Исследование оптимальной формы несущих тел в гиперзвуковом потоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м III 197 2

№ 3

УДК 533.6.011.5:629.7.025.1

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ НЕСУЩИХ ТЕЛ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

В. П. Кутухин, Л. Д. Федорова, Б. А. Эльгудина

Приводятся результаты исследований оптимальной формы несущих тел при заданных геометрических ограничениях — объеме, длине, размахе. Давление на поверхности тела определялось по формуле Ньютона, а трение считалось постоянным и независимым от формы тела.

При простейших способах вычисления аэродинамических сил, как правило* не учитываются эффекты взаимодействия элементов компоновки, ударных волн* пограничного слоя и т. п. Естественно, что при этом рассматриваются в основном простые формы, а полученные результаты представляют собой приближенные оценки характеристик и указывают общие тенденции, требующие дополнительной экспериментальной проверки.

л В общем случае задача нахождения оптимальной формы несущего тела при заданных ограничениях сводится к решению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому обычно делаются некоторые дополнительные предположения, позволяющие получить решение вариационных задач аналитическими или численными методами. Например,дополнительные предположения могут сводиться к выбору схемы или класса тел, в котором ищется решение.

Этот выбор может быть основан на эмпирических данных или быть предметом самостоятельного исследования. При этом могут учитываться не только требования аэродинамики рассматриваемого режима, но и иные соображения, .например, требования теплозащиты, конструктивные ограничения и т. п. Этот этап, как правило, входит в постановку задачи и во многом определяет практическую ценность полученных результатов.

После введения дополнительных предположений задача может свестись: 1) к отысканию параметров, характеризующих геометрию тела [1—3], 2) к отысканию поверхности тела [4—6] при некоторых фиксированных геометрических параметрах, 3) к отысканию некоторых геометрических параметров и уравнений поверхностей, определяющих геометрию тела.

Применение прямых методов решения вариационных задач с предварительным заданием вида уравнений искомых поверхностей позволяет решать задачи третьего типа.

Представим уравнение верхней и нижней поверхностей несущего тела (фиг. 1) в виде

М, N

У в = ^ Ьтп ХШ 2”’

т, л=0 ЛГ, № '

Ун = £ атпХтгп.

т, п=0

(*)

Принимая угол а за неизвестный параметр, запишем выражения дйя сопротивления, подъемной силы и объема:

= cos я ||| [ср н cos (я, *) + С/ cos (т, х)] d.S +

+ J Jlcp в cos ("> х) + cf cos (т» ■*)] + siu “ |1 /[cp H cos (”> J') + C/ C0S (T> y)) dS +

+ J j [cpBcos(«, jT) + Cf cos (t, JT)] dsj ; (2)

J

_L- = cos a | j j [cp H COS (Л, y) + Cf cos (t, jT)] US +

~2~ ■■ .

. + j j \.°p в c°s (*. У) + cf cos O', 7)1 —

5B J

i a | j" f [cpH cos (я, x) + Cf cos (t, x)] dS -f j* f lcpB cos (я, x) -f Cf cos (x, д;)] dSl; ( Uh Sb J

V= f Г.. -gg- — dS — f Г......................■, & -и,- dS. (

5B l^cos (я, j/)[ 5H (cos (я, y)\

Здесь я — внутренняя нормаль к поверхности тела; х — направление касательной к поверхности тела составляющей вектора скорости; ср — коэффициент

давления, определяемый по формуле Ньютона ср — 2 cos* (о, я), в случае когда элемент поверхности находится в .аэродинамической тени“, ср принимается равным нулю; с# —коэффициент трения, принимаемый постоянным по всей pt;2

поверхности тела; —g— — скоростной напор;

’ cos (у, п) = COS (с, at) cos (л, x) -f- cos (v, y) cos (я, у)-, cos (v, лг) = cos a; cos (v, y) = sin a; cos(h, x) = + —— ?■.. —■; cos (я; у) = +------------------?-• *

У 1 +P2 + <?2 V l +Р*+ Я*

cos (?, 7) = -. -............»lna0»M-^)+/>COsa ......... ...... _ .

КО + <72) (p2 + q2 + cos2 a) -f- sin2 apt (p2 + ?2) + P sin 2a (1 +/>2 + <?2)

cos x) = cosa(l+g»)+p5ina

V (J + Я2) (P2+ + cos2 a) -f- sin2 a p2(p* -\-д2) + Р Sin 2a (1+ p2 + ?*)

as=.. d?dz....prgr-, g=-^L.

