CC BY
41
УДК 539.3; 539.4; 53.08
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1368-1374
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ ОТДЕЛЬНЫХ ФАЗ И МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦ СЛОЖНЫХ МНОГОФАЗНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ПРИМЕРЕ ГОРНЫХ ПОРОД
© А.И. Тюрин С.Д. Викторов 2), А.Н. Кочанов 2), А.В. Шуклинов Т.С. Пирожкова И.А. Шуварин А.А. Самодуров 4
1) Научно-образовательный центр «Нанотехнологии и наноматериалы» ТГУ им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, e-mail: tyurin@tsu.tmb.ru 2) Институт проблем комплексного освоения недр РАН, г. Москва, Российская Федерация,
e-mail: kochanov@mail.ru
Исследованы процессы локального деформирования и разрушения поверхности ряда горных пород (железистые кварциты, гранит, мрамор, змеевик, антрацит, песчаник) при действии высоких локальных нагружений. С помощью методов микро- и наноиндентирования в широком диапазоне нагрузок и глубин отпечатка h (от 10 нм до 50 мкм) определены числовые значения упругих, пластических и прочностных (твердости, модуля Юнга, трещиностойкости и др.) свойств образцов горных пород. Исследовано влияние размерных эффектов в твердости и других физико-механических свойствах отдельных фаз и межфазных границ широкого класса горных пород и выявлены немонотонные зависимости твердости отдельных минеральных компонентов исследованных образцов горных пород в микро- и наношкале. Установлено, что твердость отдельных минеральных фаз закономерно возрастает с уменьшением глубины отпечатка вплоть до 60-120 нм, в зависимости от вида образца горной породы и типа фазы, а затем начинает падать. Определены значения коэффициента вязкости разрушения, отдельных минеральных фаз и межфазных границ срастания различного типа. Показано, что наибольшую величину коэффициента вязкости разрушения имеет гематит в железистых кварцитах, а наименьшую -антрацит. Наиболее прочными границами являются границы срастания минеральных компонентов железистых кварцитов, а наименьшими - границы срастания отдельных фаз в антраците.
Ключевые слова: наноиндентирование; горная порода; локальное разрушение; физико-механические свойства; твердость породообразующих минералов; локальный модуль Юнга; структура.
Одним из основных технологических процессов современного горного производства является разрушение горных пород. В промышленном масштабе он осуществляется буровзрывным или механическим способами. Сам же процесс определяется в первую очередь прочностными и деформационными характеристиками горной породы и отдельных минеральных фаз, входящих в их состав, важными показателями при этом являются твердость, модуль Юнга, вязкость разрушения [1]. Разные виды твердости по-разному влияют на процессы и оборудование, используемое в горном производстве, так, например, агрегатная твердость горной породы больше влияет на скорость бурения, а твердость отдельных минералов определяет износ разрушающего или обрабатывающего инструмента.
Для определения агрегатной твердости горных пород разработаны и традиционно используются такие методы и шкалы, как Шрейнера, Мооса и др. [2]. С развитием методов наноиндентирования появилась возможность определения упругих, пластических и прочностных свойств не только объемных образцов в макрошкале, но и отдельных фаз, а также межфазных границ сложных многофазных горных пород.
Цель работы заключалась в оценке структурных и физико-механических свойств (Н, Е и др.) поверхностей сложных многофазных материалов и их отдельных фаз, зерен отдельных минералов, включений и т. д.; исследовании влияния на них масштабного фактора (раз-
мера зоны деформирования и величины приложенной нагрузки); а также определении коэффициента вязкости разрушения отдельных фаз и межфазных границ срастания на примере ряда горных пород (железистые кварциты, гранит, мрамор, змеевик, антрацит, песчаник) в микро- и наношкале.
