CC BY
181
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 167-173 = Информатика
V : к
Исследование причинно-следственных связей при операциях на фондовом рынке
С.С. Дубровин
Аннотация. Статья посвящена исследованию выявления причинно-следственных связей между курсами акций и лидеров фондового рынка с помощью теста Грэнджера. Актуальность темы обусловлена потребностью в прикладном научно-экономическом инструментарии при операциях на фондовом рынке. Достоверность полученных результатов подтверждается экспериментальными расчетами на реальной рыночной информации, которые представлены в табличном виде.
Ключевые снова: тест Грэнджера, временной ряд, стационарность, авторегрессионная модель, причинно-следственные связи, тест Дикки-Фуллера.
Основная цель работы — исследовать особенности применения теста Грэнджера для выявления лидеров фондового рынка и обнаружения причинноследственных связей между индексами фондового рынка и курсами акций как инструмента для идентификации сигналов о наиболее вероятном направлении их движения.
В 60-х годах прошлого века Грэнджер разработал тест, устанавливающий причинно-следственную связь между двумя переменными [5], а уже в начале 1970-х годов он применялся на практике после популяризации Симсом.
Пусть заданы два временных ряда у и х курсов акций. Грэнджер предложил такое определение термина «причинность»: х обусловливает появление (или влияет) у, если прошлые значения включают в себя всю необходимую информацию, которая помогает точнее определить настоящее значение у*.
Таким образом, можно дать следующие определения термина «причинности по Грэнджеру»:
1) х не влияет то Грэнджеру на у^, если среднеквадратичная ошибка прогноза у^+з, основанная на переменных (у, у4_х,...), равна среднеквадратичной ошибке прогноза уг+я, основанной как на (у, уг_1,...), так и на хх
ух
квадратичные ошибки соответствующих прогнозов эквивалентны.
Для проведения теста Грэнджера необходимо методом наименьших квадратов (МНК) оценить авторегрессионную модель следующей спецификации:
Уь = «т-1 + «2У*-2 + • • • + aPyt-P + 0ixt-i + 02Xt-2 + ... + 0pxt-p + £t,
у у у
(1)
где р — выбранная заранее величина лага; а — степень влияния прошлого у
пия х па его настоящее значение; /3 — степень влияния х нап у; 7 — степень ух
р
лом, который заключается в том, что рынок в целом и отдельные ценные бумаги реагируют на выходящие новости мгновенно или с небольшой задержкой, величина которой составляет не более одного дня [3]. Результаты экспериментов ряда исследователей также подтверждают целесообразность данного выбора. Однако не следует забывать, что в общем случае результаты эмпирического теста Грэнджера могут быть очень чувствительны к выбору величины лага.
Далее проводится проверка нулевых гипотез (3\ = 02 = • • • = 0р = 0 и 7i = 72 = • • • = 7р = 0) в случае принятия которых делается вывод, что х не у
Рассмотрим проблему выявления лидеров фондового рынка на примере компаний нефтегазовой отрасли РФ. В частности, в нее входят ОАО «Газпром» (GAZP) и ОАО «Лукойл» (LKON), которые в глазах общественного мнения уже являются в той или иной степени лидерами данного сектора. Вопрос состоит в том, насколько они могут влиять друг на друга и на динамику нефтегазового сектора, т.е. быть компаниями-лидерами. Для характеристики нефтегазовой отрасли в целом выберем отраслевой индекс РТС-пефть и газ (RTSog).
В качестве исходных статистических данных для расчетов будем использовать ряды дневных цен закрытия за период с 04.01.2003 г. по 28.12.2007 г. указанных компаний (GAZP и LKON в рублях) и ОАО «Башнефть» (BANE в долларах США*, а также индекса RTSog.
