CC BY
39
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ СРЕДАХ
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ НА ВИБРИРУЮЩЕЙ ПЛАТФОРМЕ С.Е. Иванов
Рассматривается нелинейная виброзащитная система с тремя степенями свободы, с нелинейными правыми частями в виде многочлена третей степени от фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами. Система виброзащиты состоит из объекта виброзащиты, установленного на платформе, которая, в свою очередь, установлена на другую платформу, нижняя платформа поставлена на вибрирующее основание. Предполагается, что характеристики упругих элементов системы имеют вид кубического полинома третей степени, демпфирующие элементы имеют нелинейную кубическую характеристику. Методом многочленных преобразований уравнения движения системы приводятся к автономному виду с точностью до членов высших порядков. В нерезонансном случае получено решение преобразованной системы. Выделяются существенные константы, характеризующие переходные процессы и установившиеся режимы колебаний.
Введение
При исследовании динамики виброзащитных систем необходимо использовать нелинейные математические модели. Рассмотрим актуальную нелинейную задачу исследования виброзащитной системы с тремя степенями свободы. Виброзащитная
система состоит из объекта виброзащиты массой mi, установленного на платформе массой m2, которая, в свою очередь, установлена на другую платформу массой m3, а
нижняя платформа поставлена на вибрирующее основание. Предполагается, что упругие элементы системы являются нечетными функциями относительно положения статического равновесия. В динамические уравнения, написанные относительно положения статического равновесия, упругие элементы входят в виде кубических полиномов, содержащих как нечетные, так и четные степени. При этом константы в этих характеристиках взаимно сокращаются по условию статического равновесия. Демпфирующие элементы имеют нечетную характеристику третей степени.
При этих условиях, в соответствии с уравнениями Лагранжа, динамические уравнения виброзащитной системы имеют следующий вид:
3 2 3
mii + x -x2) + di(xi -x2) + kx(xx -x¿) + A(x -x¿) + Pi(x -X2) = 0,
3 2 3
m2x + ci(x&2 - ¿i) + di(x&2 - ¿1) + ki(x - xi) -¡i(X2 - xi) + pi(x - xi) +
c2(xx2 - xx3) + d2(x - x&3)3 + k2(x2 - x3) +12(x2 - x3)2 + P2(x2 - x3)3 = 0 (i)
3 2 3
m2x3 + c2(x3 - xx2) + d2(x&3 - xx2) + k2(x3 - x2)-12(x3 - x2) + P2(x3 - x2) +
C3( x3 - f) + d3 (xx3 - f )3 + k3 (x3 - f) + h (x3 - f )2 + P3 (x3 - f )3 = 0, где xi, x2, x3 - абсолютные перемещения по отношению к положению равновесия системы.
На основание действуют вертикальные колебания:
f (t) = a sin (&t). (2)
Введем относительное перемещение
xi = xi - f, x2 = x2 - f, x3 = x3 - f (3)
и запишем уравнения движения (i) в новых переменных:
...... 3 2 3
+ ^ -+ -+ к1(~ -~2)+11(~-~2> + Л(х1-~2> = —
з 2 3
1*2*2 + ^1(^*2 - ~1) + ^1(~2 - ~1) + ^0*2 - ~1) - 71(~2 - ~1) + /1(~2 - ~1) +
с2(~2 -~3) + ^0*2 -~3)3 + к2(~2 -~3) +12(~2 -~3)2 + Р2(~2 -~3)3 = -т2/, (4)
3 2 3
1*3 + с2(~3 - ~2) + d2(x3 - ~2) + к2(~3 - ~2) -12(~3 - ~2) + Р2(~3 - ~2) + с3~3 + 4~33 + к3~3 +13~32 + Р3~33 = -m3./,
/(7) = -аш б1п(ш^). (5)
Предполагаем, что корни характеристического уравнения
^ =а + ^
левой части системы являются комплексно-сопряженными с немалыми мнимыми частями, а вещественные части неположительные и могут быть малыми. Будем рассматривать систему (4) в нерезонансном случае, когда шф кр5, / к, к = 1,...,3 , (^ = 3,..., 8) .
Введем дополнительно переменные У12 = ехр( ±гш I) , и запишем уравнение (5) в новых переменных:
¡(1) = -аа\ у - у 2)/21 / (6)
Запишем систему (4), учитывая равенство (6), в виде системы восьми дифференциальных уравнений первого порядка. X = ЯХ + Р,
где X = [у1, у2, ~1, ~2, ~3, ~1, ~2, х3]г, Р -нелинейный вектор системы.
Выполняется линейное преобразование вида: У = АХ.
Линейная часть системы (7) приводится к диагональному виду:
У =Л У + Рх _ А -1У ,
где Л = diag[Л1,...,Я8].