Анализ микроструктуры исследуемых образцов показывает, что характерный размер выявляемых структур, как правило, не превышает нескольких десятков или сотен микрон (рис. 1). Это требует проведения исследования упругих, пластических и прочностных свойств, а также характера разрушения отдельных фаз и особенно их границ срастания на микро- и наноуров-не. При этом определение вязкости разрушения отдельных фаз и межфазных границ срастания стандартными методами практически невозможно, поскольку нельзя приготовить образцы, удовлетворяющие всем требованиям, зафиксированным в стандартах для определения критического коэффициента интенсивности напряжений К1С.
Исследования проводили методами микро- и наноиндентирования, которые позволяют определять и характеризовать прочностные свойства (твердость - Н, модуль Юнга - Е, коэффициент вязкости разрушения -Кс и др.) поверхностей и тонких слоев материала в очень локализованной области и связывать их со структурой материала.
в)
100 чкм
I-1
г)
е)
Рис. 1. Изображение поверхности и микроструктуры образцов горных пород: а) железистый кварцит; б) гранит; в) песчаник; г) антрацит; д) змеевик; е) мрамор
Рис. 2. Определение твердости Н и модуля Юнга Е по методике Оливера-Фарра
Измерение Ни Ев макро-, микро- и наношкале проводили на твердомерах Duramin А 300 фирмы Struers (Дания), комбинированном динамическом нано-и микроиндентометре (БЭТ-ЗМ) собственной разработки коллектива НОЦ «Нанотехнологии и наномате-риалы» ТГУ им. Г.Р. Державина и трибонаноинденто-метре Т1-950 фирмы Hysitron (США) с использованием трехгранного алмазного индентора Берковича. Величина прикладываемой нагрузки Р варьировалась в диапазоне от 1 мкН до 500 мН. Значения Н и Е определяли по методике Оливера-Фарра [4] из характерных Р(к) диаграмм (рис. 2) с использованием соотношений
(1)-(4).
ц _ Ппах
~~ Ас
Er = -S -,
г 2 Jac'
где
S= £ = 2 ErR W hl/2
Ac = 24,5hl+TlUCih1'm,
(1) (2)
(3)
(4)
т = 1, 2, 4, 8, 16; С^ - коэффициенты формы реального индентора.
Типичные Р(к) диаграммы для всех исследованных образцов показаны на рис. 3. Зависимости величин Н и Е, определенных из характерных Р(к) диаграмм (рис. 3.) по методике Оливера-Фарра с использованием соотношений (1) и (2), от глубины отпечатка приведены на рис. 4 и 5.
Из полученных данных следует, что по мере увеличения глубины проникновения индентора наблюдается уменьшение твердости, и эта тенденция наблюдается для всех минеральных компонентов (рис. 4).
С увеличением глубины внедрения происходит также уменьшение значений модуля Юнга для всех породообразующих минералов вплоть до некоторой глубины внедрения, зависящей от типа исследуемой горной породы, ее фазы или включения, затем, при дальнейшем увеличении к, значения модуля Юнга остаются неизменными (рис. 5).
600 500 ■ И 400 ■ й-Т 300 200 ■ 100 0
0
600 500 400 300 200 100 0
а.
600 500 400 300 ■ 200 100 0
1000 2000 3000 4000 5000 h, нм
а)
1000 2000 h, нм
б)
500 1000 1500 2000 h, нм
в )
0 1000 2000 3000 4000 5000 h, нм
г)
Рис. 3. Типичные Р(к) диаграммы для ряда исследованных материалов: а) гранит (1 - фаза 1, 2 - фаза 2, 3 - фаза 3); б) антрацит; в) песчаник; г) змеевик
0
0
в)
Рис. 4. Зависимость твердости Н от глубины отпечатка к для отдельных минеральных компонентов ряда исследованных образцов: а) гранит (1 - фаза 2; 2 - фаза 1; 3 - фаза 3); б) антрацит (1 - фаза 1; 2 - фаза 2); в) 1 - песчанник; 2 - мрамор; 3 - змеевик
в)
Рис. 5. Зависимость модуля Юнга Е от глубины отпечатка к для отдельных минеральных компонентов ряда исследованных образцов: а) гранит (1 - фаза 2; 2 - фаза 1; 3 - фаза 3); б) антрацит (1 - фаза 1 ; 2 - фаза 2); в) 1 - песчанник; 2 - мрамор; 3 - змеевик
Масштабный эффект, т. е. влияние глубины внедрения индентора на деформационные характеристики, в общем виде может быть обусловлен целым рядом причин. Так, обычно полагают, что в области характерных размеров 0,1-10 мкм масштабный эффект обусловлен невыполнением закона подобия, с неоднородностью поверхностных слоев исследуемых образцов и другими факторами, например, характерными размерами внутренней структуры (средний размер отдельных фаз в многофазных материалах, зерна в поликристаллах или субзернах, ячеек в дислокационной структуре; толщина пленки или период сверхрешетки мультислойного покрытия, объем деформированной области и т. д.) или сменой доминирующих микромеханизмов пластической деформации под индентором [2, 5-7].
