Исследование поведения произвольных пластических полигональных пластин со свободным отверстием при их динамическом деформировании Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.4+539.37

Ю.В. Немировский, Т.П. Романова

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ПЛАСТИН СО СВОБОДНЫМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ ИХ ДИНАМИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ

Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН

В рамках модели идеального жесткопластического тела рассмотрен динамический изгиб произвольной полигональной шарнирно опертой или защемленной пластины с произвольным внутренним свободным отверстием под действием динамической нагрузки высокой интенсивности взрывного типа. Решения могут быть использованы в различных инженерных расчетах.

Ключевые слова: идеальное жесткопластическое тело, пластина, нагрузка взрывного типа, динамический изгиб, инженерные расчеты.

В рамках модели идеального жесткопластического тела и на основе общих идей, изложенных в [1], рассмотрим пластину с выпуклым n -угольным произвольным контуром L, у которого каждая сторона LiX (i = 1,...,n) шарнирно опертая или защемленная. Длина LiX равна ai, угол между Li_i 1 и Lii равен фг-. В центральной части пластина имеет произвольное свободное отверстие L2 (рис. 1). На пластину действует равномерно распределенная по поверхности динамическая нагрузка взрывного типа высокой интенсивности P(t), которая характеризуется мгновенным достижением максимального значения Pmax = P(0) в начальный момент времени t = 0 с последующим быстрым ее уменьшением.

Рис. 1 Рис. 2

Для такой пластины возможны две схемы деформирования в зависимости от Ртах [1]. При нагрузках, не превышающих предельные ("низких" нагрузках, Ртах < Р0 ), пластина остается в покое. При нагрузках, незначительно превышающих предельные ("средних" нагрузках, р < Ртах < р), схему движения пластины можно представить в виде областей 8 (/ = 1,...,п), которые жестко вращаются вокруг опорных участков Ьц с угловой скоростью а^ (рис. 1). Области 8 разделены кусочно-линейными пластическими шарнирами. Назовем

© Немировский Ю.В., Романова Т.П., 2010.

схему при "средних" нагрузках схемой 1. При достаточно высоких значениях Pmax ("высоких" нагрузках, Pmax > р ) схема 1 переходит в схему 2 (см. [1]), в которой деформирование пластины сопровождается возникновением в областях Si (возможно, не во всех) нестационарных пластических линейных шарниров /■, движущихся поступательно (рис. 2). В схемах 1 и 2 нормальный изгибающий момент на внутренних шарнирных линиях равен предельному моменту Mо ; на участке Ьг1 (i = 1,...,n) он равен Mnn = -(1 )M0 , где = 0 при защемлении Lii и ^ = 1 при его шарнирном опирании.

Уравнения движения пластины получим из принципа виртуальной мощности с использованием принципа Даламбера [1]:

K = A - N, (1)

K = JJ рйй ds , A = JJ P(t)й ds, (2)

S S

N = IjMje*Ld/m. (3)

m /

Здесь K, A, N - мощности инерционных, внешних и внутренних сил соответственно; S - площадь; р - поверхностная плотность материала пластины; и - прогиб; /т - линии

разрыва угловых скоростей; Mm - изгибающий момент на /т; [0* ]m - разрыв угловой скорости на lm; d/m - элемент линии lm. Величины с верхним индексом " * " - допустимые ско-

□

рости, () = д/ dt.

Рассмотрим подробно схему 1. Обозначим длину линейных внутренних шарниров в области S. через dj (i = 1,...,n, j = 1,...,4), а их угол наклона к участку контура L1i - через

£>jj (рис. 1). Тогда

dij = di-ik+1-j, £,у + £i-\,k+1-j =Ф/' (г = n' j = 1,...,k/2)' (4) где k = 4 для схемы 1 (и k = 6 для схемы 2). Везде считается = .

В каждой области Si введем декартовую систему координат (x., y.), в которой ось хг проходит по стороне Ьг1, а ось y. направлена внутрь пластины (рис. 1). Начало координат (x., y.) выбирается произвольно на участке Ьц . Тогда скорости прогибов пластины для схемы 1 будут представлены в виде:

(xi, Уг) е Si: й(xi, у., t) = ai(t)УУ . (i = n ). (5)

Выражения (2), (3) принимают вид:

n n

K = р£ aicl* JJ y, dyidxi, A = p(t)£ a* JJ yidyidxi, (6)

i=1 S i=1 S

N = M0£ a i [a. (1 -4 ) + £ (dij cos £ j )] = M0 £ a . [a. (2 - ) - bt ], (7) i=1 j=1 i=1

