CC BY
31
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2008. № 4. С. 35-39.
УДК 539.173
В.В. Прудников, П.В. Прудников, Е.А. Поспелов, М.В. Рычков, А.О. Шляхтин
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ КРИТИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ СТРУКТУРНО НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА
Using Monte Carlo simulations it was studied the non-equilibrium critical evolution in the three-dimensional site-diluted weakly and strongly disordered Ising model with spin concentrations p=0.80 and 0.60. The values of exponents for power-law time dependence of magnetization and the autocorrelation function were determined. The values of two independent dynamic critical exponents z and 0 were calculated. They demonstrate a good agreement with results of theoretical-field description and results of experimental investigations for weakly diluted Ising-like systems, but show visible differences with values of these exponents for strongly disordered Ising systems.
Ключевые слова: методы Монте-Карло, фазовые переходы и критические явления, сильнонеупорядоченные системы, коротковременная динамика, модель Изинга.
Данная статья посвящена численному исследованию методом Монте-Карло неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем, что представляет большой теоретический и экспериментальный интерес. Это обусловлено тем, что дефекты структуры могут существенно модифицировать поведение систем при фазовых переходах и индуцировать новые сложные явления. Для понимания критического поведения таких систем требуется разработка и применение адекватных аналитических и численных методов описания. Представления теории фазовых переходов, хорошо разработанные для однородных систем, претерпевают сильные изменения при попытках их распространения на системы со структурным беспорядком. Так, до сих пор остался невыясненным вопрос: являются ли такие характеристики критического поведения, как критические показатели, универсальными, т. е. не зависящими от концентрации дефектов структуры вплоть до порога перколяции, или осуществляется непрерывное изменение критических показателей с концентрацией. Поскольку возможности аналитического теоретического подхода ограничены описанием слабо неупорядоченных систем, исследование проблемы универсальности критического поведения сильно неупорядоченных систем методами компьютерного моделирования имеет большое значение. В данной статье осуществлено численное исследование трехмерной модели Изинга как в области ее слабой неупорядоченности со спиновой концентрацией р= 0.80, так и в области сильной неупорядоченности с р= 0.60.
Для исследования характеристик неравновесного критического поведения в работе был выбран перспективный метод коротковре-
© В.В. Прудников, П.В. Прудников, Е.А. Поспелов, М.В. Рычков, А.О. Шляхтин, 2008
менной динамики [1], позволяющий на макроскопически малых временах эволюции системы определять как динамические, так и статические критические индексы. Однако в отличие от однородных систем при применении данного метода к исследованию критического поведения структурно неупорядоченных систем в эволюционном изменении их состояния наблюдаются переходные режимы от характеристик однородных систем к характеристикам неупорядоченных. В результате для получения достоверных значений данных характеристик неравновесного критического поведения неупорядоченных систем требуется проведение исследований на решетках с линейными размерами Ь > 100 при реализации большой статистики усреднения получаемых термодинамических характеристик по различным примесным конфигурациям системы.
В работе рассматривается модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с линейным размером Ь=128 и наложенными граничными условиями. Микроскопический гамильтониан неупорядоченной модели Изинга задается выражением
h^-j'Zp.p.s.s,,
Uj
(1)
где J > 0 - интеграл обменного взаимодействия между закрепленными в узлах решетки спинами 8;, принимающими значения + 1. Немагнитные атомы примеси образуют пустые узлы. Числа заполнения р\ при этом принимают значения 0 или 1 и описываются функцией распределения
Р{Рг) = {1-р)5{Рг) + Р5{1-Рг) (2)
с р=1-с, где с - концентрация атомов примеси.
Примесь равномерно распределяется по всей системе, и при моделировании ее положение фиксируется для отдельной примесной конфигурации. Для моделирования спиновых конфигураций в системе был применен алгоритм Метрополиса. Нами была исследована релаксационная динамика системы, описываемая моделью А в классификации моделей критической динамики, проведенной Хоэнбергом и Гальпериным [2]. Алгоритм Метрополиса, реализующий динамику односпиновых переворотов, наилучшим образом со-
ответствует релаксационной модели А и позволяет нам провести сравнение получаемого в результате моделирования критической релаксации системы динамического критического индекса z с результатами нашего ренормгруппового описания
[3] критической динамики модели А для систем с пространственно некоррелированным распределением дефектов структуры.
В работе [4] на основе ренормгруппового анализа неравновесного критического поведения спиновой системы с начальным значением намагниченности то было показано, что после микроскопически малого промежутка времени tm¡c для А:-го момента намагниченности системы реализуется скейлинговая форма
M(k)(t,T,L,m0) =
= b-kP¡vM{k)(b-zt,bl¡v?,b-lL,bXi>m0l (3)
где t - время, т=(Т-Тс) / Тс - приведенная температура, Ъ - произвольный масштабный фактор, L - линейный размер решетки, Р, V, z - известные критические индексы, хо - новый независимый критический индекс, задающий масштабную размерность начального значения намагниченности то.