Исследование хрупкого разрушения и определение параметра вязкости разрушения (критического коэффициента интенсивности напряжения КС) в локальной области проводится при условии выполнения ряда критериев по величине приложенной нагрузки и размеру образующихся трещин в области индентирования.
Для всех отдельных минеральных компонентов исследованных образцов горных пород определены коэффициенты вязкости разрушения КС. Полученные значения представлены на рис. 6. Можно отметить, что числовые значения КС зависят от вида исследованного материала, типа фазы и границы срастания. Так, например, исследования величины КС для железистых кварцитов показывают на довольно низкую вязкость разрушения границ срастания кварц-магнетит и кварц-
2,5 1
—у 2 •
• п 1.5 -
1 -
✓
г 0.5 •
фин I I fU И ИI ш
ф»ш I п 2
12 'рмышш фли } ipauHiu
a)
.(«ш:
ф*1М 3 N I
(б)
в)
г)
Рис. 6. Значения коэффициента вязкости разрушения Кс для отдельных минералов и границ срастания: а) магнетит (1), гематит (2), кварц (3) в железистом кварците; б) плагиоклаз
(1), полевой шпат (2), кварц (3) в граните; в) включения (1) и
(2) в антраците; г) песчаник (1); мрамор (2); змеевик (3)
гематит (КС, соответственно, 0,68 и 0,38 МПа-м1/2) (рис. 6).
Полученные значения примерно в 2-3 раза меньше, чем у отдельных фаз или границ срастания магнетит-гематит. Сравнение трещиностойкости отдельных минеральных компонентов исследованных образцов показывает, что наибольшую величину КС имеет в железистых кварцитах гематит, а наименьшую - антрацит. Наиболее прочными границами являются границы срастания минеральных компонентов железистых кварцитов, а наименьшими - границы срастания в антраците (рис. 6).
Таким образом, в работе исследовано влияние масштабного фактора (глубины отпечатка) на значение величин H и Е и выявлены немонотонные зависимости твердости отдельных минеральных компонентов ис-
следованных образцов горных пород (железистые кварциты, гранит, мрамор, змеевик, антрацит, песчаник) в микро- и наношкале. Установлено, что H отдельных минеральных фаз закономерно возрастает с уменьшением глубины отпечатка вплоть до 60-120 нм, в зависимости от типа горной породы и слагающих ее минералов, а затем начинает падать. Определена тре-щиностойкость отдельных минеральных фаз и межфазных границ срастания различного типа. Показано, что наибольшую величину вязкости разрушения имеет минеральная фаза гематита в железистых кварцитах, а наименьшую - антрацит. Наиболее прочными границами являются границы срастания минеральных компонентов железистых кварцитов, а наименьшими - границы срастания отдельных включений в антраците.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Открытые горные работы. Справочник / К.Н. Трубецкой, М.Г. Потапов, К.Е. Виницкий, Н.Н. Мельников и др. М.: Горное бюро, 1994. 573 с.
2. Головин Ю.И. Наноиндентирование и его возможности. М.: Машиностроение, 2009. 312 с.