(7)
(8) (9)
Многочленное преобразование системы
Применим метод многочленных преобразований [1] для исследования нелинейной виброзащитной системы с тремя степенями свободы в условиях периодического кинематического воздействия.
Выполняется многочленное преобразование с принятой точностью до членов четвертого порядка включительно:
у5 = 25 + 2а,5V,(^ = 3,...,8) , 7 * -
V _ V1 V 2 V 8
2 1 2 2 ... 2 8
(10)
М=2
где ау - неизвестные коэффициенты преобразования, у = (у1у2уъу4у5у(у1у8) -
векторный индекс, = +у2 + ...+у8.
Введенные комплексно-сопряженные переменные не преобразуются:
У 5 = 2 5 = 1,2).
Результатом многочленного преобразования является автономная система:
25 = 425 + 2 ^ , ( * = 3,..., 8) ,
М=2
где ду - искомые коэффициенты преобразованной системы.
Особые значения индекса при фиксированном S находятся как целочисленные неотрицательные решения двух уравнений [1]:
]Г Лкук -Х8 - 0, £ ^ = 2,3,4 . (12)
к=1 к=1
Постоянные q V приравнивают нулю при неособых значениях индексов; при таких значениях вычисляют постоянные а V . И наоборот, при особых значениях индексов полагают коэффициенты а V равными нулю и вычисляют q V .
В нерезонансном случае, когда собственные частоты колебаний системы и частота вибрации не совпадают и не кратны, находим следующие особые индексы: при q V : V = (00100011), V = (00101100), V = (00210000), V = (11100000),
при q V : V = (00001011), V = (00002100), V = (00111000), V = (11001000), при q V : V = (00000021), V = (00001110), V = (00110010), V = (11000010). В преобразованной системе (11) сделаем замену переменных:
^8,8+1 = Р8 еХР(± К* + в8 Л ^8 = ^8+1, = 3,5,7) (13)
В результате систему (11) можно представить в виде:
Р8 = Яе^Р + ¿М^)рг4рг6р?+"8, 4 = Р81 ¿1*)рг4рг6рг8, м=2 н=2
(^ = 3,5,7)
(14)
В нерезонансном случае экспонента не входит в систему (14), так как ее степень равна нулю. Стационарные решения можно найти, приравняв правые части системы (14) к нулю.
Получен установившийся режим колебаний виброзащитной системы (1) при следующих параметрах:
т1 = 1.13, с1 = 0.23, d1 = 0.01, к1 = 1.23, /1 = 0.04, р1 = 0.02,
ш2 = 3.17, с2 = 0.61, d2 = 0.03, к2 = 3.13, /2 = 0.13, р2 = 0.06,
шъ = 8.71, с3 = 1.73, d3 = 0.09, к3 = 9.11, /3 = 0.37, р3 = 0.17
На систему действует внешнее возмущение : а> = 2, а = 0.5 .
В результате линейной замены переменных получим систему (9) с линейной диагональной матрицей:
Л = diag [27,-27,-0.211 + 1.469 7,-0.211 - 1.469 7,
- 0.119 + 1.1187,-0.119 - 1.1187,-0.039 + 0.6347,-0.039 - 0.6347] Собственные числа имеют малые отрицательные вещественные части. Определены коэффициенты преобразованной автономной системы (11):
ql3ll00000 =-0.086 + 0.0117, q5loolooo =-0.154 + 0.0127, ^^ =-0.044 + 0.0017 Установившийся режим колебаний системы имеет вид: ~1 = -0.011 - 0.035 ео8(®7) - 0.470 $т(Ш),
~2 = -0.011 + 0.113 ео8(®7) - 0.526 ), (15)
~3 = -0.008 - 0.261 ео8(®7) - 0.612 $т(Ш).
Заключение
Рассмотрена задача исследования нелинейной виброзащитной системы с тремя степенями свободы. Методом многочленных преобразований уравнения движения
системы приводятся к автономному виду в рамках принятой точности. В нерезонансном случае получено решение преобразованной системы. Выделены существенные константы, определяющие качество установившихся режимов колебаний и переходных процессов. На основе метода многочленных преобразований получены алгоритмы и разработан пакет программ для символьного решения нелинейных систем с тремя степенями свободы. Выполнено также численное решение задачи, подтверждающее достоверность полученных результатов.
Литература
1. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л: Машиностроение, 1975. 198 с.
2. Мельников Г.И. К теории нелинейных колебаний. // Вестник ЛГУ. 1964. № 1. Вып.1. С. 88-98.
3. Фролов К.В. Нелинейные задачи динамики машин. М: Машиностроение, 1992. 376 с.
4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М: Наука, 1981. 568 с.
5. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти т. Т.6. / Под ред. К.В. Фролова. М.: Машиностроение, 1995. 456 с.
6. Фурман Ф.А., Фролов К.В. Прикладная теория виброзащитных систем. М: Машиностроение, 1980. 317 с.