. I cos (я, 7)1

* Здесь верхние знаки соответствуют верхней поверхности, нижние-нижней.

.. Теперь задача отыскания тела минимального сопротивления при заданном объеме и подъемной силе сводится к отысканию параметров а, атп и Ьтп, удовлетворяющих изопериметрическим условиям вида (3) и (4) и обеспечивающих минимум функционалу (2). Задача оптимизации тела по максимальному аэроди-

V

намическому качеству сводится к обеспечению минимума функционала -------- при

X

изопериметрическом условии (4) и других геометрических ограничениях.

Такая постановка задачи отличается от большинства решенных аналогичных задач следующими особенностями:

1) отсутствует предположение о тонкости тела как в продольном, так и

поперечном направлениях; .

2) давление на верхней поверхности заранее не предполагается равным нулю;

3) вектор скорости не лежит в координатной плоскости и угол атаки считается искомым параметром. (В большинстве известных работ плоскость передних кромок или другой характерный элемент, принимаемый в качестве базы для системы координат искомой поверхности, заранее располагается в плоскости нулевого угла атаки.)

Используя для решения задачи ме;год неопределенных множителей Лагранжа, сведем ее к решению следующей системы нелинейных алгебраических уравнений:

____0; -J±-=0; J*_ = 0; -*1 = 0,

датп dbmn dli * да

где Ф -В

I

г

03

-функция Лагранжа; Хг — 2-й множитель Лагранжа.

качестве иллюстрации предлагаемого метода ниже приводятся некоторые результаты расчетов по определению оптимального поперечного сечения конического несущего тела при заданных коэффициенте трения,

С„ = 0,031 11°,3

\ / 0,042 11° 2

\ \ / V 0052 11“ 1

у \ч А 7/ 0,062 11° 1

// ' 0,073 11°3

// ' 0,083 11°6

0,099 12°ї

\ •

/ 1 \

ч

/ Г4

, 1 Is

II

/ 1

/ II 1

Щ к 2~ 2/ 1

г—площадь проекции тела на плоскость хг) и длине тела I.

Экстремальную задачу для конической поверхности можно свести к

0,2 \——|—^-г—|——— отысканию уравнения поперечного ’ ' сечения, описываемого полиномом по

положительным степеням г. Расчеты производились для поперечных сечений с направляющими, описываемыми уравнениями ув = Ь0 + Ьгг + Ь^г2, ун = ?= в0 + а2г2. Решение такой задачи представляет определенный практик ческий интерес.

Большинство вариационных задач для несущих тел решалось в предположении тонкости тел в продольном и поперечном направлениях

...... ...[4, 7, 8]. Предположение о тонкости

0 'М -Г 1-7* ; тела в поперечном направлении прак-

тически мало обосновано, так как оптимизируемые по сопротивлению ги-перзвуковые аппараты, как правило, ду

имеют малое удлинение и при реальных объемах-д^-~ 0(1). Имеющиеся расчетные и экспериментальные исследования поперечного контура несущих тел ограничены узким классом исследованных конфигураций [3, 6, 9].

Некоторые результаты расчетов по определению формы поперечных сечений конических несущих тел в зависимости от заданного значения коэффициента подъемной силы приведены на фиг. 2. Характерно, что при малых значениях коэффициента подъемной силы поперечный контур, обеспечивающий минимальное сопротивление, является вогнутым, причем вогнутость увеличивается при увеличении параметра объема. С ростом расчетного значения коэффициента подъемной силы вогнутость уменьшается. Трение также уменьшает вогнутость* и при больших значениях коэффициентов трения и подъемной силы поперечный контур становится выпуклым. Обеспечение высоких значений су при заданных

объеме, параметре объема

/2/3

(здесь

Фиг. 2

значениях параметра объема и трении достигается в основном изменением конфигурации поперечного контура. Угол атаки плоскости передних кромок при этом изменяется незначительно.

На фиг. 3 представлены контуры пбперечных сечений конических тел с углом стреловидности передней кромки ^ = 80°, обеспечивающие максимальное аэродинамическое качество, и их аэродинамические характеристики. Результаты расчетов поперечных контуров конических тел, обеспечивающих Ктах. показывают, что при определенных значениях коэффициента трения контур тела становится выпуклым и часть объема тела располагается ниже плоскости передних кромок.