3. Bhushan B. Springer Handbook of Nanotechnology. Berlin: Springer, 2010. 1968 р.
4. Oliver W.C., Pharr G.M. Measurement of hardness and elastic modulus by instrumented indentation: Advances in understanding and refinements to methodology // J. Mater. Res. 2004. V. 19. № 1. Р. 3-20.
5. Головин Ю.И., Тюрин А.И. Динамика начальной стадии микроин-дентирования ионных кристаллов // Известия РАН. Серия физическая. 1995. Т. 59. № 10. С. 49-54.
6. Головин Ю.И., Тюрин А.И., Хлебников В.В. Влияние режимов динамического наноиндентирования на коэффициент скоростной чувствительности твердости тел различной структуры // Журнал технической физики. 2005. Т. 75. № 4. С. 91-95; 2005. Т. 75. № 4. С. 91-95.
7. Головин Ю.И., Тюрин А.И. Современные проблемы нано-и микротвердости твердых тел // Материаловедение. 2001. № 1. С. 14-21.
8. Бунин И.Ж., Чантурия В.А., Анашкина Н.Е., Рязанцева М.В. Экспериментальное обоснование механизма импульсных энергетических воздействий на структурно-химические свойства и микротвердость породообразующих минералов кимберлитов // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2015. № 4. С. 130-142.
9. Викторов С.Д., Головин Ю.И., Кочанов А.Н., Тюрин А.И., Шукли-нов А.В., Шуварин И.А., Пирожкова Т.С. Оценка прочностных и деформационных характеристик минеральных компонентов горных пород методом микро- и наноиндентирования // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2014. № 4. С. 46-54.
10. Surmeneva M.A., Mukhametkaliyev T.M., Surmenev R.A., Tyurin A.I., Pirozhkova T.S., Shuvarin I.A., Shuklinov A.V., Zhigachev A.O., Tere-sov A.D., Koval N.N., Oehr C. Effect of silicate doping on the structure and mechanical properties of thin nanostructured rf magnetron sputter-deposited hydroxyapatite films // Surface and Coatings Technology. 2015. V. 275. P. 176-184.
11. Surmeneva M.A., Tyurin A.I., Mukhametkaliyev T.M, Pirozhkova T.S., Shuvarin I.A., Syrtanov M.S., Surmenev R.A. Enhancement of the mechanical properties of AZ31 magnesium alloy via nanostructured hydroxyapatite thin films fabricated via radio-frequency magnetron sputtering // Journal of the Mechanical behavior of biomedical materials. 2015. V. 46. P. 127-136.
12. Акчурин М.Ш., Гайнутдинов Р.В., Гарибин Е.А., Головин Ю.И., Демиденко А.А., Дукельский КВ., Кузнецов С.В., Миронов И.А., Осико В.В., Смирнов А.Н., Табачкова Н.Ю., Тюрин А.И., Федоров П.П., Шиндяпин В.В. Наноструктура оптической фторидной керамики // Перспективные материалы. 2010. № 5. С. 5-12.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 14-05-00446-а). Исследование процессов трещинообразования и разрушения при ин-дентировании выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 15-19-00181).
Поступила в редакцию 10 апреля 2016 г.