где bt (t) - проекция на контур Ьц свободной границы области S. , которая является частью контура L2 (рис. 1):

k

Ь (t) = at -£ djj (t) cos £ j (t) (i = 1,..., n, k = 4 или 6).

j=1

Подставляя выражения (6), (7) в (1), учитывая независимость a *, получим

раг-JJyfdyidxi = P(t)JJyidyidxi -Mo [ai (2) -b ]. (i = 1,...,n ). (8)

Si St

Условие непрерывности скоростей на границах областей Si (i = 1,...,n) дает

áidii sin Ъл = ái-idiisin £>i-1,4>

тогда справедливо

ái = ái-i Sin ^i-1,4 / sin . (i = 1,...,П -1). (9)

Начальные условия для á i, á i имеют вид

á i (0) = ái(0) = 0. (i = 1,..., n ). (10)

Величины dj , t)ij (i = 1,...,n, j = 1,...,4 ) в общем случае являются функциями времени. Система (8), (9), (4) с начальными условиями (10) и dj (0) = d0, Ej (0) = описывает по-

ведение пластины при деформировании по схеме 1. Начальные значения , Ер определя-

ij ij ij

*ч' ^i]

ются в зависимости от величины Ртах, как это будет показано ниже.

Предельную нагрузку Ро определим из (8) при а ; = 0 (/ = 1,..., п ). Тогда получим Р = Мо [а (2-Л;) - Ь; ] / Л . ( / = 1,..., п ). (11)

Из (11) имеем следующие п—1 равенств:

а/(2 —Л ) — Ь _ (2 — Л+1) — Ь;+1

JJ Уфа JJ У1+А+А+1

(i = 1,..., n -1) (12)

St S+1

Из (4), (12) можно все функции , Е. выразить через одну, например, Е11 :

й. = (Еп), Ер = О.(Е11). (/ = 1,...,п, ] = 1,...,4). (13)

Тогда из (11) следует, что предельная нагрузка Ро равна

Ро = Мо тт [«1(2 — Л1) — Ь ] / ДО У1ФА, (14)

где величины й., Е1., определяющие область 81, выражены через Е11 . Значение функций , Ер (/ = 1,...,п, р = 1,...,4 ) при действии предельной нагрузки Ро обозначим через йр, Ер . Тогда величина Е определяется как значение Е11, на котором реализуется минимум в выражении (14), а остальные йр, Ер определяются по Ер из соотношений (13).

Начальные значения , Е° (г = 1,...,п, р = 1,...,4 ) для схемы 1 определяются по Ртах из (4) и системы (11) при t = о, которая примет вид (где 8г° - это 8; при t = о):

Ртах = Мо [аг (2 — Лг) — Ь/ ] / Я УАА . (г = 1,..., п ).

Рассмотрим схему 2 (рис. 2). Обозначим часть области между отрезками Ьц и Ц через , а оставшуюся часть - через 2^ (г = 1,...,п). Поскольку шарнир Ц движется поступательно, то все его точки движутся с одинаковой скоростью, которую обозначим через ). Из непрерывности скоростей на следует, что ¡; ||Ьг1 , и расстояние между Ьг1 и I;

не зависит от координат (хг, у г), а является только функцией времени. Обозначим скорость поворота области 2 а вокруг шарнира Iг через ||. Тогда скорости прогибов пластины для схемы 2 будут представлены в виде:

(X,Уг) е 2ц : и(Х,,у,г) = аг(г), (/ = 1,...,и). (15)

(Ъ, У!) е ^ : и(Ъ, Уг, О = X (О + 1 (0(У " Б) •

Уравнения движения пластины для схемы 2 получим из (1). Если шарниры Ц возникли во всех областях 8г, то выражения (2) имеют вид:

.* гг ,.2,

i=1

* = р£ {ä-ä ■ JJ y1idyidxi + JJ [ß, (y, - Dj) + тиР,- ] [ß; (y, - Df) + iv* ] dy, dx,} =

Zi1 Zi 2 n

= p£{äiä ■ JJ y2dy-dxi +ß* [ß, JJ (y- - Di)2 dy-dxi +

i=1

Z i

+t- JJ СУ- - Di) dyidxi ]+[ßi JJ СУ- - Di)dyA-+^^^ JJ dyi dxi ]},

(16)

A = P(t)£ (X; JJ y-dy-dx, + i; JJ dy-dx- + ß; JJ (y, - D- )dy, dx- ].

