CC BY
22
Проблемы передачи и обработки информации
УДК 621.396.969.181.34
Ю.Е. Сидоров, A.B. Шумилов
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ РАНГОВОГО ОБНАРУЖИТЕЛЯ СИГНАЛОВ ПРИ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Построение радиотехнических систем оптимального обнаружения, классификация и оценка параметров сигнала требуют наличия большого числа априорных данных, которыми разработчики систем в действительности не располагают. Отсутствие априорных данных — априорная неопределенность — может рассматриваться как специфический вид помех, и эффективная борьба с ними должна осуществляться специальными средствами [ 1 ].
В теории оптимального статистического синтеза сегодня широко используется байесовский подход, базирующийся на критерии минимума среднего риска [1—3]. Последовательная реализация этого подхода к решению задач обнаружения или различения сигналов и оценки их параметров, даже если преодолены математические трудности, обусловливает необходимость для каждого типа сигналов и помех и способа их комбинирования иметь, вообще говоря, свое специальное приемное устройство, что на практике осуществить практически невозможно. И потому приемное устройство, спроектированное оптимальным образом для аддитивных нормальных помех, может оказаться существенно менее эффективным при неаддитивных помехах, распределение которых к тому же заметно отличается от нормального.
Возникает проблема поиска структур оптимальных приемных устройств, устойчивых к изменению априорной информации о сигнале, помехе и способе их взаимодействия.
Описание алгоритма обнаружения
Рассмотрим построение правила оптимального обнаружения флуктуирующего сигнала в виде последовательности импульсов с неизвест-
ными параметрами и законом флуктуаций в аддитивных шумах с неизвестными распределениями и дисперсией [4, с. 86]. Правило основано на сравнении колебаний, принимаемых от т = 2 смежных участков разрешения по дальности или по углу. Исходной выборкой служат статистически независимые отсчеты £/|, и ^огибающих колебаний (некогерентная обработка) с выхода детектора приемника соответственно в первом и во втором участках, / = 1,п, где п — число наблюдений. Просмотр дистанции осуществляется с помощью последовательного метода, причем появление сигнала допускается только в одном из участков. Присутствие сигнала в каком-либо участке наблюдения приводит к стохастическому возрастанию соответствующей величины у'=1,2, по сравнению с другой.
Задачу обнаружения сформулируем как задачу проверки сложной гипотезы Я о равенстве распределений величин ¿У, и £/2 (сигнала нет) относительно сложной альтернативы К, состоящей в том, что одна из величин £/, или И2 стохастически больше другой (сигнал есть либо в первом, либо во втором участке дальности).
Проблема проверки этих гипотез инвариантна относительно всех преобразований вида
=£,(£/,), и1 =£2(^2)- где £ ~ любая непрерывная и монотонная функция. Максимальным инвариантом относительно этих преобразований служит совокупность рангов величин £/, и П2, взятых как элементы одной выборки. Ясно, что для и и2 можно указать только два ранговых вектора: первый (г, = 1, г2 = 2) и второй (г, = 2, г2 = 1), где г, и г2 — ранги величин и Щ. Если над С/] и и2 производится п наблюдений, то среди них имеется х, наблюдений, дающих первый ранговый вектор (первый исход), и х2 = я - х,
наблюдений, дающих второй ранговый вектор (второй исход). Обозначим через р = (р1 ,р2) вероятность этих исходов.
В отсутствие сигнала равновероятно получить первый или второй ранговый вектор и ги-
потеза Я : р — л, где л = (я,, л2) =
2'2
сигнал есть в одном из участков, то альтернатива К:р*п(либор2 >Р\,Р\ ир2априорно неизвестны). Таким образом, задача обнаружения свелась к проверке таких гипотез, для которых оптимальное правило проверки удается получить лишь в предположении неограниченного объема наблюдений, т. е. при л да [5]. Такое правило будет асимптотически оптимальным.