2016. T. 21, Bhm. 3. ®H3HKa
UDC53.08
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1368-1374
STUDY OF STRENGTH PROPERTIES OF THE INDIVIDUAL PHASES AND PHASE BOUNDARY COMPLEX MULTIPHASE MATERIALS ON THE EXAMPLE OF ROCKS
© A.I. Tyurin1), S.D. Viktorov2), A.N. Kochanov2), A.V. Shuklinov1), T.S. Pirozhkova1), I.A. Shuvarin1), A.A. Samodurov1)
^ Scientific-Educational Centre "Nanotechnology and Nanomaterials" Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, e-mail: tyurin@tsu.tmb.ru 2) Institute of Comprehensive Exploitation of Mineral Resources RAS, Moscow, Russian Federation,
e-mail: kochanov@mail.ru
The processes of local deformation and fracture surface of a series of rocks (ferruginous quartzite, granite, marble, serpentine, anthracite, sandstone) under the action of high local loadings. With micro and nano-indentation techniques in a wide range of loads and indentation depths (h from 10 nm to 50 microns) are determined numerical values of the elastic, plastic and strength (hardness, Young's modulus, fracture toughness, etc.) properties of rock samples are studied. The influence of size effects in hardness and other physical and mechanical properties of the individual phases and interphase boundaries of a broad class of rocks and identifies non-monotonic dependence of the hardness of certain minerals studied rock samples in the micro and na-noscale. It is found that the hardness of individual mineral phases naturally increases with decreasing indentation depth up to 60-120 nm, depending on the type of rock sample, and type phase and then begins to fall. The values of the coefficient of fracture toughness, separate mineral phases and interphase gras-down fusion of different types. It is shown that the greatest value of the coefficient of fracture toughness is hematite ferruginous quartzites, and the smallest-anthracite. The most durable boundaries are NE-border fusion of mineral components of ferruginous quartzites and the lowest - border fusion of the individual phases in anthracite. Key words: nanoindentation; rock; local destruction; physical and mechanical properties; the hardness of the rock-forming minerals; Young's modulus; the structure.
REFERENCES
1. Trubetskoy K.N., Potapov M.G., Vinitskiy K.E., Mel'nikov N.N. et al. Otkrytye gornye raboty. Spravochnik. Moscow, Gornoe byuro Publ., 1994. 573 p.
2. Golovin Yu.I. Nanoindentirovanie i ego vozmozhnosti. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2009. 312 p.
3. Bhushan B. Springer Handbook of Nanotechnology. Berlin, Springer, 2010. 1968 p.
4. Oliver W.C., Pharr G.M. Measurement of hardness and elastic modulus by instrumented indentation: Advances in understanding and refinements to methodology. J. Mater. Res., 2004, vol. 19, no. 1, pp. 3-20.
5. Golovin Yu.I., Tyurin A.I. Dinamika nachal'noy stadii mikroindentirovaniya ionnykh kristallov. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Seriya fizicheskaya — Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics, 1995, vol. 59, no. 10, pp. 49-54.
6. Golovin Yu.I., Tyurin A.I., Khlebnikov V.V. Vliyanie rezhimov dinamicheskogo nanoindentirovaniya na koeffitsient skorostnoy chuvstvitel'nosti tverdosti tel razlichnoy struktury. Zhurnal tehnicheskoj fiziki — Technical Physics, 2005, vol. 75, no. 4, pp. 91-95; 2005, vol. 75, no. 4, pp. 91-95.
7. Golovin Yu.I., Tyurin A.I. Sovremennye problemy nano-i mikrotverdosti tverdykh tel. Materialovedenie - Material science, 2001, no. 1, pp. 14-21.
8. Bunin I.Zh., Chanturiya V.A., Anashkina N.E., Ryazantseva M. V.Eksperimental'noe obosnovanie mekhanizma impul'snykh ener-geticheskikh vozdeystviy na strukturno-khimicheskie svoystva i mikrotverdost' porodoobrazuyushchikh mineralov kimberlitov. Fiziko-tekhnicheskie problemy razrabotki poleznykh iskopaemykh — Journal of Mining Science, 2015, no. 4, pp. 130-142.
9. Viktorov S.D., Golovin Yu.I., Kochanov A.N., Tyurin A.I., Shuklinov A.V., Shuvarin I.A., Pirozhkova T.S. Otsenka prochnostnykh i deformatsionnykh kharakteristik mineral'nykh komponentov gornykh porod metodom mikro- i nanoindentirovaniya. Fiziko-tekhnicheskie problemy razrabotki poleznykh iskopaemykh — Journal of Mining Science, 2014, no. 4, pp. 46-54.