Прежде необходимо выяснить, стационарны ли и одного ли порядка интегрированности рассматриваемые временные ряды. Для этого может быть использован дополненный тест Дикки-Фуллера (это модификация теста Дикки-Фуллера для авторегрессионных процессов более высоких порядков) на выявление единичных корней (стационарности), который состоит в том, что сначала проводят регрессию первых разностей временного ряда на лагирован-ные переменные, лагированные разности и иногда на константу и временной
* Пропущенные значения для данного эмитента восстанавливались методом заполнения средним по полугодиям с помощью специализированного модуля в пакете 81аШ1юа 6.1.
тренд. Существуют три возможности проведения дополненного (расширенного) теста Дикки-Фуллера [4]:
р
1) Агь = р\гЬ-1 + ^ Р'Лч-^ 1 + £и
*=2
Р
2) Агь = ро + Pi.2f.-i + X) РгАгЬ-г+1 +
*=2
Р
3) Агь = Р0 + р\гЬ-1 + ^ Р*Аг4_*+1 + + е#_,
*=2
где Дг* = г1+\ — 2*, р — число лагированных разностей.
Вторая регрессия содержит константу ро, а третья, кроме этого, и линейный временной тренд Ч]1.
В каждом из вышеуказанных случаев тест на единичный корень — это тест на коэффициент при в регрессии. Если коэффициент р\ значительно отличается от нуля, то гипотеза о том, что временной ряд г1 содержит единичный корень, отвергается, т.е. рассматриваемый ряд является стационарным или, иными словами, его порядок интегрированности равен нулю [/(0)]. И, наоборот, если р\ = 0, тогда гипотеза о наличии единичного корня у временного ряда принимается, и он признается нестационарным. Таким образом, проверяется основная гипотеза вида Но : р\ = 0 или Яо : р\ = 0 и '// = 0 в зависимости от спецификации регрессионной модели.
Как показали эксперименты Монте-Карло, тест Дикки-Фуллера чувствителен к наличию процесса типа скользящего среднего в ошибке. Эту проблему частично можно снять, добавляя в регрессию достаточно много лагированных разностей [6]. Чтобы тест был состоятельным, требуется увеличивать лаг с ростом количества наблюдений по определенному закону.
На практике решающим при использовании теста Дикки-Фуллера является вопрос о том, как выбирать лаг — порядок А11-процссса в оцениваемой регрессии. Можно предложить следующие подходы:
1) так как важно, чтобы остатки были как можно более похожи на «белый шум», то следует выбирать такое число лагов Ь, чтобы тест на автокорреляцию остатков показал отсутствие значимой автокорреляции. Поскольку дополнительные лаги не меняют асимптотические результаты, то лучше взять больше лагов, чем меньше. Однако этот последний аргумент верен только с асимптотической точки зрения;
2) выбирать Ь на основе обычных I и /'’-статистик для соответствующих дополнительных регрессоров.
Тест Дикки-Фуллера может давать разные результаты в зависимости от того, каким выбрано количество лагов. Даже добавление лага, который «не нужен» согласно только что приведенным критериям, может резко изменить результат тестирования.
Исследования показали, что следует проверять гипотезы последовательно, начиная с наиболее высокого порядка интегрирования, который можно ожидать априорно. Т. с., сначала следует проверить гипотезу о том, что ряд
является 1(2), и лишь после этого, если гипотеза была отвергнута, что он является 1(1) [7].
С помощью программы Econometric Views 3.1 Excel проведем расширенный тест Дикки-Фуллера, построив для компаний GAZP, LKON, BANE и индекса RTSog по 3 регрессионных уравнений следующих видов (табл. 1 и табл. 2) [1, 2]:
A) Azt = pizt-i + piAzt-i + £t] Б) Azt = po + p\zt-\ + pzAzt-i + £t\
B) Azt = po + Pizt-i + p^Azt-i + -qt + st.