На ранней стадии эволюции системы корреляционная длина еще достаточно мала, и конечность размера моделируемой системы оказывается несущественной. Полагая в (3) b=t1!z, для первого момента намагниченности (к =1) и малой величины mot1!2 получаем следующее выражение:
M(t,T,m0) ~ m0te(l + atllzvT) + (Э(т2,т02), (4)
где 0=(xíj-p/v)/z. Для х—>0 и достаточно малых t получаем асимптотическое поведение M(t) ~ Í'. Временной интервал увеличения намагниченности fo ~ mo~z/x0.
Для неупорядоченных систем вычисление Ма> (!) осуществляется в виде
1
N.
(5)
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по спиновым конфигурациям, а квадратные скобки - усреднение по различным реализациям распределения дефектов структуры в системе при заданной спиновой концентрации
р, И3=рЬ3 - число спинов в решетке. В данной работе проводилось усреднение вычисляемых величин по 1000 различных примесных конфигураций для систем с р= 0.80 и по 10000 примесных конфигураций для систем с р= 0.60. Для независимого вычисления динамических критических индексов 0 и г, а также отношения статических критических индексов Р/у в данной работе на каждом этапе эволюции системы наряду с намагниченностью системы определялась автокорреляционная функция
А(0 =
\\
лг їрА№(0)
N. і=1
(6)
и второй момент намагниченности М2)^). Их скейлинговый анализ показал [1], что при т()=0 и критической температуре т=0 данные величины характеризуются степенной зависимостью от времени
А{1)~Гс\М(2){1)~Гс\ (7)
где са=сі/г-9, С2=(& - 2|3/V)/г? сі - размерность системы.
В настоящей работе осуществлялось моделирование кубических решеток с размерами Ь= 128 при критических температурах Тс=3.49948 и Тс=2.42413 для систем со спиновыми концентрациями р=0.80 и р= 0.60 соответственно, определенными нами при численных Монте-Карло исследованиях неупорядоченной модели Изинга в равновесном состоянии
[5]. Временное поведение намагниченности с начальными значениями шо=0.01, 0.02 и 0.03 исследовалось на временах до 1000 МСЭ. На рисунках 1 (а, Ь) представлены в двойном логарифмическом масштабе усредненные временные зависимости для намагниченностей систем с р=0.80 (рис. 1 а) и р=0.60 (рис. 1 Ь). Они позволяют определять показатели 6(то) и их асимптотическое значение 0(то—>0) на основе линейной аппроксимации значений 6(то) при то—>0.
Рис. 1. Временные зависимости критического поведения намагниченности для систем с р=0.80 (а) и р=0.60 (Ь) при начальных значениях пл0=0.01 (1);0.02 (2); 0.03 (3) в двойном логарифмическом масштабе
Рис. 2. Временные зависимости критического поведения (Т=ТС) второго момента намагниченности для систем с р=0.80 (а) и р=0.60 (Ь) в двойном логарифмическом масштабе
t, MCs/s
Рис. 3. Временные зависимости критического поведения (7=Гс) автокорреляционной функции A(t) для систем с р=0.80 (а) и р=0.60 (Ь) в двойном логарифмическом масштабе
На рисунках 2 (а, Ь) и 3 (а, Ь) для данных систем, стартующих из неравновесного начального состояния с близким к нулю значением шо=0.0001, представлены временные зависимости для второго момента намагниченности и автокорреляционной функции, также изображенные в двойном логарифмическом масштабе. Анализ данных зависимостей позволяет определять значения показателей са и С2 в соответствии с (7). В слабо неупорядоченных системах с р=0.80 в отличие от поведения однородных систем [1] может быть выявлено два универсальных динамических критических режима со степенным временным изменением М(t), M2)(t) и A(t), а именно: на раннем временном интервале ¿=[10,100] реализуется критическое релаксационное поведение, соответствующее поведению однородной системы и определяемое динамическими критическими индексами feO. 106(4) и z=2.03(3) с P/v=0.520(9), а лишь затем, проходя через режим кроссоверного поведения, в интервале ¿=[300,800] реализуется динамический режим критического поведения неупорядоченной системы с критическими индексами feO. 120(16), z=2.185(10) и P/v=0.531(18).
Аналогичные процедуры, проведенные для анализа полученных временных зависимостей М(t), M2)(t) и A(t) для сильно неупорядоченной системы со спиновой концентрацией р=0.60, выявили, как и для слабо неупорядоченной системы, два универсальных динамических критических режима со степенным временным изменением М(t), M2)(t) и A(t): на раннем временном интервале с ¿=[10,70] реализу-
ется критическое релаксационное поведение однородной системы, а затем, проходя через режим кроссоверного поведения, в интервале ¿=[150,700] реализуется динамический режим критического поведения неупорядоченной системы с критическими индексами 6^0.270(39), г= 2.504(37) и |3/л/= =0.524(16).
