CC BY
24
формации с зоной прилипания, приведенные А.П. Грудевым, согласуются с аналитическими выводами, сделанными авторами работы [5, с. 97].
Необходимо отметить, что только в трудах А.П. Грудева [4, с. 140], [3, с. 136] контактное трение в зоне прилипания характеризуется как трение покоя. Но в этих работах отсутствуют какие-либо теоретические, экспериментальные данные, формулы, позволяющие определить протяженности зон прилипания в очагах деформации при прокатке, что не дает возможности оценить масштабы действия закона трения покоя.
Детальный анализ напряженно-деформированного состояния полосы в очагах деформации рабочих клетей толстолистовых и широкополосных станов горячей прокатки, выполненный в работе [5, с. 98], [1, с. 33], показал, что очаги деформации, состоящие преимущественно из зон прилипания, характеризуются диапазоном соотношений I / кср < 0,5 - 15. При этом от полной длины очага деформации протяженность зоны прилипания составляет:
- в чистовых клетях широкополосных станов (I / Нср = 10 - 15): 83 - 90 %;
- в клетях остальных станов горячей прокатки (I / кср < 0,5 - 3,0): 98 - 99 %.
Таким образом, совершенно необоснованно при описании контактного трения в классической теории прокатки не рассматривается такой вид трения, как трение покоя, действующее практически на всей протяженности очагов деформации рабочих клетей толстолистовых и широкополосных станов горячей прокатки.
Более того, в некоторых трудах по теории продольной прокатки отмечается, что физически необоснованно рассматривать зону прилипания как зону, в которой отсутствует скольжение металла от-
носительно инструмента, поскольку в этом случае напряжение трения должно быть равно нулю.
Однако это совершенно неправильно, так как при отсутствии скольжения на контакте поверхностей начинают действовать статические силы трения, характеризующие трение покоя. Именно этот вид трения реализован в фрикционных муфтах, где отсутствует скольжение, но силы и напряжения трения покоя не равны нулю, а весьма значительны.
Исходя из изложенного выше, следует, что закон трения покоя действует на 83 - 99 % протяженности очагов деформации рабочих клетей толстолистовых и широкополосных станов горячей прокатки. Именно этот вид трения, а не трения скольжения, необходимо учитывать при моделировании технологических и энергосиловых параметров в зоне прилипания очага деформации при горячей прокатке.
Литература
1. Гарбер, Э.А. Напряженное состояние в очаге деформации при прокатке высокопрочной толстолистовой стали / Э.А. Гарбер, И.А. Кожевникова, А.А. Завражнов, А.И. Трайно // Металлы. - 2006. - № 3. - С. 33 - 39.
2. Гарбер, Э.А. Расчет усилий горячей прокатки тонких полос с учетом напряженно-деформированного состояния в зоне прилипания очага деформации / Э.А. Гарбер, И. А. Кожевникова, П.А. Тарасов // Производство проката. -2007. - № 4. - С. 7 - 15.
3. Грудев, А.П. Внешнее трение при прокатке / А.П. Грудев. - М., 1973.
4. Грудев, А.П. Теория прокатки / А.П. Грудев. - М., 2001.
5. Кожевникова, И.А. Развитие теории тонколистовой прокатки для повышения эффективности работы широкополосных станов / И. А. Кожевникова, Э.А. Гарбер. - Череповец, 2010.
УДК 536. 24 (075.8)
Н.Н Синицын, Д.В. Гусев, А.Г. Малинов
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОГРЕВА ТЕЛА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ С УЧЕТОМ ТАЯНИЯ ЛЬДА
В статье представлены результаты расчета прогрева железорудного концентрата с учетом таяния льда. Получены критериальные уравнения для расчета времени прогрева.
Прогрев, критерии подобия, критериальные уравнения, таяние льда.
The results of calculation of warming up an iron ore concentrate taking into account ice thawing are presented in the article. Cri-terial equations for calculation of time of warming up are got.