Последовательностями альтернатив р}"\ стремящихся к лу = 1/2, при л-» да, у = 1, 2, которые отражают наиболее интересные стороны поведения функции мощности состоятельного правила и дают полезную аппроксимацию действительной мощности при больших, но конечных л, являются те, для которых >/п(/?/<") — л,) имеет нулевой предел, так что р-п)=л^+А,/ у/п + где л/й, Л„-»0при л->да, д, = 1/2, у = 1, 2-
Пусть у = (х- л-л,) / 4п-(х, - л/2) / у/п[5]. При л да распределение/>(у) стремится к нормальному распределению со средними Е{у) = О при гипотезе Яи Е{у) = Д| при альтернативе К и с дисперсией ст2 = л((1 -л,)= 1/4 в обоих случаях,
т. е. к р(у) = ^ехр{-2(>>-А,)2}. Тогда проверяемые гипотезы Яи К принимают вид: Я: Д, = 0;
Д, * 0. Равномерно наиболее мощное несмещенное (РНМН) ранговое правило проверки гипотезы Явэгой асимптотической модели имеет форму [5]:
Ф(>0 =
1 при у < С, или _у>С2; у, при у~С},] = 1, 2; О при С, < у < С2,
где С= С| = С2 (из-за симметричностир{у) относительно точки у= 0 при гипотезе Я) и у находятся по заданной а (вероятность ложной тревоги) из условия
70
ъ = 2\рн(у)<1у.
Здесь интеграл берется по распределению^ при Я : Д, = 0. Из представленных выражений
видно, что полученное правило не зависит от неизвестных распределений принимаемых сигналов и шумов и от их параметров и поэтому оп-
ределяет (с учетом того, что у-
*,-§ /Л,
Если
структуру работоспособного в условиях непараметрической априорной неопределенности обнаружителя. Он состоит из блоков выделения величин £/| и и2 (линейный тракт приемника, л и нейный детектор); блока ранжирован ия, в котором происходит сравнение величин {У, и и2 и образование их рангов; устройства вычисления
у- - — /у/пи блоков сравнения с нижним
Ч 2,
и верхним порогами. При превышении нижнего порога принимается решение о том, что сигнал находится в первом участке, а при превышении верхнего порога принимается решение о нахождении сигнала во втором участке.
Огмстим, что правило также справедливо, если подсчитывается число исходов х2 вместо х,.
Функция мощности РНМН правила может быть вычислена при условии задания конкретных распределений наблюдаемых величин £/, и С/2 при альтернативе Ки будет зависеть только от параметра Д|. Например, пусть распределения и и2 равны (¿/(/ст2)ехр(—{/,/2о?) и (£/2/ст2)ехр (— £/2/2ст2) соответственно, где ст; = ст2 + е2 и а2 = = о% если сигнал присутствует в первом участке, и ст2 = ст2 ст2 = ст2 + е2, если сигнал присутствует во втором участке, а ст2, ст2 — неизвестные дисперсии импульсов, отраженных соответственно от первого и второго участков, на выходе линейного тракта приемника (ЛТП); ст2 и е2 — неизвестные дисперсии шума и сигнала на выходе ЛТП. Тогда, если ст2 = ст2, ст2 = ст2 + е2, пара-
метр А, =■
ду/п
2(2 + д) описываться выражением
функция мощности будет
Р(?) = 2-ф
Ф"
2
ду/п
2+д
ду/п 2 + д
глед = г2/а2 — отношение сигнал/шум; а - вероят-
ность ложной тревоги; ф(^) =
Т2л
}ехр[ -V
А-
ф - функция, обратная ф(г) [6].
I
Проблемы передачи и обработки информации
Итак, полученное РНМН ранговое правило обнаружения флуктуирующих сигналов в шумах с неизвестными распределением и мощностью не зависит от априорных сведений о сигналах и шумах, имеет стабильную вероятность ложной тревоги при любой мощности шума, максимальную вероятность правильного обнаружения и удобно для реализации в автоматических системах обработки гидролокационной информации.