(17)

i=1 Z,1 Z, 2 Z, 2

Учитывая что [0 ]/ = аг- -|3г , а аг- >|г- (г = 1,...,и) (как и в [1, 2]), получим, что полная мощность внутренних сил (3) имеет выражение

и Г

N = Мо£ а*(2-Лг)а-РгЧ-] • (18)

г=1

Подставляя выражения (16) - (18) в равенство (1) и учитывая независимость функций а*, |*, щ, получим следующие уравнения: (/' = 1,...,и)

Рсг Л У^Уг^ = Р^) Л УгФг^г - Мо (2 - Лг )аг, 2а

Pßi JJ (Уi - Di) dy-dxi + РТ JJ (Уi - Di )dy-dxi = Zi2 Zi2 = P(t) jj (y{ - d )dy-dxi + Mob,

Zi 2

pßi jj( у,- - Di )dy-dxi+PTi jj dy-dxi = p(t) jj dya-.

(19)

(20)

z,.

Z,-

-'i 2 Zi 2 Zi 2 После преобразований уравнения (20), (21) приводятся к виду: (i = 1,..., n)

pßi = Mob,- jj dy-dx- / 6,-,( ^^^ = JJ dy-dx- JJ yf dy-dx- - ( JJ y-dy-dx- )2 > 0 ) Zi 2 Zi 2 Zi 2 Zi 2 PT = P(t) -Mob jj (y, - D, )dy,dx, / ^^.

(21)

(22) (23)

Из непрерывности скоростей на границах областей и , 2^2 и 21-12 имеем ¿гД- = , (/ = 1,..., и) (24)

1 = Рг-1^г > ¿г = ¿г-1®г > (25)

где функции уг, юг зависят от геометрических размеров областей , 2 .

Система уравнений (19), (22) - (25), (4) описывает поведение пластины в случае деформирования по схеме 2. Начальные условия имеют вид (10) и

| (0) = |г (0) = щ (0) = х,. (0) = 0 (г = 1,..., и). Нагрузка Р1 , при превышении которой реализуется схема 2, и начальные значения Д0 = Б(0) , , (г = 1,...,и, j = 1,...,4 ) при Ртах > Р1, определяются далее.

n ,-

Z

г 2

Возможно, что при Pmax > р шарнир возникает не во всех областях Si. В тех областях S ■, где шарнира l ■ нет, движение описывается уравнениями схемы 1: (8), (9), (4) при

соответствующих значениях i = j . В остальных областях поведение описывается уравнениями схемы 2: (19), (22) - (25), (4). Из условия непрерывности скоростей на границе областей Sj, движущихся по схеме 1, и областей Sk, деформирующихся по схеме 2, получим:

ák =áj 5k, Pk = áj Kk,

где 5k , кk - функции от геометрических размеров областей Sj и Sk .

При отсутствии отверстия ( b = 0, i = 1,..., n ) области Zt 2 сливаются в одну область и, как видно из (23), движутся поступательно с одинаковой скоростью wi = P(t)/ р.

Рассмотрим определение нагрузки Pi. Пусть пластина в силу симметрии имеет в схеме 2 три типа областей, например, как на рис. 3, где фг- = ф = const (при ф = л/2 пластина будет прямоугольной). В схеме 2 на рис. 3 шарнир l1 возник в области S1 и разбил ее на две области Z11 и Z12 , а в области S2 такого шарнира нет. Пусть P11 - нагрузка, при превышении которой пластина начнет деформироваться таким образом. Поведение определяется уравнениями (8) при i = 2 и (19), (22) - (24) при i = 1 и

á 1 = á 2 slnfa - £11) / sin £11, (26)

Pi =á 2sin^-£12)/sln £12, (27)

£1 j +£2; =Ф, (j = 1,2), (28)

где á 1, á2, P1, W1, D1, £ij (i, j = 1,2 ) - девять неизвестных функций времени.

Рис. 3 Рис. 4

Дифференцируя (24) при I = 1 по времени, имеем выражение

¿¿! £>1 + (х 1Б = ,

которое подставляем в (23), (19) при / = 1. При ? = 0 из полученного равенства следует

(2 -Л1МА0 - Ь Я Ц (У1 - Д0)^ / 0?