Сопоставление полученных значений критических индексов для систем с р=0.80 и р= 0.60 показывает, что несмотря на то, что значения отношения статических критических индексов р/у согласуются друг с другом в пределах статистических погрешностей, отличие значений динамических критических индексов в и ъ для слабо и сильно неупорядоченных систем значительно превышает статистические погрешности их определения.
Проведем сопоставление полученных значений критических индексов с результатами исследований, проведенных в других работах. Так, найденные нами значения индексов для систем с р=0.80 находятся в достаточно хорошем соответствии с результатами работ по компьютерному моделированию, где для слабо неупорядоченных систем были получены значения л/=0.684(5), р=0.355(3) [6], л/=0.683(3), Р=0.354(2) [7], г=2.20(8) [8], 0=0.10(2) [9], а также с результатами теоретико-полевого описания, где были найдены следующие значения: л/=0.678(10), Р=0.349(5) [10], г= =2.1792(13) [5], и результатами экспериментальных исследований изинговских магнетиков, дающих л/=0.69(1), р=0.350(9) (результаты представлены в обзоре [11]), г=2.18(10) [12].
Что касается результатов исследований сильно неупорядоченных систем, то они достаточно противоречивы: результаты одних исследователей направлены на защиту концепции независимости значений критических индексов от концентрации дефектов вплоть до порога перколя-ции с у=0.684(5), (5=0.355(3) [6], г=2.62(7)
[13], 0=0.10(2) [9], получаемых при некоторой процедуре подгонки промежуточных значений индексов для различных спиновых концентраций с использованием подбираемого индекса поправки к скейлингу со=0.370(63) [6], со=0.50(13) [13]; результаты других исследователей указывают на существование двух универсальных классов критического поведения для слабо неупорядоченных и сильно неупорядоченных систем с у=0.72(2), (5=0.33(2), г=2.93(3) [9], у=0.717(7), (5=0.313(12) [14], у=0.725(6), (5=0.349(4) [15], у=0.725(4),
у=1.415(11) [5], г=2.58(9) [8].
На основе проведенных в данной статье численных исследований критического поведения слабо неупорядоченных систем со спиновой концентрацией р= 0.80 и сильно неупорядоченных систем с р= 0.60 можно сделать следующие выводы: данные системы принадлежат к различным универсальным классам с несовпадающими в пределах статистических погрешностей проведенных численных исследований значениями динамических критических индексов 0 иг; полученные значения критических индексов для слабо неупорядоченных систем находятся в хорошем согласии в пределах статистических погрешностей моделирования и применяемых численных аппроксимаций с результатами теоретико-полевого описания, результатами моделирования критического поведения другими методами, а также согласуются с результатами экспериментальных
исследований изинговских неупорядоченных магнетиков. Что же касается значений динамических критических индексов, полученных в данной статье для сильно неупорядоченной системы с р= 0.60, то значение индекса zs2.504(37) согласуется со значениями, полученными в работах [8; 9], а значение индекса ^0.270(39) носит полностью оригинальный характер.
Авторы благодарят Межведомственный суперкомпъютерный центр РАН и УГАТУ за предоставленные вычислительные ресурсы.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Zheng В. // Int. J. Mod. Phys. В. 1998. V. 12. P.
1419.
[2] Hohenberg P.C., Halperin B.l. // Rev. Mod. Phys.
1977. V. 49. P. 435.
[3] Криницын A.C., Прудников В.В., Прудников П.В.
//ТМФ. 2006. Т. 147. № 1. С. 137.
[4] Janssen Н.К., Schaub В., Schmittmann В. И Z.
Phys. В. 1989. V. 73. Р. 539.
[5] Прудников В.В., Прудников П.В., Вакилов A.H.,
Криницын A.C. // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. № 2. С. 417.
[6] Ballesteros H.G., Fernandez L.A., Martin-Mayor V.,
et al. // Phys. Rev. B. 1998. V. 58. P. 2740.
[7] Calabrese P., Martin-Mayor V., Pelissetto A. et al.
// Phys. Rev. E. 2003. V. 68. P. 036136.
[8] Прудников В. В., Вакилов A. H. II ЖЭТФ. 1993. Т.
103. C. 962.
[9] Heuer H-O.ll J. Phys. A. 1993. V. 26. P. L341.
[10] Pelissetto A., Vicari E. // Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 6393.
[11] Фольк P., Головач Ю., Яворский Т. II УФН. 2003. Т. 173. С. 175-200.
[12] Rosov N., Hohenemser C., Eibschutz M. II Phys. Rev. B. 1992. V. 46. P. 3452.
[13] Parisi G., Ricci-Tersenghi F., Ruiz-Lorenzo J.J. II Phys. Rev. B. 1998. V. 58. P. 2740.
[14] Wiseman S., Domany E. II Phys. Rev. E. 1998. V. 58. P. 2938.
[15] Муртазаев A.K., Камилов И.K., Бабаев A.B. И ЖЭТФ. 2004. Т. 126. № 6. C. 1377.