2/3

V //- = 0,302

Предельные значения максимального аэродинамического качества и су к

оптимальных конфигураций рассматриваемого класса в зависимости от параметра объема и коэффициента трения для двух значений угла стреловидности передней кромки приведены на фиг. 4. Необходимо отметить, что у полученных оптимальных конфигураций давление на верхней поверхности положительно, что согласуется с результатами, полученными для несущих конфигураций Г. И. Майкапа-ром [4]. Эпюры распределения давления по двум контурам (фиг. 5) показывают, что на верхней поверхности величина давления и ее вклад в создание аэродинамических сил невелики по сравнению с нижней поверхностью.

Некоторые результаты параметрических расчетов по влиянию расположения

объема относительно плоскости передних кромок на значения /Стах и с.,,

> шах

приведены на фиг. 6. Расчеты проводились для контура, верхняя поверхность которого, образована пересекающимися на оси симметрии лучами, а нижняя описывается полиномом вида ун = с0 + с^г2. Результаты представлены в зависимо-

„ .

сти от переменной ш = -г;---, где Уа — объем тела, ограниченный нижнеи по-

' ПОЛИ

верхностью и плоскостью передних кромок, а Упот — полный объем тела. Полученные данные подтверждают, что даже при неоптимальных образующих контура для обеспечения максимального значения аэродинамического качества в определенном диапазоне значений параметра объема и коэффициента трения необходимо часть объема тела располагать ниже плоскости передних кромок, выполняя нижнюю поверхность несущего тела выпуклой. Заметим, что в точке экстремума функция /Стах (“) довольно полога и при небольших изменениях формы нижней поверхности, обусловленных другими требованиями (обеспечение устойчивости, минимизация тёпловых потоков, конструктивно-компоновочные требования и т. д.) потери аэродинамического качества будут относительно невелики.

В соответствии с принятой постановкой задачи передние кромки оптимальных конфигураций получаются острыми. Углы атаки плоскости передних кромок таковы, что для конфигураций с выпуклой нижней поверхностью при углах стреловидности передней кромки х — 80° и 75° скачок уплотнения будет отсоединенным в широком диапазоне чисел М. Поэтому передние кромки полученных конфигураций с выпуклой нижней поверхностью можно, вероятно, притупить без существенного увеличения сопротивления.

Фиг. 6

На основании проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1) при малых значениях расчетного коэффициента подъемной силы и при

т/'2/3

параметре объема —,— >0,25 поперечный контур конического тела, обеспечите

вающий минимальное сопротивлене, является вогнутым. При увеличении расчетного коэффициента подъемной силы и трения вогнутость уменьшается;

2) при заданном параметре объема изменение расчетного значения су приводит в основном к изменению поперечного контура при малом изменении угла атаки плоскости передних кромок;

3) поперечный контур, обеспечивающий максимальное аэродинамическое качество, при определенных значениях параметра объема и коэффициента трения является выпуклым и часть объема тела располагается ниже плоскости передних кромок. В точке экстремума зависимость /Стах 01 расположения объема довольно полога и при небольших изменениях поперечного контура потери аэродинамического качества будут относительно невелики;

4) значение коэффициента подъемной силы на режиме /Стах увеличивается при переходе от конфигураций с вогнутой нижней поверхностью к конфигурациям с выпуклой нижней поверхностью.

ЛИТЕРАТУРА

1. М а й к а п а р Г. И. О наивыгоднейшей, форме несущих тел при гиперзвуковых скоростях. Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, № 2.

; 2. Н ankey W. L., Elliott G. A. Hypersonic lifting body optimisation. AAA Paper, № 68—1157. ,

3. M i e 1 e A., Heideman'J. С., P r i t с h a r d R. E. Conical bodies of given length and volume having maximum lift-to-drag ratio at hypersonic speeds. Part 1—Direct Methods. The Journal of the Astronautical Sciences, vol. XV, No 2, 1968.

4. M а й к a ti a p Г. И. Крыло с максимальным аэродинамическим качеством., ПММ, т. 30. вып. 1, 1966.

5. Пер ми но в В. Д. Крылья с оптимальными характеристиками в гиперзвуковом потоке. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 6.

6. Н o-Y i Huang. Conical bodies of given length and volume having

maximum lift-to-drag ratio at hypersonic speeds. Part 2 — Varitional Methods. The Journal of the Astronautical Sciences, vol. XV, No 3, 1968.

7. Теория оптимальных аэродинамических • форм. Под ред.

А. Миеле. М., „Мир", 1969.

8. Майк а пар Г. И. Выбор формы крыла для гиперзвуковых скоростей. Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, № 4.

9. S р е ii с е г В. Hypersonic aerodynamic characteristics of minimum wave-drag bodies having variations in cross-sectional shape. NASA IN, D —4079, 1967

Рукопись поступила 28/IX 1971