.Алгоритм моделирования обнаружителя флуктуирующего сигнала
Для моделирования обнаружителя используем новое направление в оценке эффективности и работоспособности радиотехнических систем, связанное с проведением машинных имитационных экспериментов на основе метода статистического моделирования (метода Монте-Кар-ло). Привлекательность этого направления обусловлена уникальной возможностью получения конструктивных результатов испытания модели реальных процессов и систем (как правило, сложных) в их взаимодействии с изменяющейся окружающей средой в течение длительного времени. Эти модели могут быть развивающимися, а путем изменения их параметров можно спрогнозировать работоспособность радиотехнических систем. В предыдущей статье [7] метод статистического моделирования был успешно применен для исследования работоспособности непараметрического обнаружителя Манна — Уитни. Были определены этапы имитационного моделирования вплоть до анализа их результатов.
В данной статье обобщен опыт имитационного моделирования представленного рангового обнаружителя флуктуирующих импульсов с неизвестными параметрами и законом флуктуаций в шумах с неизвестными распределениями идис-персией.
Алгоритм моделирования обнаружителя флуктуирующего сигнала имеет следующий вид:
1. Образование независимых случайных величин иии 117г которые соответствуют двум элементарным участкам дальности, причем сигнал может присутствовать только в одном из этих участков.
2. Сравнение величин ¿7,,-и и образование их рангов.
3. Определение порога С— С, = С2 и вероятности 0 1.
4. Вычисление у— (х, — л/2)/ч/л и сравнение полученного значения с порогом С.
5. Вычисление вероятности событий, заключающихся втом, что.у> С,у< Силиу= С, путем ¿У-кратного повторения операций 1,2, 3 и 4 при определенных п и а для каждого отношения сигнал/шум ц.
Схема рангового обнаружителя приведена на рис. 1. Здесь введены обозначения: Д — детектор, ВР — вычислитель рангов, УЗОВ — устройство запоминания опорной выборки, СС — схема сравнения, СИ — счетчик инверсий, ВРС — вычислитель ранговой статистики, ЗУ — запоминающее устройство, ПУ — пороговое устройство, С — сигнал. Блок-схема моделирующего алгоритма приведена на рис. 2.
Анализ полученных характеристик
В монографии [4, с. 87] дается следующее соотношение для вычисления вероятности ложной тревоги:
X
Р<\у\>С) = 2\рн(у)с1у.
с
Интеграл берется по распределению .у при
Я: Д, = 0.
Рис. 1. Схема рангового обнаружителя
Получение случайных величин 1]\, и и2,
Сравнение величин I!и 1/2, и образование их рангов
Вычисление
У =
1 2)
Сравнение у с порогом С
^-кратное повторение
проделанных операции
У г
Расчет вероятности правильного
обнаружения Р(<7)
В случае справедливости гипотезы отсутствия сигнала проведение наблюдения фактически соответствует опыту с подбрасыванием монетки: "орел" — выпал ранговый вектор (1,2), "решка" — вектор (2, 1). Как известно, вероятность появления "орла" или "решки" равна 1/2, а величина, определяющая количество выпавших, например, "орлов", подчиняется биномиальному распределению. Таким образом, )= = (1/2 )"С„\
Вел ич ина у я вл яется линейным преобразованием от величины х,. Получим
Р{у) = (\/2)пС?У,Г
Отсюда
Рис. 2. Блок-схема моделирующего алгоритма
Как упоминалось выше, в асимптотическом случае, т. е. при п -> <ю, распределениер{у) стремится к нормальному распределению
р{у) = ^ехр |-2(у - А, )2} со средним Е(у) = Д, и с дисперсией о2 = я,(1 — я,) = 1/4. Таким образом, рн (>0 = ехр{-2у2}. Однако при малых п
данная формула несостоятельна, и применение ее вызовет ошибки в определении вероятности ложной тревоги. Поэтому требуется вывести точную формулу для вычисления /'([у! > С) при конечных п. Произведем расчеты.
