет место равенство

+т) = /'(0 + п(t, t+т) - т(t, t+т), следовательно

Я(t, t+т) = М{/^) [/(t) + п(^ t+т) - m(t, t+т)] } =

= М/2(t) + М{ п^, t + т)}-М{т($, t+т)}, (9) где /'(0 имеет пуассоновское распределение с параметрами ф^) = Л(t -Ь, ^ , поэтому первое слагаемое в (9) определяется равенством (4).

Вид второго слагаемого найти нетрудно, учитывая то, что, в силу свойства отсутствия последействия для пуассоновского потока, величины ) и п^, t+т) стохастически независимы, поэтому

М{/'(0n(t, t + т)} = Мг^)Мn(t, t+т) = ф(0Л(t, t+т) = Л^-Ь, t)Л(t, t+т). (10)

Для нахождения третьего слагаемого в (9) поступим следующим образом.

Отметим, что для рассматриваемой СМО имеет место следующее равенство:

т^, t+т) = п^-Ь, t-Ь +т),

поэтому

М{/'(0 m(t, t+т)} = М{/'(^ п(t-Ь, t-Ь +т)} =

= М{ОДМ[п^-Ь, t-Ь +т)| /'(0]} .

Здесь в силу равенства случайных событий (со: i(t) = ¿} = {ю: n(t-b,t) = i}

можно записать

= M((t-b, t-b +t)| i(t)} =

= M{ n(t-b, t-b +t)| n(t-b,t) = i(t)} = A(t-b, t-b +t)

i(t )-

Л(t-b, t)

следовательно

M{(t)m(t, t+t)} = Mi2(t)Л^ b, t b +T)-

Л^ - b, t)

Л^-b, t-b +x)/ 2

(ф2(t) +ф^ )) =

Л(t - Ь, о 1 ;

= Л(t-Ь, t-Ь +т)[Л(t-Ь, t) +1]. (11)

Подставляя (4), (7), (10), (11) в (9), получим Я^, t+т) = ф2^) +ф(t) +Л(t -Ь, t) Л(t, t+т) -—Л(t-Ь, t-Ь + т)[Л0 -Ь, t) + 1] =

= Л2(t-Ь, t) +Л(t-Ь, ^ + Л(t-Ь, t)Л(t, t+т)-—Л(t-Ь, t-Ь +т)Л(t-Ь, ^ —Л(t-Ь, t-Ь + т) =

= Л(t-Ь, t)[Л(t-Ь, ^ +Л(t, t + т)-Л^-Ь, t-Ь +т)] + +Л^-Ь, t) — Л^-Ь, t-Ь +т) =

= Л(t-Ь, ОЛ^-Ь +т, t+т) +Л^-Ь +т, t).

Таким образом, имеем

ГЛ^-Ь, ^Л^-Ь + т, t + т) +

Я(t, t + т) = +Л(t-Ь +т, t), если т<Ь,

|л^-Ь, t)Л(t-Ь + т, t + т), если т> Ь.

Для ковариационной функции К(t, t+т) получим К(t, t + т) = Я(^ t+т)-МОДМ^+т) =

(Л^ - Ь + т, t), если т< Ь,

(0, если т>Ь.

Таким образом, для процесса ) изменения числа заявок в системе с детерминированным обслуживанием продолжительностью Ь ковариационная функция К^, t+т|Ь) имеет вид

K(t, t+т|Ь) =

| X(s)ds, если т<b,

t-b+т

0 , если x>b.

K(t, t+t) = jK(t, t + T|x)dB(x) =jl j X(s)ds

т т V? - x+t

= jX(t+т-x)[1 -B(x)]dx .

dB( x) =

(12)

Равенства (2), (3) и (12) решают поставленную задачу определения функции математического ожидания и корреляционной функции случайного процесса ) для рассматриваемой нестационарной немарковской бесконечнолинейной системы обслуживания.

ГАУССОВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛА ЗАЯВОК В СИСТЕМЕ

Рассмотрим последовательность исходных СМО с интенсивностью Ху) = Nр^), где р^) - заданная функция, а N - неограниченная последовательность целых положительных чисел. Покажем, что при N нормированная последовательность случайных процессов iN ^) сходится к гауссовскому случайному процессу. Для заданного N рассмотрим исходную СМО. По полиноминальной схеме разделим входящий поток на N независимых пуассоновских потоков с интенсивностью р^) для каждого из них. Обслуживание заявок этих потоков реализуется бесконечнолинейной системой обслуживания.

Процессы /д?'1^), п=1, 2, ..., N, изменения числа заявок каждого из потоков, обслуживаемых в рассматриваемой СМО, независимые и одинаково распределенные. В силу центральной предельной теоремы последовательность случайных процессов

X i(Nn )(t) -Ф/N (t)

n=1

-IN

Для исходной СМО с произвольной функцией распределения В(х) времени обслуживания ковариационную функцию К^, t+т) можно записать следующим образом:

сходится к гауссовскому процессу с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией Кр (t, t + т) вида (12):

ад

Кр(t, t + т) = |Х^ + т-х)[1 -В(х)]Сх .

т

Следовательно, при достаточно больших значениях интенсивности Х(t) исходный случайный процесс ) с дискретным множеством состояний можно аппроксимировать гауссовским случайным процессом с математическим ожиданием

ад

ф^) = - х)[1 - В( х)]Сх

0

и ковариационной функцией

ад

К(^ t+т) = |Х^+т-х)[1-В(х)]Сх.

т

Эти функции полностью характеризуют гауссовский процесс.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кац В.М., Лившиц К.И., Назаров А.А. Исследование нестационарных бесконечнолинейных систем массового обслуживания и их применение к анализу экономико-математических моделей // Вестник ТГУ. 2002. № 275. С.189-192.