10. Surmeneva M.A., Mukhametkaliyev T.M., Surmenev R.A., Tyurin A.I., Pirozhkova T.S., Shuvarin I.A., Shuklinov A.V., Zhigachev A.O., Teresov A.D., Koval N.N., Oehr C. Effect of silicate doping on the structure and mechanical properties of thin nanostructured rf magnetron sputter-deposited hydroxyapatite films. Surface and Coatings Technology, 2015, vol. 275, pp. 176-184.
11. Surmeneva M.A., Tyurin A.I., Mukhametkaliyev T.M, Pirozhkova T.S., Shuvarin I.A., Syrtanov M.S., Surmenev R.A. Enhancement of the mechanical properties of AZ31 magnesium alloy via nanostructured hydroxyapatite thin films fabricated via radio-frequency magnetron sputtering. Journal of the Mechanical behavior of biomedical materials, 2015, vol. 46, pp. 127-136.
12. Akchurin M.Sh., Gaynutdinov R.V., Garibin E.A., Golovin Yu.I., Demidenko A.A., Dukel'skiy K.V., Kuznetsov S.V., Mironov I.A., Osiko V.V., Smirnov A.N., Tabachkova N.Yu., Tyurin A.I., Fedorov P.P., Shindyapin V.V. Nanostruktura opticheskoy ftoridnoy keramiki. Perspektivnye materialy — Perspektivnye materialy, 2010, no. 5, pp. 5-12.
GRATITUDE: The work is fulfilled under support of Russian Fund of Fundamental Research (project no. 14-05-00446-a). Research of processes of fissuring and destruction at identification is made at the expense of grant of Russia Scientific Fund (project no. 15-19-00181).
Received 10 April 2016
Тюрин Александр Иванович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, зам. директора по научно-исследовательской работе Научно-образовательного центра «Нанотехнологии и наноматериалы», e-mail: tyurin@tsu.tmb.ru
Tyurin Aleksander Ivanovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Deputy Director for Scientific Work of Scientific Research Scientific-Educational Centre "Nanotechnologies and Nanomaterials", e-mail: tyurin@tsu.tmb.ru
Викторов Сергей Дмитриевич, Институт проблем комплексного освоения недр РАН, г. Москва, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, зам. директора по научной работе, e-mail: victorov_s@mail.ru
Viktorov Sergey Dmitrievich, Institute of Comprehensive Exploitation of Mineral Resources RAS, Moscow, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Deputy Director for Research Work, e-mail: victorov_s@mail.ru
Кочанов Алексей Николаевич, Институт проблем комплексного освоения недр РАН, г. Москва, Российская Федерация, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: kochanov@mail.ru
Kochanov Aleksey Nikolaevich, Institute of Comprehensive Exploitation of Mineral Resources RAS, Moscow, Russian Federation, Candidate of Technics, Senior Research Worker, e-mail: kochanov@mail.ru
Шуклинов Алексей Васильевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Научно-образовательного центра «Нанотехнологии и наноматериалы», e-mail: tambovbest@yahoo.com
Shuklinov Aleksey Vasilevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Research Worker of Scientific-Educational Centre "Nanotechnology and Nanomaterials", e-mail: tambovbest@yahoo.com
Пирожкова Татьяна Сергеевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, НОЦ «Нанотехнологии и наноматериалы», e-mail: t-s-pir@ya.ru
Pirozhkova Tatyana Sergeevna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Post-graduate Student, Scientific-Educational Centre "Nanotechnologies and Nanomaterials", e-mail: t-s-pir@ya.ru
Шуварин Иван Александрович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, Научно-образовательный центр «Нанотехнологии и наноматериалы», e-mail: shuvarinivan@rambler.ru
Shuvarin Ivan Aleksandrovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Post-graduate Student, Scientific-Educational Centre "Nanotechnologies and Nanomaterials", e-mail: shuvarini-van@rambler.ru
Самодуров Александр Алексеевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, e-mail: samsasha@yandex.ru
Samodurov Aleksander Alekseevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, e-mail: samsasha@yandex.ru