Таблица 1. Расширенный тест Дикки-Фуллера индекса RTSog по модели В
ADF Test Statistic -2.115089 1% Critical Value * -3.9706
5% Critical Value -3.4159 -3.1299
10% Critical Value
* MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
RTSOG(-l) -0.006481 0.003064 -2.115089 0.0346
D(RTSOG( —1)) 0.082832 0.028308 2.926106 0.0035
С 0.478412 0.263693 1.814278 0.0699
©TREND (1) 0.001257 0.000619 2.032251 0.0423
R-squared 0.010008 Mean dependent var 0.168190
Adjusted R-squared 0.007611 S.D. dependent var 3.450585
Таблица 2. Расширенный тест Дикки-Фуллера первых разностей индекса
RTSog но модели В
ADF Test Statistic -23.62103 1% Critical Value * -3.9706
5% Critical Value -3.4159 -3.1299
10% Critical Value
* MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
D(RTSOG( —1)) -0.910610 0.038551 -23.62103 0.0000
D(RTSOG( —1),2) -0.010601 0.028416 -0.373073 0.7092
С 0.109769 0.196102 0.559753 0.5757
©TREND (1) 7.24E—05 0.000273 0.265755 0.7905
R-squared 0.460320 Mean dependent var 0.001401
Adjusted R.-squared 0.459012 S.D. dependent var 4.682780
Проанализировав аналогичные таблицы, есть все основания принять (отвергнуть) нулевую гипотезу о наличии единичного корня в рядах цен (в рядах первых разностей цен) рассматриваемых эмитентов, так как ^-статистика
расширенного теста Дикки-Фуллера меньше (больше) критических значений критерия на всех уровнях значимости или на 5% уровне значимости.
Таким образом, все рассматриваемые нами временные ряды имеют первый порядок интегрированности и в дальнейшем анализе экономически обоснованно рассматривать их первые разности, которые могут быть интерпретированы как доходность на ценную бумагу за один период (предполагая только доходность капитала без дивидендов). Поэтому влияние по Грэнджеру (причинно-следственная связь) между любыми двумя ценными бумагами будем исследовать в контексте следующей модели:
Ау = «1 Дуг_1 + а2Ду-2 + • • • + арАуЬ-р +
+ /?1 Дж*_1 + /32Дж*-2 + • • • + 0рАхг-р + £и
(2)
Ахг = ц\Ах1-\ + Ц2АхЬ-2 + • • • + ЦрАхЬ-р + у у у
При анализе краткосрочных зависимостей между упомянутыми выше ценными бумагами и индексом нам необходимо исследовать их причинноследственные связи с целью выявления тех, которые будут полезны для предсказания других. В краткосрочном периоде будем предполагать, что влияние изменения динамики одной переменной на другую происходит на следующий день, поэтому для проведения теста Грэнджера выберем единичный лаг. Результаты теста представлены в таблице 3.
Таблица 3. Попарный тест Грэнджера за период 2003-2007 гг.
Нулевая гипотеза Количе- ство наблюде- ний -статистика для /?! и Значи- мость t-стати- стики Вывод
GAZP не влияет на RTSog 1243 —0,3431 0.7316 принимается
RTSog не влияет на GAZP 1243 0.301 0.7635 принимается
LKON не влияет на RTSog 1243 3.2689 0.0011 отвергается
RTSog не влияет на LKON 1243 -2.0444 0.0411 отвергается
BANE не влияет на RTSog 1243 -0.7416 0.4585 принимается
RTSog не влияет на BANE 1243 3.5753 0.0087 отвергается
GAZP не влияет на LKON 1243 -3.4774 0.0005 отвергается
LKON не влияет на GAZP 1243 -0.5773 0.5639 принимается
GAZP не влияет на BANE 1243 2.0793 0.0005 отвергается
BANE не влияет на GAZP 1243 -0.028 0.9777 принимается
LKON не влияет на BANE 1243 2.9132 0.0005 отвергается
BANE не влияет на LKON 1243 -0.3971 0.6914 принимается
Значимость коэффициентов регрессии (2) j3\ и 71 определяется по t-критерню Стьюдента. Сравнивая фактическое (третий столбец) и табличное значение f-статистики (1тадл.(а = 0,05;?? > 130) = 1,96), делается вывод о принятии гипотезы Hq (пятый столбец), т.е. если вероятность ниже 0,05 (четвертый столбец), то это доказательство того, что гипотеза должна быть отвергнута.