Warming up, criteria of similarity, criterial equations, ice thawing.
Расчет времени прогрева образца цилиндрической формы, содержащего железорудный концентрат со льдом, проводился по методике, предложенной в работе Н.Н. Синицына [1, с. 119]. Для расчета по данной методике необходимо было получить теплофизические характеристики образца, содержащего
лед и железорудный концентрат, - это коэффициент теплопроводности, теплоемкость, плотность. Обработка экспериментальных данных позволила получить значения величин для математической модели в виде коэффициента эффективной теплопроводности, эффективной теплоемкости и плотности образца ци-
линдрической формы. Расчет эффективной теплопроводности осуществлялся по формулам для коэффициентов эффективной теплопроводности, минимальной и максимальной. Теплоемкость и плотность определялись по формулам с учетом аддитивности и экспериментальным замерам (размеры, влажность, масса, пористость). В результате получены значения коэффициента теплопроводности, которые необходимо вычислять по формуле для расчета коэффициента минимальной эффективной теплопроводности.
Анализ экспериментальных и расчетных данных показывает, что для расчета времени существования льда в образце можно пользоваться минимальным коэффициентом эффективной теплопроводности и формулами для расчета аддитивной теплоемкости и плотности.
Решение системы дифференциальных уравнений методом конечных разностей (неявная схема) дает удовлетворительное совпадение расчетных и экспериментальных данных по времени таяния льда. Это позволяет использовать методику при расчете прогрева железорудного концентрата, содержащего лед, в других технических устройствах.
Для установления вида критериев подобия необходимо систему уравнений [1, с. 119], привести к безразмерному виду. Для этого необходимо выбрать масштабы для зависимых и независимых величин. В качестве масштабных значений наиболее целесообразно принять величины, входящие в условия однозначности, обычно заданные при постановке задачи. Затем заменить абсолютные значения всех переменных относительными, безразмерными величинами, используя соответствующее определение.
Математическое описание, приведенное в результате этих операций к безразмерному виду, содержит всю совокупность безразмерных величин, характерных для изучаемой задачи, поэтому безразмерные зависимые переменные можно выразить как функции безразмерных независимых переменных и постоянных. Таким образом, решение задачи можно записать в следующей общей форме для оси цилиндра:
Бо = f (Яе; Вц Ко; 0).
Безразмерные величины, содержащиеся в уравнении, представляют собой комплексы, составленные из размерных величин, существенных для данного процесса.
Безразмерный комплекс Бо = называют чис-
$2
лом Фурье, представляющим собой безразмерное время. Данное число выражает соотношение между темпом изменения условий в окружающей среде и темпом перестройки температурного поля внутри тела.
^ а-Л
Безразмерный комплекс Бі =---------
X
называют
числом Био - характеризует связь между полями температур в твердом теле и условиями теплоотдачи на его поверхности, являясь мерой отношения внутреннего и внешнего термических сопротивлений.
* $0
Безразмерный комплекс Яе =---------- называют
V
числом Рейнольдса - выражает соотношение между инерционной силой и силой внутреннего трения жидкости.
I -1-3
© = .
называют безразмерной температу-
рой.
Безразмерный комплекс Ко =
ттв + тж См 'АТ
называют числом Коссовича - характеризует отношение количества теплоты, расходуемой на плавление льда и на нагрев мерзлого материала до температуры плавления.
Здесь а - коэффициент температуропроводимо-
сти материала, м2/с; т - время, с; Л0 - радиус цилиндра, м; а - коэффициент теплоотдачи, —г—; ^ - ком К
эффициент теплопроводности материала,
Вт
мК
ю0 - скорость набегающего потока, м/с; V - коэффициент кинематической вязкости жидкости, м2/с; 1ж, /3, /0 - температура набегающего потока, температура замораживания влаги, начальная температура материала, °С; тж и ттв - масса влаги и твердого материала, кг; Ь - теплота плавления льда, Дж/кг; см -теплоемкость влажного материала, Дж/(кгК); АТ -перепад температур равный ^ - /0, К.