Р 70 70

-*- ШОУ ¿11

M,

0

D0 JJ yldyldxl - JJ y2dyxdxx

Zii Zii

где верхним индексом 0 обозначены области и функции при t = 0. Дифференцируя (26) по времени, имеем равенство

сх1 = ¿¿2 sin(9-£11)/sinЕ11 -СХ2£11 sinф/ sin2 Е11 ,

которое подставляем в (19) при г = 1 и (8) при г = 2. При t = 0 из полученного выражения следует

(2 - Г )а1 Л у2^2^2 - [а2 (2 -Л2) - Ъ2 ] 8Ш(фе0^11) Л У^У^

Р Б 0 б1П

7"

тах _

М° И ЛФА Л у2^2^2 - 51П(ф-0^11) Л У2^2^*2 II У^А

г» Ч0 81П £11 Ч0 2°

Дифференцируя (27) по времени, имеем выражение,

р1 = а2 зт(ф - £12 - а2£12 81п ф / 81п2 £12 ,

которое подставляем в (22) при I = 1 и (8) при I = 2. При t = 0 из полученного соотношения следует

(2 -Л2 ) - Ъ2 + Ъ 81п £°2 Л Л У22^2^2 / [81п (Ф - £°2 Х^ ]

(30)

Р 70 Г.0

тах _ 212 б2

М0 II У2dy2 ¿Х2

. (31)

Поскольку при Ртах = Р 1 схема 1 переходит в схему 2, то при этом должно выполняться условие ¿1 =01. Тогда из этого равенства и (19), (22) при г = 1 получим

|| уру^х = (2 -гц М + Ъ Л У12ФА11| ёу^ / $, (32)

М 0 7ъ 7Ъ 7Ъ

где верхний индекс Ъ обозначает, что области и функции определены при Д = Д , £гу = £Ъ (г, 7 = 1,2 ), которые являются значениями Д и £гу при нагрузке Ртах = Рп .

Из системы уравнений (29) - (31) при Ртах = Р11 и (32), (28) определяются значения Р11, Д, ^ (г,7 = 1,2). А из системы (28) - (31) по величине Ртах определяются начальные

тл0 е0 значения Д , £г]-.

Поскольку заранее неизвестно, в какой из областей Б или £2 возникнет пластический шарнир /1 или ¡2, соответственно, то следует также рассмотреть случай, когда сначала в области £2 возникает пластический шарнир ¡2, а в области £1 его нет. Нагрузку Ртах, соответствующую появлению шарнира ¡2 в области £2, обозначим через Р12 . Величина Р12 определяется аналогично вычислению значения Рц . Тогда

Р = т1п( Рп, Р12).

При нагрузке Ртах > Р возможно возникновение пластического шарнира ¡1 (или ¡2 ) и в той области Б (или £2 ), в которой его не было при Ртах = Р (рис. 4). Поведение пластины в этом случае описывается уравнениями (19), (22) - (24) при г = 1,2, (26), (27), (28) при 7 = 1 - 3 и

01 = 02 ®1п(ф - ^13 ) / 81п £13 ,

где углы £13, £23 изображены на рис. 4. Нагрузка Р2, соответствующая началу развития схемы 2 с шарнирами ¡1 и ¡2 , изображенной на рис. 4, вычисляется аналогично нагрузке Р11 , учитывая, что при этом выполняется а 2 =02.

Уравнения, описывающие динамическое поведение пластины, решаются численно методом Рунге-Кутта. Для одинаково закрепленного правильного полигонального контура такой анализ подробно рассмотрен в [2].

б»

2

Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума СО РАН (Постановление № 10 от 15.01.09, номер проекта 15).

Библиографический список

1. Немировский, Ю.В. Моделирование динамического поведения жесткопластической криволинейной пластины с произвольным свободным отверстием / Ю.В. Немировский, Т.П. Романова // Теоретическая и прикладная механика: Международный научно-технический сборник, Белорусский Национальный тех. ун-т. 2007. № 23. С. 26-34.

2. Немировский, Ю.В. Динамика жесткопластической правильной полигональной пластины с отверстием под действием взрывных нагрузок / Ю.В. Немировский, Т.П. Романова // Краевые задачи и математическое моделирование: сб. ст. 9-й Всероссийской науч. конф. - Новокузнецк. 2008. В 3 т. Т. 1. С. 93-97.

Дата поступления в редакцию 09.11.2010

Y.V. Nemirovsky, T.P. Romanova PHYSICAL MODELING OF VESSEL MOTION IN BROKEN ICE

In the framework of ideal rigid-body discussed dynamic bending of the plate. Consider a plate with an arbitrary inner hole that is under the influence of dynamic loading of high-intensity explosive type. Solutions can be used in a variety of engineering calculations.

Key words: ideal rigid body, plate, load of explosive type, dynamic bending, engineering calculations.