С,Х"
Очевидно, что из-за симметричности распределения относительно нуля Р(у > О - Р{у < —С). Отсюда
Р(\у\ > С) = 2Р(у > С) = 2 X (1 / 2УС^- .
г,хг
Следует отметить, что один из минусов дискретных статистик при конечном ограниченном п — невозможность достижения сколь угодно малой вероятности ложной тревоги а. Чем больше п, тем меньше минимальное значение а. Очевидно, чем выше порог решающего устройства, тем ниже вероятность ложной тревоги. Минимальное значение достигается при максимально возможном пороге, который соответствует случаю, когда либо Х| = л,либох2 = п. Вероятность этого события в отсутствие сигнала Р= 2( 1/2)". Таким образом, минимально возможное п, при котором обеспечивается заданная вероятность ложной тревоги а, определяется из соотношения 2( I/2)"ти < а. Логарифмируя обе части этого неравенства, можно получить
Для моделирования рассмотрим два случая, в первом количество отсчетов п = 20, во втором п = 50. На основании полученных выше соотношений была составлена таблица, значения Сиу из которой используются при дальнейшем моделировании.
Проблемы передачи и обработки информации
Данные для моделирования
п га с У
20 ю-' 0,894 0,793
20 10"3 1,342 0,803
50 ю-' 0,849 0,65
50 ю-2 1,273 0,389
Измерения производились в приложении БтиПпк математического пакета Ма^аЬ 1*20081). Для расчета зависимости вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал/шум было произведено 103 испытаний. Зависимости вероятности правильного обнаружения р
от отношения сигнал/шум <у = 10 представлены на рис. 3.
Итак, рассмотренный оптимальный ранговый обнаружитель флуктуирующих сигналов в шумах с неизвестными распределением и мощностью не зависит от априорных сведений о сигналах и шумах, имеет стабильную вероятность ложной тревоги при любой мощности шума, максимальную вероятность правил ьного обнаруже-ния и удобен для реализации в автоматических системах обработки радиотехнической информации.
Опыт статистического имитационного машинного моделирования обнаружителя флуктуирующего сигнала показал, что оно является удобным и надежным средством определения эффективности (вероятности правильного обнаружения) обнаружителя при различных вариациях параметров сигнала и помех, отражающих изменения реальных ус-
Рис 3. Вероятность правильного обнаружения
(---) — а = КГ1, п = 50;
(-) - а = КГ2, я = 20;
(— —) — а = Ю-1, п = 20; (— .. —) — а = Ю-2, п =50
ловий радионаблюдений. Поэтому статистическая имитация на ЭВМ может быть рекомендована разработчикам систем обнаружения для оценки эффективности этих систем еще на стадии проектирования, что позволит сэкономить время и материально-технические ресурсы при проведении натурных испытаний этих систем. Приведенное описание машинного эксперимента с ранговым обнаружителем флуктуирующих импульсов может оказаться полезным при создании конкретных устройств.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левин Б.Р. Оптимальные алгоритмы обнаружения сигналов, устойчивые к изменению априорных данных // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1970. Т. 13, № 2. С. 109-121.
2. Мидалтон Д. Введение в статистическую теорию связи: В 2 т. М.: Сов. радио, 1962. Т. 2. 831 с.
3. Цикин И.А. Оптимальная обработка сигналов в радиотехнических системах: Учеб. пособие / ЛПИ им. М.И. Калинина. Л., 1986. 77 с.
4. Сидоров Ю.Е. Статистический синтез автоматизированных решающих систем при априорной неопределенности. М.: Воениздат, 1993. 231 с.
5. Лемаи Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1964. 498 с.
6. Прокофьев В.Н. Асимптотический оптимальный обнаружитель флуктуирующих сигналов в шумах неизвестной интенсивности // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1971. Т. 14, № 6. С. 626-632.
7. Сидоров Ю.Е., Шумилов A.B. Исследование непараметрического обнаружителя радиосигналов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика, телекоммуникации, управление. 2008. № 6. С. 78-85.