Таким образом, по результатам теста Грэнджера можно сделать ряд обобщающих выводов. Наибольшее влияние на отраслевой индекс RTSog из числа рассматриваемых компаний оказывает LKON — компания №2 среди частных нефтяных компаний по размеру доказанных запасов углеводородов, которой принадлежит порядка 18% общероссийской добычи и переработки нефти.
Компания GAZP на протяжении этих лет не подвержена влиянию других компаний и рынка в целом, в то время как курс ее акций влияет на курсы акций LKON и BANE. Это объясняется ее особым положением на рынке, как компании приближенной к правящей властной элите. ОАО «Газпром» можно рассматривать как лидера рынка, но только с политической точки зрения, что подтверждает тест Грэнджера, если в качестве индикатора фондового рынка рассматривать индекс ММВБ.
Лидером среди указанных компаний является LKON, акции которой оказывают влияние на индекс RTSog. Именно ОАО «Лукойл» принадлежит наибольшее число инноваций в области добычи и переработки нефти. Компания активно занимается геологоразведкой, открывая ежегодно в среднем 12 месторождений и 14 залежей нефти за рассматриваемый период.
Компания BANE не влияет ни на кого из данного списка, так как является небольшой региональной компанией, акции которой относятся к акциям второго эшелона.
С практической точки зрения важно знать не только о наличии влияния, но и иметь сравнительные оценки степени влияния тех или иных акций, которые можно получить по регрессионной модели с первыми разностями курсов акций в качестве зависимых переменных. Однако нельзя рассчитывать на то, что она позволит эффективно прогнозировать курсы одних акций через другие, используя только данные теста Грэнджера.
Таким образом, тест Грэнджера может эффективно использоваться для определения наличия взаимозависимости между курсов акций, особенно при рассмотрении большого числа участников рынка, когда требуется, прежде всего, установить сам факт наличия причинно-следственной связи. В этом случае данный метод даст возможность существенно сузить область поиска возможных регрессоров и, в частности, определить лидеров рынка.
Список литературы
1. Бокс Дж., Дженкинс Г.М. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1972.
2. Носко В.П. Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. М.: МФТИ, 2002. 273 с.
3. Ващилко Т.В., Перминов С.Б. Эконометрический анализ взаимовлияния курсов акций технологического сектора фондового рынка // Экономика и математические методы. 2001. Т. 37, № 1. С. 103-111.
4. Dickey D.A., Fuller W.A. Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root // J. of the American Statistical Association. 1979. № 74. P. 427-431.
5. Granger C. W.J. Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-spectral Methods // Econometrica. 1969. V. 37, № 3. P. 424-438.
6. Said, E.S., Dickey D.A. Testing for Unit Roots in Autoregressive-Moving Average Models of Unknown Order // Biometrica. 1984. V. 71, № 3. P. 599-607.
7. Dickey D.A., Pantula S.G. Determining the Order of Differencing in Autoregressive Processes // J. of Business and Economic Statistics. 1987. Ш 5. P. 455-461.
Поступило 23.11.2008
Дубровин Станислав Сергеевич ([email protected]), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Research of cause-effect relation at operations on the stock market
S.S. Dubrovin
Abstract. Article is devoted to the research of cause-effect relation between share prices and to revealing of leaders of a stock market by means of Granger’s test. The relevance of the theme is caused by requirement for applied scicntifically-economic toolkit at operations on a stock market. Reliability of the received results checked out by experimental calculations on the real market information presented in a tabular kind.
Keywords: Granger’s test, time series, stationarity, autoregressive model, cause-effect relations, Dicky-Fuller’s test.
Dubrovin Stanislav ([email protected]), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