Функциональные зависимости между числами подобия называются уравнениями подобия. Конкретный вид функции / устанавливается на основе экспериментального либо расчетно-теоретического исследования.
Для экспериментальных данных постоянные безразмерные числа найдены методом последовательной линейной минимизации.
Взаимосвязь числа Коссовича и 0 имеет вид:
- при /ж = 49 °С © = 1,1265 * Ко0 23;
- при /ж = 24 °С © = 1,15 * Ко036.
Обобщенная зависимость в интервале температур
от 24° С до 49° С имеет вид:
© = ко[1/(0-58'г/т-)] /
где Т / То = (Ї + 273) / 273.
(
1
0,28-Т /Т0
о
т
ж
Расчет числа Фурье можно проводить по формуле:
- при t-M = 49 °С Fo =---------У09——;
Re0,13- ©(5"49/Re0-13)
1 28
- при t-ж = 24 °С Fo =-------------— .
Re0,126 _ @(6,1/Re0,17)
В формулах число Рейнольдса изменяется от 18 910 до 65 790, при 0,4 < 0 < 0,907. Относительная погрешность составляет 4,5 %.
В опытах на стенде исследовалось нагревание цилиндра, содержащего железорудный концентрат со льдом (Оленегорский) при различной начальной температуре. Начальная температура изменялась от -25 °С до -5 °С. Диаметр цилиндра из нержавеющей стали 2X13 составлял йн = 50 мм, йвн = 48 мм. Число Рейнольда изменялось от 18 000 до 57 000. Скорость набегающего потока варьировалась в пределах от 6,8 до 20,4 м/с. Температура потока от 24 до 49 °С. Тепловой критерий Био изменялся в пределах 0,99 < < Bi < 2,17 для цилиндра в целом, для стенки трубы Bi < 0,1.
На рис. 1 представлены результаты расчета по прогреву образца и экспериментальные данные. Скорость набегающего потока изменялась от 6,8 до 20,4 м/с, при температуре набегающего потока 24 °С. На рис. 2 представлена взаимосвязь между числами Фурье и Коссовича при изменении скорости потока от 6,8 до 20,4 м/с, при этом температура набегающего потока равна 49 °С.
Предложенные критериальные уравнения можно использовать при расчете времени прогрева железорудного концентрата с учетом таяния льда в различных технических устройствах (например, в гаражах размораживания).
Рис. 1. Взаимосвязь числа Fo от числа Коссовича:
1 - Wк = б,8 м!с; 2 - Wk = 10 мЛс; 3 - Wk = 13,б м!с;
4 - Wk = 20,4 м!с при температуре набегающего потока іж = 24 “С
Рис. 2. Взаимосвязь числа Фурье от числа Коссовича:
1 - №к = 6,8 м/с; 2 - №к = 10 м/с; 3 - №к = 13,6 м/с; 4 - №к = 20,4 м/с при температуре набегающего потока равной ґж = 49 ° С
Литература
1. Синицын, Н.Н. Математическая модель прогрева бесконечного двухслойного цилиндра, содержащего лед и кусковые материалы / Н.Н. Синицын, Д.В. Гусев, Ю.В. Андреев, Н.В. Андреев // Вестник ЧГУ. - 2008. - № 4. -С. 119 - 120.
УДК 681.5
О.А. Толпегин
КОМПЕНСАЦИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГР
Рассматривается применение областей достижимости для компенсации детерминированных или случайных возмущений с неизвестными статистическими свойствами в системах автоматического управления.
Системы автоматического управления, возмущения, позиционные дифференциальные игры, области достижимости.
Application of attainable domains for compensation of determinate or random disturbances with unknown statistical properties in automatic control systems is considered in the article.
Automatic control systems, disturbance, positional differential games, attainable domains.
